第十一章 三角形单元检测题（含解析）
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2023年人教版八年级上册第11章《三角形》单元检测题
一、选择题（共30分）
1．下列数据中，能作为三角形的三条边长的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，6cm，6cm D．2cm，2cm，6cm
2．如图图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，则的度数是（ ）
A．45° B．36° C．72° D．30°
5．五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C、D、E在同一平面上，顺次连结得到不规则图形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（ ）
A．80° B．82.5° C．90° D．85°
9．如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
12．已知，若，则的度数为 ___________°．
13．如图，在中，，，则 _____________
14．已知三角形的三边分别为3，x，4，那么x的取值范围是_______
15．若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形的边数为___________．
16．如图，是的中线，是的中线，若，则_____．
三、解答题（共66分）
17．（6分）已知三角形的两边长分别是、，第三边为整数且为不等式组的解，求这个三角形的周长．
18．（6分）如图，已知于点，且，，求的度数．
19．（7分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
20．（7分）如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数．
21．（8分）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
(1)如图1，猜想与的关系，并说明你的理由；
(2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点．求证：．
22．（10分）如图，在中，，，为的角平分线，G、E分别是、的中点，于F．求：
(1)的大小；
(2)的大小；
(3)的面积与的面积的比值．
23．（10分）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．
(1)试探究与的大小关系；
(2)试探究与的大小关系；
(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．
24．（12分）根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= （∠B+∠D）=26°．
①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，不能组成三角形；
B、，能组成三角形；
C、，不能够组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的条件，掌握用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．D
【分析】用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：由三角形高的定义可知只有D选项中线段是的高，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
3．C
【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．
【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，解题的关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
4．D
【分析】设，则，，再利用三角形内角和列方程，解方程求得的值，即可求得的度数．
【详解】设，则，，
∵，
即：，
解得：
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，设参数、利用方程的思想来解决问题是解决此类问题的关键．
5．C
【分析】根据从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，进行计算即可．
【详解】解∶，
∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．
6．B
【分析】根据多边形内角和公式进行解答即可．
【详解】解：这个六边形的内角和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式．
7．D
【分析】根据得出，进而可得出，根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和以及对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
8．B
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果.
【详解】∵∠B=45°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-45°-35°=100°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD==50°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°, DE平分∠ADC,
∴∠EDC===47.5°,
∵∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠AED=35°+47.5°=82.5°.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质.
9．D
【分析】过点A作于点H，根据三角形的面积公式结合即可求出的面积．
【详解】解：过点A作于点H，
∵的面积为12，
∴，
∵，
∴的面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，掌握与有相同的高是解决问题的关键．
10．B
【分析】设，，根据角平分线的定义可知，，，再根据三角形外角的性质可得，，从而可得，再进行求解即可．
【详解】解：如图，设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，即,
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
11．③
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
12．
【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟记三角形三个内角和为是解决问题的关键．
13．140
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：，，
．
，
故答案为：140．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解答此类题目的关键是熟记三角形内角与外角的关系．
14．1【详解】试题分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：
4－3＜x＜4＋3，
即1＜x＜7．
故答案为1＜x＜7．
点睛：此题主要考查了三角形的三边关系定理，三角形中第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．
15．9
【分析】根据多边形的内角和为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．
16．12
【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，是的中线，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识．
17．
【分析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：
解不等式①得．
解不等式②得
∴
∴不等式的整数解为、、
∵
∴取
∴三角形周长为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，三角形的三边关系，正确的求得不等式的整数解是解题的关键．
18．的度数为
【分析】先根据得，再根据求出的度数，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，是解题的关键．
19．见解析
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
20．
【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数．
【详解】解：五边形的内角和等于，，
；
，分别平分，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，结合三角形的外角性质得到即可；
（2）利用角平分线的定义和平角定义求解即可．
【详解】（1）解：．理由为：
∵中，三个内角的平分线交于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，再由垂线的定义可得，再根据三角形内角和定理求得，即可求解；
（3）由G为的中点，E为的中点，可得，，从而可得，，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴；
（2）解：∵ 为的平分线，，
，
又，
，
∴，
∴；
（3）解：∵G为的中点，
∴，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可．
【详解】（1）解：，理由为：
，
∴
即：
（2），理由为：
在中，，
在中，，
两式相加得：+
即：
（3），理由为：
如图，延长交的延长线于G，交于点F，
在中，，①
在中，，②
中，，③
得：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣（∠B+∠D）；③∠P=90°+ （∠B+∠D）．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）①∠P=26゜．
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B ③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴∠P=（∠B+∠D ）=26°．
②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；
③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ （∠B+∠D）．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
