2022-2023学年河南省信阳市平桥区高二下学期期末数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年河南省信阳市平桥区高二下学期期末数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 519.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-05 18:33:14 | ||
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文档简介
2022-2023学年河南省信阳市平桥区高二下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
3. 若是正方体的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 若的展开式中存在常数项，则( )
A. B. C. D.
5. 从，，，，这五个式子中任取两个，则这两个式子的值不相等的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，，且在区间上单调，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，有一台擀面机共有对轧辊，所有轧辊的半径都是，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的倍整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若复数满足，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为任意一个实数
C. D.
10. 某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制根据模拟成绩，考生小明得等和等的概率都为，得等和等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，，，，分别记为分、分、分、分若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数，则( )
A. 小明得等或等的概率为 B.
C. D.
11. 已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则( )
A. B. ( )
C. D.
12. 已知直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，线段的中点为，点的坐标为，则( )
A. 与抛物线相切 B. 轴
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，若，则的取值范围是 ．
14. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则的值为 ．
15. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 ．
16. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积与三棱锥的体积之比为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在中，是边上一点．
Ⅰ若，，，求证：
Ⅱ若，，，，边的长大于，求的面积．
18. 本小题分
某校用随机抽样的方法调查了名学生参加数学校外补习的情况，将所有数据整理后如下表所示，其中，为正整数已知从样本中随机抽取名学生，其数学成绩满分分不低于分的概率为
数学成绩 不及格 及格 良好
调查的学生人数
参加校外补习人数
求，的值( )
若数学成绩按是否为良好进行分类，在犯错误的概率不超过的条件下，能否认为学生的数学成绩与参加校外补习有关．( )
参考公式：，其中
参考数据：
其中
19. 本小题分
已知等比数列是递减数列，设其前项和为，已知，且，，成等差数列．
求的通项公式( )
定义为不大于的最大整数，若等差数列的首项为，公差为的公比，求数列的前项和．( )
20. 本小题分
如图，圆柱的底面半径与高均为，为的直径，，分别为，上的点，直线与线段交于点
Ⅰ证明：为线段的中点
Ⅱ若与下底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为
求椭圆的方程( )
已知，为直线上一纵坐标不为的点，且直线交于，两点，证明：( )
22. 本小题分
已知函数
求过点且与的图象相切的直线方程( )
若函数有两个不同的零点，证明：存在唯一的极大值点，且( )
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的关系及运算，属于基础题．
【解答】
解：由，可得，所以，，对选项逐个验证得D正确．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了投影向量，属基础题．
【解答】
解：由题可知在上的投影向量的模为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
【解答】
解：因为，，，共线，所以异面直线与所成的角为．
设正方体的棱长为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，属于基础题．
【解答】
解： 的展开式的通项为，
令，可得，当且仅当时，，
此时二项展开式中存在常数项．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的概率计算、组合，属基础题．
【解答】
解：从这五个式子中任取两个共有种不同的取法，由诱导公式可得，，，，由古典概型的概率计算公式可得，从这五个式子中任取两个，则这两个式子不相等的概率为．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
【解答】
解：由已知可得的最小正周期为，所以，
所以
因为，
所以，，
因为，
所以．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的实际应用，属于基础题．
【解答】
解：由题可知轧辊底面的周长为．
设输人的面带的原始厚度为，宽度为．
因为第对轧辊出口处相邻疵点间距离为轧辊底面的周长，
所以相邻疵点间面带的体积为，
而在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点间面带的体积为．
由体积相等得，
所以．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，属较难题．
【解答】
解：令，，
则，，令，则．
当时，，所以在时单调递增，
所以当时，，所以当时，．
当时，，当时，，
所以在上的最小值为，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，所以当时，．
综合可得，当时，所以．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的相关概念与运算，属于基础题．
【解答】
解：设，因为，所以，
化简得，所以，
所以，，
的实部为，故A正确
的虚部为非负数，故B错误
，故C正确
，故D错误
选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的计算及数学期望的计算，属于基础题．
【解答】
解：小明得等或等的概率为，故A错误
，故B正确
，故C正确
，故D错误．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导函数图象与原函数图象的关系、利用导数比较大小，属较难题．
【解答】
解：由题画出的大致图象如图，由图象可知，，故A正确
在上，在上单调递减，，又，，，故B正确
由导函数的图象可知，，，，故C正确
，，，即，，，，，故D错误．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
【解答】
解：由消去可得，
令，，
