河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

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南阳市六校2022-2023学年高二下学期期末考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知变量Y关于X的线性回归方程为，且，，则时，预测y的值为（ ）
A．0.5 B．0.4 C．－0.4 D．－0.5
2．已知等比数列的前n项和为，，则（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
3．已知O为坐标原点，为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．给出新定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”，已知函数的一个拐点是，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知F为抛物线的焦点，点在抛物线上．若，，则（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量X服从正态分布，a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．越大，越小 D．
11．已知数列的每一项均为0或1，其前n项和为，数列的前n项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列的所有可能情况共有种
B．若为定值，则恒为0
C．若为定值，则为常数列
D．数列可能为等比数列
12．已知函数，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．恒有一个极大值点和一个极小值点
B．若在区间上单调递减，则a的取值范围是
C．若，则直线与的图象有2个不同的公共点
D．若，则有6个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中的系数为20，则实数______．
14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为______．
15．已知正项数列是公比为的等比数列，数列的通项公式为．若满足的正整数n恰有3个，则的取值范围为______．
16．已知函数，是的导函数，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，，且，平面底面ABCD，是边长为2的等边三角形，，，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
19．（12分）
已知函数，，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，求实数b的取值范围．
20．（12分）
淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：
非常喜欢 感觉一般 合计
男性 a
女性 2a 100
合计 70
（Ⅰ）求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（Ⅱ）从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
21．（12分）
已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：为定值．
22．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的不等式在上恒成立，求m的取值范围．
南阳市六校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 C
命题意图 本题考查回归分析．
解析 回归直线过点，所以，．所以时，预测y的值为．
2．答案 D
命题意图 本题考查等比数列的性质．
解析 设等比数列的公比为q，由，可得，即，又，所以．
3．答案 A
命题意图 本题考查抛物线的性质及充分条件与必要条件的判断．
解析 当动点A满足p时，有，即，化简得，满足q；反过来，抛物线的顶点并不满足p．故选A．
4．答案 C
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 设双曲线C的半焦距为．由题可知，，则，所以，所以，所以C的渐近线方程为．
5．答案 B
命题意图 本题考查新定义及导数的计算．
解析 由题可知，，结合题意知，即，又，所以，所以．
6．答案 C
命题意图 本题考查抛物线的性质与等差数列的定义．
解析 由题可知，同理，所以，故数列是公差为2的等差数列，因为，所以．所以，所以．
7．答案 A
命题意图 本题考查导数在研究函数单调性中的应用．
解析 由题可知．设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，由的单调性可知，即，故．
8．答案 B
命题意图 本题考查直线与圆的相关性质．
解析 根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，无论m取何值，都有此两条直线垂直，所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，设，则点P的轨迹方程为，圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．由题可知，，则，所以的面积的最小值为．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案 BCD
命题意图 本题考查平面的法向量的概念．
解析 记选项中的四个点依次为A，B，C，D，则，，，，验证可知只有不与垂直，另外三个都与垂直：故B，C，D符合条件．
10．答案 AC
命题意图 本题考查正态分布的性质．
解析 因为a大于0，所以，故A正确；因为，而，所以，故B错误；越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故越小，故C正确；由题可知，故，故D错误．
11．答案 CD
命题意图 本题考查分步乘法计数原理及数列的综合应用．
解析 由分步乘法计数原理可知的值为0或1，共2种情况，所以数列的所有可能情况共有种，故A错误；为定值，即为定值，由题可知或，当时，，当时，，B错误；为定值，即为定值，
由题可知为0或1，或，则，此时无解，故只有能满足要求，所以为常数列，故C正确；当为1，0，0，…时，，是公比为1的等比数列，故D正确．
12．答案 ACD
命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．
解析 由题可知，因为，所以恒有两个异号的实根，，不妨设，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以恒有一个极大值点和一个极小值点，故A正确；因为在区间上单调递减，所以对任意的，恒成立，所以解得a≥1，故B错误；若，则，解得，此时，则当时，，单调递增，时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又当时，，所以直线与的图象有2个不同的公共点，故C正确；若，则，，因为，所以的3个零点为，0，，又，且，所以当分别为，0，时，均有2个不同的x的值与其对应，所以有6个不同的零点，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 2
命题意图 本题考查二项式定理．
解析 由题可知的系数为，解得．
14．答案
命题意图 本题考查条件概率．
解析 由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017—2022年，共6年，设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，事件B为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，则．
15．答案
命题意图 本题考查等差数列与等比数列的性质．
解析 由题可知数列单调递减，单调递增，故，，，，故只需即可，即解得．
16．答案
命题意图 本题考查利用导数判定函数的单调性及基本不等式．
解析 由题可知，两处等号不能同时取到，所以，在R上单调递增．，当且仅当时等号同时成立，所以．又，所以，解得．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等差数列的基本量的计算、错位相减法求和．
解析 （Ⅰ）设的公差为d．
因为，，所以解得
所以，即的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
所以，，
两式作差得，
则．
18．命题意图 本题考查空间线线垂直的证明及空间向量的应用．
解析 （Ⅰ）在中，，Q为AD的中点，所以．
因为平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．
又平面ABCD，所以．
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，，，Q为AD的中点，
所以，所以四边形BCDQ为平行四边形．所以．
因为，所以，由（Ⅰ）可知平面ABCD，
所以，可以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
易知平面AQB的一个法向量．
因为M是棱PC上靠近点C的三等分点，所以点M的坐标为，
所以，．
设平面MQB的法向量为，则即
令x＝3，可得＝(3,0,2)．
设二面角A－QB－M的平面角为θ，则．
由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为．
19．命题意图 本题考查利用导数研究函数的单调性及极值．
解析 （Ⅰ）由题可知的定义域为，．
当时，，
∵在上，，在上，，在，，
∴的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
由已知可得，
∵在上，，在上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴．
由，可得．
设，则．
∵，，∴在上单调递增．
∴，又当时，，
∴b的取值范围为．
20．命题意图 本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列和数学期望．
解析 （Ⅰ）由题可知，解得．
2×2列联表如下：
非常喜欢 感觉一般 合计
男性 70 30 100
女性 60 40 100
合计 130 70 200
，
所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（Ⅱ）设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为m，女性中非常喜欢淄博烧烤的人数为n，则，且的所有可能取值为2，3，4．
，
，
，
所以的分布列为
2 3 4
P
则．
21．命题意图 本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题意知，．
因为的面积为，所以①．
，
因为点O到直线AB的距离为，所以②．
由①②结合可得
所以椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入椭圆方程得，
不妨设此时，，易得，所以．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由得．
设，，则，．
直线AM的方程为，
令，得，即，
同理，得．
所以
．
综上可得．
22．命题意图 本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的性质．
解析 （Ⅰ）当时，，则．
所以．
又，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）令函数，，
则，且，．
令，则．
若，则，若，则．
当时，，使得当时，，即在上单调递减，则，不合题意．
当时，令，，则，
故函数在上单调递增，则，即．
所以．
令，，则，
令，，则．
因为单调递增，所以，
所以单调递减，所以，
所以单调递增，所以，
所以，
故符合题意，即实数m的取值范围是．