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2023年人教版八年级上册第11章《三角形》单元检测题
一、选择题（共30分）
1．下列数据中，能作为三角形的三条边长的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，6cm，6cm D．2cm，2cm，6cm
2．如图图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
3．从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，则的度数是（ ）
A．45° B．36° C．72° D．30°
5．五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C、D、E在同一平面上，顺次连结得到不规则图形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（ ）
A．80° B．82.5° C．90° D．85°
9．如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
12．已知，若，则的度数为 ___________°．
13．如图，在中，，，则 _____________
14．已知三角形的三边分别为3，x，4，那么x的取值范围是_______
15．若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形的边数为___________．
16．如图，是的中线，是的中线，若，则_____．
三、解答题（共66分）
17．（6分）已知三角形的两边长分别是、，第三边为整数且为不等式组的解，求这个三角形的周长．
18．（6分）如图，已知于点，且，，求的度数．
19．（7分）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
20．（7分）如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数．
21．（8分）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
(1)如图1，猜想与的关系，并说明你的理由；
(2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点．求证：．
22．（10分）如图，在中，，，为的角平分线，G、E分别是、的中点，于F．求：
(1)的大小；
(2)的大小；
(3)的面积与的面积的比值．
23．（10分）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．
(1)试探究与的大小关系；
(2)试探究与的大小关系；
(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．
24．（12分）根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= （∠B+∠D）=26°．
①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，不能组成三角形；
B、，能组成三角形；
C、，不能够组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的条件，掌握用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．D
【分析】用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：由三角形高的定义可知只有D选项中线段是的高，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
3．C
【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．
【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，解题的关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
4．D
【分析】设，则，，再利用三角形内角和列方程，解方程求得的值，即可求得的度数．
【详解】设，则，，
∵，
即：，
解得：
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，设参数、利用方程的思想来解决问题是解决此类问题的关键．
5．C
【分析】根据从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，进行计算即可．
【详解】解∶，
∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．
6．B
【分析】根据多边形内角和公式进行解答即可．
【详解】解：这个六边形的内角和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式．
7．D
【分析】根据得出，进而可得出，根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和以及对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
8．B
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果.
【详解】∵∠B=45°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-45°-35°=100°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD==50°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°, DE平分∠ADC,
∴∠EDC===47.5°,
∵∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠AED=35°+47.5°=82.5°.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质.
9．D
【分析】过点A作于点H，根据三角形的面积公式结合即可求出的面积．
【详解】解：过点A作于点H，
∵的面积为12，
∴，
∵，
∴的面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，掌握与有相同的高是解决问题的关键．
10．B
【分析】设，，根据角平分线的定义可知，，，再根据三角形外角的性质可得，，从而可得，再进行求解即可．
【详解】解：如图，设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，即,
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
11．③
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
12．
【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟记三角形三个内角和为是解决问题的关键．
13．140
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：，，
．
，
故答案为：140．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解答此类题目的关键是熟记三角形内角与外角的关系．
14．1
4－3＜x＜4＋3，
即1＜x＜7．
故答案为1＜x＜7．
点睛：此题主要考查了三角形的三边关系定理，三角形中第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．
15．9
【分析】根据多边形的内角和为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．
16．12
【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，是的中线，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识．
17．
【分析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：
解不等式①得．
解不等式②得
∴
∴不等式的整数解为、、
∵
∴取
∴三角形周长为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，三角形的三边关系，正确的求得不等式的整数解是解题的关键．
18．的度数为
【分析】先根据得，再根据求出的度数，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角的定义，是解题的关键．
19．见解析
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
20．
【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数．
【详解】解：五边形的内角和等于，，
；
，分别平分，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，结合三角形的外角性质得到即可；
（2）利用角平分线的定义和平角定义求解即可．
【详解】（1）解：．理由为：
∵中，三个内角的平分线交于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，再由垂线的定义可得，再根据三角形内角和定理求得，即可求解；
（3）由G为的中点，E为的中点，可得，，从而可得，，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴；
（2）解：∵ 为的平分线，，
，
又，
，
∴，
∴；
（3）解：∵G为的中点，
∴，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可．
【详解】（1）解：，理由为：
，
∴
即：
（2），理由为：
在中，，
在中，，
两式相加得：+
即：
（3），理由为：
如图，延长交的延长线于G，交于点F，
在中，，①
在中，，②
中，，③
得：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣（∠B+∠D）；③∠P=90°+ （∠B+∠D）．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）①∠P=26゜．
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B ③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴∠P=（∠B+∠D ）=26°．
②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；
③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ （∠B+∠D）．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．