则，，
由，得，
所以过，点的切线方程分别为，，
由解得
即两条切线的交点为，
故A正确
因为，所以轴，
故B正确
因为，所以，所以，
故C错误
由题可知，所以，又，所以，所以，所以，
故D正确，
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
【解答】
解：因为，所以，所以，所以的取值范围是
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式、等差数列的性质，属基础题．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
因为，所以，所以，
所以．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念、性质，属于基础题．
【解答】
解：由题可知，即设双曲线的半焦距为，则，所以，由题可知所以，因为，所以直线的斜率为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体的外接球及体积的计算，属于中档题．
【解答】
解：如图，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，
由已知得，，，，解得，，
所以外接球的体积为，
三棱锥的体积为，
所以外接球的体积与三棱锥的体积之比为
17.【答案】解：Ⅰ由已知得．
因为，，
所以
Ⅱ设，
由余弦定理得，
即，
解得或舍去，即．
因为，所以．
又，
由正弦定理可得，
所以，的面积为．
【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理、三角形面积公式，属中档题．
18.【答案】解：由已知得
解得，．
Ⅱ由已知及Ⅰ的结论得列联表如下：
，
所以在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为学生的数学成绩与参加校外补习有关．
【解析】 本题考查独立性检验，列联表属于中档题．
19.【答案】解：设等比数列的公比为，则．
因为，，成等差数列，所以．
因为，所以．
得，所以，
代人，得，
解得或舍去．
所以．
由可得
所以，则，
所以
当时，，
当，时，，
当，，，时，，
当，，，时，，
所以数列的前项和为．
【解析】本题考查等比数列和等差数列的性质及数列的前项和的计算．
20.【答案】解：Ⅰ连接，，，，如图所示：
因为与交于点，所以，，，四点共面，
且圆柱的上、下底面平行，所以
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，即为的中点．
Ⅱ延长交于点，连接，，．
因为在上，为的直径，
所以，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面．
所以为直线与下底面所成的角，所以．
因为，所以，．
如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则不妨取，则
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了直线与平面所成角的向量求法、面面平行的性质，属中档题．
21.【答案】解：设的半焦距为．
由已知得，，又由，
解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ设直线的方程为，则
将代入，得．
设，的坐标分别为，，
则，，．
，
要证，只要证，
即要证，
即要证，
即要证．
因为，
所以式成立，所以成立．
【解析】 本题考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系．
22.【答案】解析由题可知．
设切点坐标为，则切线方程为．
因为切线过点，
所以，解得，
所以切线方程为．
由题可知，其定义域为，则．
若，则在上单调递增，最多有一个零点，不符合题意．
若，令，得，
令，，则，
当时，恒成立．
所以在上单调递增．
因为当时，，当时，，
又，所以恰有一解．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以即为的唯一极大值点．
因为当时，，当时，，
所以有两个不同的零点等价于，即．
因为，所以．
令，则在上单调递增，
而，
所以．
【解析】本题考查导数的几何意义及导数在函数问题中的应用，属于较难题．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
3. 若是正方体的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 若的展开式中存在常数项，则( )
A. B. C. D.
5. 从，，，，这五个式子中任取两个，则这两个式子的值不相等的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，，且在区间上单调，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，有一台擀面机共有对轧辊，所有轧辊的半径都是，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的倍整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若复数满足，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为任意一个实数
C. D.
10. 某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制根据模拟成绩，考生小明得等和等的概率都为，得等和等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，，，，分别记为分、分、分、分若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数，则( )
A. 小明得等或等的概率为 B.
C. D.
11. 已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则( )
A. B. ( )
C. D.
12. 已知直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，线段的中点为，点的坐标为，则( )
A. 与抛物线相切 B. 轴
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，若，则的取值范围是 ．
14. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则的值为 ．
15. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 ．
16. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积与三棱锥的体积之比为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在中，是边上一点．
Ⅰ若，，，求证：
Ⅱ若，，，，边的长大于，求的面积．
18. 本小题分
某校用随机抽样的方法调查了名学生参加数学校外补习的情况，将所有数据整理后如下表所示，其中，为正整数已知从样本中随机抽取名学生，其数学成绩满分分不低于分的概率为
数学成绩 不及格 及格 良好
调查的学生人数
参加校外补习人数
求，的值( )
若数学成绩按是否为良好进行分类，在犯错误的概率不超过的条件下，能否认为学生的数学成绩与参加校外补习有关．( )
参考公式：，其中
参考数据：
其中
19. 本小题分
已知等比数列是递减数列，设其前项和为，已知，且，，成等差数列．
求的通项公式( )
定义为不大于的最大整数，若等差数列的首项为，公差为的公比，求数列的前项和．( )
20. 本小题分
如图，圆柱的底面半径与高均为，为的直径，，分别为，上的点，直线与线段交于点
Ⅰ证明：为线段的中点
Ⅱ若与下底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为
求椭圆的方程( )
