2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二（下）学情调研数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二（下）学情调研数学试卷（6月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，那么( )
A. B. C. D.
2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 从，，，，，六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. ，，，若共面，则实数为( )
A. B. C. D.
5. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为，，若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影长津湖，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. B. C. D.
8. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律：，，若从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则方差
C. 从名男生，名女生中任选人，取出的女生个数服从超几何分布
D. 已知随机变量的分布列为，则
10. 已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中( )
A. 奇数项的二项式系数和为 B. 第和项的系数最大
C. 有理项共有项 D. 存在常数项
11. 一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的个小球，其中白球个、红球个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出球，第二次再从箱中随机取出球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12. 已知图中，正方形的边长为，、、、是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图所示的多面体，则( )
A. 平面平面
B. 直线与直线所成的角为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 多面体的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 名工人要在天中各自选择天休息，不同方法的种数是______．
14. 已知，则的值为______ 结果用数字作答
15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点回到原点的位置的概率为______ ，质点位置与点的距离不大于的概率为______ ．
16. 如图，正方体的棱长为，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？结果用数字作答
两名老师站正中间；
四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站．
18. 本小题分
若，且．
求实数的值；
求的值．
19. 本小题分
如图，在四面体中，，，，．
求的值；
已知是线段中点，点满足，求线段的长．
20. 本小题分
甲、乙两位同学参加学校组织的数学文化知识答题游戏，规则如下：甲同学先回答道题，至少答对一道题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次答题机会两位同学每答对一道题可获得积分，答错不得分，甲同学每道题答对的概率均为，乙同学每道题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响．
求乙同学有机会答题的概率；
记为甲和乙同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望．
21. 本小题分
在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识网络问卷调查一位市民只能参加一次，共有名市民提交了问卷，现从提交问卷的市民中随机地抽取人的得分统计结果如表所示：
得分百分制
频数
若从样本中问卷得分不低于分的市民中随机地抽取人，求人得分均不低于分的概率；
由样本数据分析可知，该市全体参加问卷的市民得分服从正态分布，其中可近似为样本中的名市民得分的平均值同一组数据用该组数据的中间值代替，利用该正态分布，估计全市参加问卷的全体市民中得分在分的人数；
为了鼓励市民积极参与创建文明城，问卷得分不低于分的市民可继续参与答题赠话费活动，规则如下：
参加答题的市民的初始分都设置为分；
参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格即用分数来买答题资格，规定答第题时所需的分数为；
每答对一题得分，答错得分；
答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数单位：元．
已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若，则，，
22. 本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
求证：平面；
若点为棱的中点，求点到平面的距离；
若点为线段上的动点不包括端点，求锐二面角的余弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，解得．
故选：．
根据排列数公式计算即可．
本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，则，即，，，解得．
故选：．
由题意得，利用空间向量的坐标运算计算即可．
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：先从个奇数中选出个，再从个偶数中选出个，先选后排，共有个．
故选：．
先选后排，计算出结果即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，，，共面，
设，，，
则，
，解得，，．
故选：．
设，，，则，列出方程组，能求出实数的值．
本题考查实数值的求法，考查向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为，，，
记事件，，分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，
则，且，，两两互斥，
所以，，，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为，，，
记事件为“选到绑带式口罩”，
则，，，
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为．
故选：．
根据全概率公式进行分析求解即可．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：多项式的展开式中含的项为，
所以的系数为．
故选：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：先将甲乙捆绑在一起，然后和余下除丙以外的人排成一排，最后再将丙插在正中间，同时减去甲、乙在丙两侧的情况，
故不同的坐法的种数为．
故选：．
先将甲、乙捆绑在一起，然后和余下除丙以外的人排成一排，最后再将丙插在正中间，同时减去甲、乙在丙两侧的情况．
本题考查分步乘法原理的应用，相邻问题捆绑法，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，
共有种．
又因为从，，，，，这个数字中：，，，共组，
所以要使个数字中任意取出个数字构成一个三位数，的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，
所以共有种，
故．
故选：．
先计算个数字中任意取个数字构成一个三位共种，又因为相加等的数字组，则求出共种情况，求出概率即可．
