2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足是虚数单位，则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
3. 设，，，则( )
A. B. C. D.
4. 国家于年月日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，甲表示事件“该家庭既有男孩又有女孩”，乙表示事件“该家庭最多有一个男孩”，丙表示事件“该家庭最多有一个女孩”则下列说法正确的是( )
A. 甲与乙互斥且对立 B. 乙与丙互斥但不对立
C. 甲与乙相互独立 D. 乙与丙相互独立
5. 已知函数对任意都有，则当取到最大值时，函数图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7. 个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 年月日，很多商场都在搞“”促销活动市物价局派人对个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如表所示，用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有( )
A. 变量与负相关且相关性较强 B.
C. 当时，的估计值为 D. 相应于点的残差为
10. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11. 已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，，，函数的图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则( )
A. 为定值 B. 为定值
C. 直线的斜率取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是______ ．
14. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则 ______ ， ______ ．
15. 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为：：，三所学校共有数学强基学生人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为，方差为已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为和，方差分别为和，则丙学校的学生成绩的方差是______ ．
16. 在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设袋子中装有大小相同的个红球和个白球，现从袋中任取个小球每球取出的机会均等．
求取出的个小球中红球个数比白球个数多的概率；
若取出一个红球记分，取出一个白球记分，记表示取出的个球的总得分，求随机变量的分布列和数学期望．
18. 本小题分
已知函数且．
求函数的奇偶性；
若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
19. 本小题分
第届亚运会将于年月日在杭州开幕，本次亚运会共设个大项，个分项，个小项为调查学生对亚运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得．
男生 女生 合计
了解 _____ _____
不了解 _____ _____
合计 _____
求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
为弄清学生不了解亚运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取人，再从这人中抽取人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中对亚运会项目了解的人数为，求随机变量的数学期望．
附表：
附：．
20. 本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
设的中点为，若，且，求的面积．
21. 本小题分
如图，圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，．
证明：平面；
若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值．
22. 本小题分
已知函数，，．
当时，求函数的单调区间；
设函数的最小值为，求函数的最小值．
其中是自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合，利用交集定义能求出．
【解答】
解：集合，
，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：，
，
复数的共轭复数为．
故选：．
根据复数的除法得到复数，再根据共轭复数即可求得结果．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，且，；
；
；
；
．
故选：．
容易看出，，，并且可得出，并可说明，从而得出，这样即可得出，，的大小关系．
考查对数函数的单调性，增函数的定义，对数的换底公式，以及不等式的性质．
4.【答案】
【解析】解：有三个小孩的家庭的样本空间可记为：男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，女，女，女，
事件甲男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，
事件乙男，女，女，女，男，女，女，女，男，女，女，女，
事件丙男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，
对于，甲乙，所以甲与乙不互斥，故A不正确；
对于，乙丙，乙丙，所以乙与丙互斥且对立，故B不正确；
对于，事件甲有个样本点，事件乙有个样本点，事件甲乙有个样本点，甲，乙，甲乙，显然有甲乙甲乙，即事件甲与事件乙相互独立，故C正确；
对于，事件乙有个样本点，事件丙有个样本点，事件乙丙有个样本点，乙，丙，乙丙，显然有乙丙乙丙，即事件乙与事件丙不相互独立，故D不正确；
故选：．
利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，，利用独立事件的定义可判断，．
本题考查了互斥事件，对立事件及相互独立事件的判定，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，所以的最大值为，
当时，令，
解得，
当时，对称轴为，故A正确；
若，则，故B错误；
若，则，故C错误；
若，则，故D错误．
故选：．
先根据，得到，结合，得到的范围，求出的范围，进而得到的最大值，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由已知得，
因为，所以，即．
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
先将两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有．
故选：．
本题是一个分步计数问题，甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题，对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理．
8.【答案】
【解析】解；函数为奇函数，则，可得
函数为偶函数，则，可得，
所以，即，即，
即，故函数是以为周期的函数，
由，令，得，知，
则，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立．
故选：．
根据奇偶性可求得函数是以为周期的函数，再利用赋值法求函数值，即可判断．
本题主要考查函数的奇、偶性，以及周期性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；
对，由题可得，，
故回归直线恒过点，故，即，故B正确；
对，当时，，故C错误；
对，相应于点的残差，故D正确．
故选：．
根据相关性、相关系数判断，利用样本中心点判断，将代入回归直线方程判断，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断．
本题主要考查相关系数的性质，考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，向右平移个单位得到：，
，
的最小正周期为，A正确；
时，，在上没有单调性，B错误；
解时，，不是的对称轴，C错误；
解得，，是的对称中心，D正确．
故选：．
根据条件得出，从而判断A正确；由得出，从而判断B错误；时，得出，判断C错误；解可得出D正确．