已知，为直线上一纵坐标不为的点，且直线交于，两点，证明：( )
22. 本小题分
已知函数
求过点且与的图象相切的直线方程( )
若函数有两个不同的零点，证明：存在唯一的极大值点，且( )
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的关系及运算，属于基础题．
【解答】
解：由，可得，所以，，对选项逐个验证得D正确．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了投影向量，属基础题．
【解答】
解：由题可知在上的投影向量的模为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
【解答】
解：因为，，，共线，所以异面直线与所成的角为．
设正方体的棱长为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，属于基础题．
【解答】
解： 的展开式的通项为，
令，可得，当且仅当时，，
此时二项展开式中存在常数项．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的概率计算、组合，属基础题．
【解答】
解：从这五个式子中任取两个共有种不同的取法，由诱导公式可得，，，，由古典概型的概率计算公式可得，从这五个式子中任取两个，则这两个式子不相等的概率为．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
【解答】
解：由已知可得的最小正周期为，所以，
所以
因为，
所以，，
因为，
所以．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的实际应用，属于基础题．
【解答】
解：由题可知轧辊底面的周长为．
设输人的面带的原始厚度为，宽度为．
因为第对轧辊出口处相邻疵点间距离为轧辊底面的周长，
所以相邻疵点间面带的体积为，
而在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点间面带的体积为．
由体积相等得，
所以．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，属较难题．
【解答】
解：令，，
则，，令，则．
当时，，所以在时单调递增，
所以当时，，所以当时，．
当时，，当时，，
所以在上的最小值为，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，所以当时，．
综合可得，当时，所以．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的相关概念与运算，属于基础题．
【解答】
解：设，因为，所以，
化简得，所以，
所以，，
的实部为，故A正确
的虚部为非负数，故B错误
，故C正确
，故D错误
选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查概率的计算及数学期望的计算，属于基础题．
【解答】
解：小明得等或等的概率为，故A错误
，故B正确
，故C正确
，故D错误．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导函数图象与原函数图象的关系、利用导数比较大小，属较难题．
【解答】
解：由题画出的大致图象如图，由图象可知，，故A正确
在上，在上单调递减，，又，，，故B正确
由导函数的图象可知，，，，故C正确
，，，即，，，，，故D错误．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
【解答】
解：由消去可得，
令，，
则，，
由，得，
所以过，点的切线方程分别为，，
由解得
即两条切线的交点为，
故A正确
因为，所以轴，
故B正确
因为，所以，所以，
故C错误
由题可知，所以，又，所以，所以，所以，
故D正确，
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
【解答】
解：因为，所以，所以，所以的取值范围是
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式、等差数列的性质，属基础题．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
因为，所以，所以，
所以．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念、性质，属于基础题．
【解答】
解：由题可知，即设双曲线的半焦距为，则，所以，由题可知所以，因为，所以直线的斜率为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体的外接球及体积的计算，属于中档题．
【解答】
解：如图，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，
由已知得，，，，解得，，
所以外接球的体积为，
三棱锥的体积为，
所以外接球的体积与三棱锥的体积之比为
17.【答案】解：Ⅰ由已知得．
因为，，
所以
Ⅱ设，
由余弦定理得，
即，
解得或舍去，即．
因为，所以．
又，
由正弦定理可得，
所以，的面积为．
【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理、三角形面积公式，属中档题．
18.【答案】解：由已知得
解得，．
Ⅱ由已知及Ⅰ的结论得列联表如下：
，
所以在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为学生的数学成绩与参加校外补习有关．
【解析】 本题考查独立性检验，列联表属于中档题．
19.【答案】解：设等比数列的公比为，则．
因为，，成等差数列，所以．
因为，所以．
得，所以，
代人，得，
解得或舍去．
所以．
由可得
所以，则，
所以
当时，，
当，时，，
当，，，时，，
当，，，时，，
所以数列的前项和为．
【解析】本题考查等比数列和等差数列的性质及数列的前项和的计算．
20.【答案】解：Ⅰ连接，，，，如图所示：
因为与交于点，所以，，，四点共面，
且圆柱的上、下底面平行，所以
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，即为的中点．
Ⅱ延长交于点，连接，，．
因为在上，为的直径，
所以，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面．
所以为直线与下底面所成的角，所以．
因为，所以，．
如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则不妨取，则
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了直线与平面所成角的向量求法、面面平行的性质，属中档题．
21.【答案】解：设的半焦距为．
由已知得，，又由，
解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ设直线的方程为，则
将代入，得．
设，的坐标分别为，，
则，，．
，
要证，只要证，
即要证，
即要证，
即要证．
因为，
所以式成立，所以成立．
【解析】 本题考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系．
22.【答案】解析由题可知．
设切点坐标为，则切线方程为．
因为切线过点，
所以，解得，
所以切线方程为．
由题可知，其定义域为，则．
若，则在上单调递增，最多有一个零点，不符合题意．
若，令，得，
令，，则，
当时，恒成立．
所以在上单调递增．
因为当时，，当时，，
又，所以恰有一解．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以即为的唯一极大值点．
因为当时，，当时，，
所以有两个不同的零点等价于，即．
因为，所以．
令，则在上单调递增，
而，
所以．
【解析】本题考查导数的几何意义及导数在函数问题中的应用，属于较难题．
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