本题考查概率问题，属于基础题，理解题目意思是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：选项，随机变量，，，A正确；
选项，随机变量，则方差，，B错误；
选项，从名男生，名女生中任选人，取出的女生个数服从超几何分布，C正确；
选项，已知随机变量的分布列为，则，解得，
则，D正确．
故选：．
根据正态分布的对称性可判断；根据二项分布的方差公式求得，根据方差的性质可判断；根据超几何分布的定义可判断；根据离散型随机变量分布列的性质可求得，即可判断．
本题考查正态分布的对称性，考查超几何分布的定义，考查二项分布的方差，考查离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：令，则，则，所以二项式为，
展开式的通项公式为，，，，，
：奇数项的二项式系数和为，故A正确；
：根据通项公式可知各项的系数与二项式系数相等，则各项的系数最大项为第项，故B错误；
：令为整数，则为的倍数，所以，，，，，所以有理项共有项，故C正确；
：令，解得，故不存在常数项，故D错误．
故选：．
令求出的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，：根据二项式系数的性质即可求解判断；：根据通项公式可知系数与二项式系数相等，然后根据二项式系数的性质即可判断求解；：令的指数为整数，即可求出有理项；：令的指数为，由此即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
选项，，，A正确；
选项，，，B正确；
选项，，，C错误；
选项，，D正确．
故选：．
根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：取、的中点、，连接、，如图，、、、是正方形各边的中点，
则，为的中点，
．
平面平面，平面平面，平面，
平面，
四边形是边长为的正方形，
、分别为、的中点，则且，且，
所以四边形为矩形，所以，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，．
选项 A，设平面的一个法向量为，
由，取，则，，则．
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，则，
，所以平面与平面不垂直，故A错误；
选项B，，
所以直线与所成的角为，故B正确；
选项D，以为底面，以为高将几何体 补成长方体，
则、、、分别为，，，的中点，
因为，，长方体的体积为，
，
因此，多面体的体积为，故D正确；
选项C，，设直线与平面所成角为，
则，
所以，故C正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，结合向量法．割补法对选项进行分析，由此确定正确选项．
本题考查利用向量法解决空间中的夹角，体积问题，考查学生的综合能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，可知
每一个工人都有种选择方法，
根据分步计数原理，可知
名工人不同方法的种数有种，
故答案为：．
本题中名个人每个人都有种选择方法，且互不影响，根据分步计数原理可计算出结果．
本题主要考查分步计数原理的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
则
．
故答案为：．
根据组合数及组合数公式，计算即可．
本题考查组合数及组合数公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，质点作次运动中，用表示向右移动的次数，则向左移动次，
分析有，
若质点运动次回到原点，则必定右移次，左移次，即，
则；
若质点位置与点的距离不大于，即质点的位置为、、，此时、，
则．
故答案为：，．
根据题意，质点作次运动中，用表示向右移动的次数，则向左移动次，分析可得，
对于第一空：若质点运动次回到原点，必有，由二项分布的性质分析可得答案；
对于第二空：若质点位置与点的距离不大于，必有、，由二项分布的性质分析可得答案．
本题考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，取的中点，连接、和，
在正方体中，易得，则平面，
为的中点，为线段的中点，易得，则平面，
而，
则平面平面，
若平面，则平面，
又由平面，则的轨迹为线段，
又由正方体的棱长为，则，
即点轨迹在正方形内的长度为．
故答案为：．
根据题意，取的中点，连接、和，分析可得平面和平面，由面面平行的判断方法可得平面平面，由此可得的轨迹为线段，计算可得答案．
本题考查直线与平面平行的性质以及判定，涉及正方体的几何结构，属于中档题．
17.【答案】解：名老师站中间，有种站法，名学生有种站法，
故共有种；
先从个位置中选出个位置给名男生，有种方法，
再在剩下的个位置上排其余人，有种站法，
故四名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有种．
【解析】老师必须站在中间，先排老师有种站法，学生任意排即可；
先从个位置中选出个位置给名男生，再在剩下的个位置上排其余人，
本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不相邻用插空法，属于基础题．
18.【答案】解：由于若，
展开式的通项为，
根据，解得，由，
解得，所以实数的值是．
由知，，当时，．
由题意，当时，，
因此．
【解析】由题意，根据二项展开式的通项公式，求得的值．
由题意，分别令、，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，属于中档题．
19.【答案】解：在四面体中，解：设，，
则，，，，，，，，
；
由知，因为，则，
因为是中点，则
如图，于是，

因
，
即有，所以线段的长为．
【解析】设，，利用计算即可；
利用，可求线段的长．
本题考查利用向量的线性运算求线段长，考查向量的数量积的计算，属中档题．
20.【答案】解：乙同学有机会答题的概率为．
的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
【解析】根据相互独立事件乘法公式计算即可；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
21.【答案】解：由题意得样本中得分不低于分的市民共有人，其中得分不低于的人数为人，
则从样本中得分不低于分的市民中随机地抽取人，人得分均不低于分的概率为．
由题意知，样本中的名市民问卷得分的平均值为：
，则，
由，得，
所以，
所以，估计全市参加问卷的全体市民中，得分在人数为．
以随机变量表示甲答对的题数，则，且，
记甲答完题所加的分数为随机变量，则，，
依题意为了获取答道题的资格，甲需要的分数为：，
设甲答完题后的得分的期望值为，
则，
所以当或时，取最大值，
即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多．
【解析】根据条件概率公式计算即可；
根据正态分布的对称性和原则求解即可；
求得甲答完题后的得分的期望值为，利用二次函数的性质求得的最大值即可．
本题考查正态分布，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
22.【答案】证明：法一：连结，为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
，，平面
平面，又平面，，
由题设知四边形为菱形，，
，分别为，中点，，，
，，，平面，
平面．
法二：由平面，，平面，，，
又为等边三角形，为中点，，
则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，，
，
，
又，，，平面，平面．
解：由坐标法得，
平面的一个法向量为，
点到到平面的距离．
解：，
设，则，
，，；
由知平面，
平面的一个法向量
设平面的法向量，
则，，即，令，则，，，
，
令，则，
，
，，，
即锐二面角的余弦值的取值范围为．
【解析】法一，利用线面垂直的判定定理进行证明，法二，建立坐标系，利用向量法进行证明．
求出向量坐标，利用点到平面的距离公式进行计算即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法求二面角即可．
本题主要考查线面平行的判定，点到平面的距离以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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