本题考查了三角函数的平移变换，的周期的计算公式，正弦函数的单调区间，正弦函数的对称轴和对称中心，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，故A错误；
对于，，，且，则，
所以，则，故B正确；
对于，，仅当取等号，
又，则，故C正确；
对于，，仅当取等号，故D错误．
故选：．
用特值法判断；
推出范围，结合指数函数的单调性判断；
利用基本不等式判断；利用对数的运算性质结合基本不等式判断．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，导数为，
可得在点处的斜率为，
切线的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数为，
可得在点处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在，处的切线相互垂直，可得，
即为，，，故A正确，B错误；
直线的斜率，
因为，所以上面不等式中的等号不成立，故C正确；
，
，故D正确．
故答案为：．
结合导数的几何意义可得，即可判断；结合基本不等式可判断；结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简可判断．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】，，，
【解析】解：的展开式中含有常数项，
它的通项公式为，
有解，即，，，，，
则的一个可能取值是，，，．
故答案为：，，，．
由题意，求得二项式的通项公式，由题意，可得的幂指数等于零有解，由此可得的取值范围．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由的分布密度曲线关于对称，可知，，
又，所以，．
故答案为：；．
由密度曲线可知，，根据正态分布的性质计算可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为：：，三所学校共有数学强基学生人，
则甲校的数学强基小组人数；乙校的数学强基小组人数为；丙校的数学强基小组人数，
所有学生的成绩平均分为，方差为已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为和，方差分别为和，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得，即，解得，
因此，，
即，
解得．
故答案为：．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与方差的计算公式求解．
本题主要考查平均数与方差的计算公式，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：如图：过作且，连接，，过作且，连接，，
因为，所以，又，，，面，
所以面，所以可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱，
所以四面体与直三棱柱有共同的外接球，
且球心位于底面外心沿方向的处，即，设四面体的外接球半径为，的外接圆半径为，
因为异面直线，所成角为，所以或，
当时，，
当时，，则，
则，
所以该四面体外接球的半径或，
则外接球的表面积为或，
故答案为：或．
由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：取出的个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：个红球白球、个红球，
则；
由题意所有可能的取值为：，，，，，
则，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为．
【解析】取出的个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：个红球白球、个红球，结合古典概型公式求解；
由题意所有可能的取值为：，，，，，求出对应概率，得随机变量的分布列，利用数学期望公式计算期望．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】解：由得，
函数的定义域为；
又，
所以，即是奇函数．
方程有实根，也就是方程即在内有解，
实数属于函数在内的值域．
令，则，因为在内单调递增，所以．
故实数的取值范围是．
【解析】根据函数奇偶性的定义，计算即可求解；
方程有实根，也就是方程即在内有解，从而得出实数属于函数在内的值域．利用换元法求出其值域即可得到实数的取值范围；
本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查换元法以及对数的运算性质，突出考查运算求解能力与化归、转化思想．属于中档题．
19.【答案】解：被调查的男女生人数均为，其中男生中了解的有，则不了解的有，
其中女生中不了解的有，则了解的有，
列联表如下表所示：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
，又，可得，
因为，
所以有的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取人，
所以这人中男生的人数为，女生的人数为，
再从这人中抽取人进行面对面交流，
“至少抽到一名女生”的概率为；
由题意可知，故．
【解析】完善列联表，根据的计算可得出关于的等式，即可解得正整数的值，结合临界值表可得出结论；
分析可知，抽取的这人中男生的人数为，女生的人数为，利用组合数结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
，
，
又，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，，
，
；
在中，由余弦定理可得，
，
，
，
又，
，
在中，由余弦定理可得，
，
，
，
又，
，
又，，
，
解得，
，
．
【解析】利用正弦定理可得，又，所以，从而求出；
在中，由余弦定理可得，化简可得，在中，由余弦定理可得，化简可得，结合即可求出，的值，进而求出的面积．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：取中点，连接，，
由题意知，，
又为的中位线，
所以，
又为直径，
所以，则，
由和，得，又，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又面，
所以，
所以，
又，
又，
所以面，
又，
所以面．
由三棱锥体积为得，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，得，
设平面的法向量，
则，
所以，
所以，，
所以，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
【解析】取中点，连接，，只需证明面，，即可得出答案．
由三棱锥体积为得，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，解出平面的法向量为，平面的法向量，计算，，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：已知函数，，，
当时，，，
此时，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，
所以当时，；当时，，
故函数在单调递减，在单调递增；
因为，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在上为增函数，
又，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，
所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，
所以，
此时，
因为，函数定义域为，
可得，
易知在单调递增，
又，
所以，，
则在上存在唯一零点，
当，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，
所以，
即，
又，
所以，
易知函数在上单调递增，
所以，
则
，
又，
所以，
故F在上的最小值为．
【解析】由题意，将代入函数和的解析式中，得到的解析式，对函数进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性；
易得函数的打电脑线，对函数进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性，再由零点存在性定理得到在上存在唯一零点，利用所给条件得到，再利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
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