河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

开封市2022—2023学年度第二学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．设随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7
3．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
4．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
5．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（ ）
A．变量与独立
B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量与不独立
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
6．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的极小值为—1，则（ ）
A．—1 B．—2 C．1 D．2
8．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下表是2022年某市1～5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据，
月份 1 2 3 4 5
销量 5 5 6 6 8
由表中数据求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与正相关
C．由经验回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆
D．由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆
10．若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A． B．的离心率
C．为双曲线，且渐近线方程为 D．与的交点在直线上
11．已知平行六面体中，，与的交点为，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为ii，型的基因类型为ai或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，和是显性基因，是隐性基因．则下列说法正确的是（ ）
A．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种
B．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式的常数项是______．
14．已知为等比数列前项的和，且，则______．
15．在端午节假期间，某单位要安排某科室的3名男职工和2名女职工进行3天假期值班（分白班和夜班），其中女职工不值夜班，男职工可以值白班和夜班，且每个人至少要值一次班，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
16．已知函数，则的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程．
18．（12分）
已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．
19．（12分）
某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．
（1）记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；
（2）按照三轮中奖概率由小到大分別发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，四棱锥的体积为，的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
（1）求点的轨迹方程；
（2）经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
22．（12分）
已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值及切线的方程；
（2）证明：．
开封市2022–2023学年度第二学期期末调研考试
高二数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酜情给分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C A A C D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ABC BD AC BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．—20 14． 15．252 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
（1）的中点为，，所以线段的中垂线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得
所以圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的标准方程是．
（2）设所求直线方程为，圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
18．（12分）
（1）由已知为等差数列，记其公差为，
①当时，所以
②当时，，所以．
所以，．
（2），
所以，当取与最接近的整数6或7时，最小，最小值为—21．
19．（12分）
（1）依题意，的取值可能为1，2，3，则
，，，
所以的分布列为：
1 2 3
（2）记甲抽取代金券的金额为随机变量，则，，，
所以，所以甲抽取代金券金额的期望为100元．
20．（12分）
（1）四棱锥的体积为，底面是菱形，所以三棱锥的体积为，
设到平面的距离为，所以，．
（2）因为为的中点，，所以，
又因为平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为侧棱底面，平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，．
如图，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，平面，，所以，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则即
取，则平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21．（12分）
（1）设点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
（2）①若直线的斜率不存在，则，
，，；
②若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
22．（12分）
（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解之得，
又，所以切线的方程为，即．
（2）由（1）知，，，
令，，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上有唯一实根，且，
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
所以，所以成立．