学科：高一数学 模块：必修二 班级 组别 姓名
课题：第六章 平面向量及其应用
【基础知识要点】
§6.1.平面向量的概念
1.平面向量的概念：
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.
规定：零向量与任意向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的运算
§6.2.1.向量的加法运算
1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.
3.向量加法的运算律：
交换律： 结合律：
§6.2.2.向量的减法运算
相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.
向量减法的定义： 加上的相反向量，叫做与的差.
3. 向量减法的法则：三角形法则.
§6.2.3.向量的数乘运算
数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ⑴；
⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.
2.运算律：
；；
3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.
4.平面向量共线定理：
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
§6.2.4.向量的数量积
向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.
2. 与垂直：如果与的夹角是 ，则与垂直，记作.
3.数量积：已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
4.投影向量：
向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.
5.数量积的性质：（1）（2）
（3） 或 （4）
6.数量积的运算律：
（1） （2） （3）
结论： ，.
§6.3平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.1平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.
§6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示
1.设，则：⑴，
⑵，
即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
2.已知 ，则 .
§6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1.设，则.
2.设,则向量共线的充要条件是 .
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示
1. 设，则：（1）（2）
（3）（4）
（5）设，则：.
6.4 平面向量的应用
1.余弦定理： 推论：
2.正弦定理：
.（其中为外接圆的半径）
题型练面向量的线性运算
1、设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
2、 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
3、设、是两个不共线的向量，已知、、，若、、三点共线，求的值.
4、在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________.
题型练面向量数量积的应用
1、已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
2 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
3 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
4、已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
5、已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，求实数λ.
题型练习三、解三角形
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
2 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
3、在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.(1)求：(2)若，且，，求的面积.
4、（23高考2卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．若，求；若，求，．
5．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
题型练面向量的综合运用
1、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.
2、如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.(1)求的面积；(2)求的值及的长度.
3、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
巩固案
1.已知平面向量＝(1,2)，＝(3,4)，则向量等于( )
A.(－4，－6) B.(4,6)
C.(－2，－2) D.(2,2)
2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A.－ B.－ C. D.
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A.－ B.
C.1 D.－1
4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
5．（多选）下列说法中错误的是（ ）.
A．若，，，则 B．若且，则
C．若，非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝ .
7. 已知向量，满足，，则 ______
8、在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积；（3）求的取值范围．
9、在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______
(1)若，求的外接圆面积；
(2)若，且的面积，求的周长的取值范围.题型练面向量的线性运算
1、设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
答案 D
解析 ∵＝3，∴－＝3(－)，
∴2＝3－，∴＝－.
2、 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案 A
解析 作出示意图如图所示.
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
3、设、是两个不共线的向量，已知、、，若、、三点共线，求的值.
解：，
又，若、、三点共线，则，
则存在实数使，∴，∴、.
在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________.
解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2).
设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，
所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
题型练面向量数量积的应用
1、已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
解析 因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×＝4，
则||＝2.
2 已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
解析 因为2＝，所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
3 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
解析 ∵b＝－＝，∴|b|＝||＝2，故A错；
∵·＝2×2×cos 60°＝2，即－2a·b＝2，
∴a·b＝－1，故B，C都错；
∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥，故选D.
4、已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝(k>0).
(2)a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝1时等号成立，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
5 已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 .
解析 由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
题型练习三、解三角形
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
解 方法一 ∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝.
∵m∥n，∴2b2＝3ac，
∴由正弦定理，得2sin2B＝3sin Asin C，即sin Asin C＝，
∴sin Asin＝，∴sinA＝，
∴sin Acos A＝cos2A，∴cos A＝0或tan A＝，∴A＝或A＝.
方法二 2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝a2＋c2－ac.(*)
∵m∥n，∴2b2＝3ac，∴b2＝ac.将b2＝ac代入到(*)中，得2a2－5ac＋2c2＝0，
解得a＝2c或c＝2a.
当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0，∴A＝；
当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝，∴A＝.
综上，A＝或A＝.
2、在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
解 (1)由正弦定理，得＝＝，即tan C＝.又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)·＝||||cos C＝abcos C＝4，且cos C＝cos ＝，∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.∴c＝2.
3、在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.(1)求：(2)若，且，，求的面积.
【详解】（1）解：在中，，
因为向量与向量共线，则，
由正弦定理可得，
所以，，
、，则，所以，，因此，.
（2）解：，且，，，，
在中，由余弦定理有，
即，即，，解得，
所以，.
4、记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．若，求；若，求，．
【答案】解：为中点，，则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，故；
，，
，，则，
，，即，
由解得，，
，又，．
5．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，得，
所以，因为，所以.
（2）分三种情况求解：
选择①，因为，
由正弦定理得，
即的周长
，
因为，所以，
即周长的取值范围是.
选择②,因为，由正弦定理得
即的周长，
因为，所以，所以，
即周长的取值范围是.
选择③.
因为，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
即周长的取值范围是.
题型练面向量的综合运用
1、已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.
解 f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
2、如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【详解】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
由正弦定理可知，
.
3、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
详解】（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
==，
故当时，，此时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（II）设小艇与轮船在B处相遇，则，
故，，，
即，解得，又时，，
故时，t取最小值，且最小值等于，
此时，在中，有，故可设计方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
巩固案
1.已知平面向量＝(1,2)，＝(3,4)，则向量等于( )
A.(－4，－6) B.(4,6) C.(－2，－2) D.(2,2)
答案 C
解析 ＝－＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，故选C.
2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A.－ B.－ C. D.
答案 A
解析 c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，
又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A.－ B. C.1 D.－1
答案 A
解析 由平面向量基本定理，化简＝＋＝＋＝－＋(＋) ＝－，所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－.
4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
答案 B
解析 由题意知a－b与a垂直，
则(a－b)·a＝0，可得a·b＝a2＝1.
又由|a－b|＝＝＝，
所以当t＝1时，|a－b|取得最小值1.
5．（多选）．下列说法中错误的是（ ）.
A．若，，，则 B．若且，则
C．若，非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
【答案】ABD
【详解】A选项，当，中至少有一个时，与可能不平行，故A错误；
B选项，由且，可得或，故B错误；
C选项，，根据数量积规则，则两边平方化简可得，
∴，故C正确；
D选项，根据向量共线基本定理可知当 都为非零向量时成立，
为零向量时也成立 ，若 时， 不存在，但 （零向量与所有的向量共线），故D错误；
故选：ABD.
6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝ .
答案
解析 ∵c＝bcos C＋ccos B，
∴由正弦定理可得sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝sin(B＋C)＝sin A，∴c＝a＝1，∵B＝120°，
∴由余弦定理可得，b＝＝＝.
7、已知向量，满足，，则 ______
【解析】解：，，
，，
，，．
8、在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围．
详解】（1）∵，
∴，，
，∵，∴，又，∴，
，；
（2）∵，，
∴，∴；
（3）由正弦定理可得：，
，
其中，，，为锐角，
因为为锐角三角形，则，从而，得，
，所以，，
所以，从而的取值范围为
9、在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______
(1)若，求的外接圆面积；
(2)若，且的面积，求的周长的取值范围
【详解】（1）选①
，由正弦定理可得，，
，结合余弦定理可知，，
，，
由正弦定理可知， ，.
选②，，由正弦定理可得，，
即，，，，
，，
由正弦定理可知， ，.
选③，，又，
，由正弦定理可得，，即，
结合余弦定理可知，，，，
由正弦定理可知， ，
（2）的面积，
，，
，，，
的周长，且，
，即的周长的取值范围为.
