2022-2023学年福建省福州重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集为实数集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
3. 已知点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4. “”是“函数是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，都是锐角，，则( )
A. B. C. D.
6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 设为正项等差数列的前项和若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为记第次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，，，若，则( )
A. B.
C. D.
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
11. 如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 若平面平面，则
C. 过点且与平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形
D. 平面截该四棱锥外接球所得 的截面面积为
12. 已知抛物线：的焦点为，圆：，过焦点的动直线与抛物线交于点、，与圆相交于点、、在轴上方，点是中点，点，则下列结论正确的有( )
A. 若直线与轴相交于点，则有
B. 随着变化，点在一条抛物线上运动
C. 最大值为
D. 当时，总存在直线，使、、成等差数列
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第项，则展开式中的系数
为______ ．
14. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移______ 个单位长度．
15. 设，为双曲线：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为______ ．
16. 设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______ 填“增”或“减”函数；若，，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，．
求与的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值．
19. 本小题分
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 骨牛排
数量盒
用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，再从抽取的盒牛排中随机抽取盒，求恰好有盒牛排是骨牛排的概率；
若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取盒，若表示抽到的菲力牛排的数量，求的分布列和数学期望．
20. 本小题分
如图，在等腰梯形中，，，将沿着翻折，使得点到点处，且．
求证：平面平面；
求二面角的平面角的正弦值．
21. 本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别是、，其离心率，点是椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ直线，与椭圆分别相交于点，，求证：为定值．
22. 本小题分
设函数，．
若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值．
若函数存在两个极值点．
求的取值范围；
当时，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以，
则．
故选：．
利用集合补集与交集的定义求解即可．
本题考查了集合交集与补集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简等式右边，移向后求得，则答案可求．
本题考查复数的基本运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：由，
得，
，
则在复平面内对应的点所在的象限为一．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．
根据已知条件，先求出，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】
解：圆：，
则圆的圆心为，
，
过作圆的切线，
则，即，
故的倾斜角为．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：当函数为奇函数，
则，
解得，
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件．
故选：．
函数为奇函数，解得，判断与的互推关系，即可得到答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了奇函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，都是锐角，，，
，为钝角，
，
则
．
故选：．
由题意，利用同角三角函数的基本关系式，两角和差的余弦公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和差的余弦公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若甲，乙都不在天和核心舱，则共有种，
若甲和乙有一人在天和核心舱，则共有种，
所以共有种．
故选：．
分甲乙都不在天和核心舱和甲乙中有一人在天和核心舱求解即可．
本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，，
化简，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，根据第次推送时购买、没有购买两种情况，写出第次推送时没有购买的概率
第次推送时不购买此商品的概率，
所以，由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即．
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为．
故选：．
写出第次推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案．
本题主要考查不等式恒成立问题，数列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，向量的模和向量的数量积，属于基础题．
根据题意，由数量积的计算公式求出的值，由此分析选项，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量，，
由，则，
解可得：，故A错误；
则，，所以，故B正确；
，则，故C正确；
，故D正确；
故选：．

10.【答案】
【解析】解：在上单调递增，
由得，，
，且，，
，
，，，时，
故选：．
可看出函数在上单调递增，从而可得出，进而得出，然后判断每个选项的正误即可．
本题考查了构造函数比较大小的方法，对数函数的单调性，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，连接，
因为平面，平面，
所以，
又四边形为矩形，
所以，
又，平面，，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故选项A正确；
对于选项B，因为，
而平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，故选项B正确；
对于选项C，连接，记，连接，
因为，，
所以，
则过点且与平行的平面必过直线，
设过点且与平行的平面与交于点，
若点与点重合，
此时截面为，
当点与点重合时，
连接，，
此时截面为，
当点在线段上，且不为端点时，连接，
直线与线段交于点，过点作交于，
连接，，
此时截面为四边形，
易得几何体关于平面对称，
所以当截面与线段相交不含端点时，
所得截面也是四边形，
综上，截面图形是三角形或四边形，不可能是五边形，故选项C错误；
对选项于，易得四棱锥的外接球球心就是的中点，
则四棱锥外接球半径，
因为是的中点，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离一半，
点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
令点到平面的距离等于点到平面的距离为，
此时，
解得，
所以点到平面的距离，
可得平面截该四棱锥外接球所得的截面圆半径
，
则截面面积，故选项D正确．
故选：．
由题意，利用面面垂直的性质即可判断选项A；结合线面平行求证线线平行，进而即可判断选项B；利用平面的性质，作四棱锥的截面即可判断选项C；先确定外接球球心的位置，再计算球心到平面的距离，根据球的性质列出等式求解即可判断选项D．
本题考查立体几何的综合应用，考查了逻辑推理、空间想象能力和运算求解能力．
12.【答案】
【解析】解：设直线：，与联立得：，
由韦达定理得：，．
当时，直线与轴相交于点，
，
，
，故A正确；
设点坐标为，则，，消去得，故B正确；
由，，得
，故C错误；
，，，
若、、成等差数列，则有，即，
，
，故D错误．
故选：．
设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，，然后根据即可得到，即可判断选项；根据韦达定理和消参的方法得到的轨迹方程，即可得到的轨迹为抛物线，即可判断选项；利用坐标得到，即可得到的最大值，即可判断选项；根据焦半径公式得到，，然后根据等差中项的性质列方程得到，即可得到，即可判断选项．
本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，方程思想的应用是求解问题的关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：二项式系数最大的项仅是第项，
，
则展开式的通项公式为，
由得，得，
即展开式中的系数为．
故答案为：．
根据条件求出，然后求出通项公式，令的次数为，然后进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的最大项求出，利用通项公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数，，
，
为了得到函数的图象，
只需将函数的图象向右平移个单位．
故答案为：．
由题意，利用诱导公式，函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在第一象限内，若，则，，
直线倾斜角的余弦值为，
由余弦定理可得，
整理可得，解得或舍去，
的离心率为．
故答案为：．
由已知可得，，，再由直线倾斜角的余弦值为，结合余弦定理列式求解的离心率．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】增
【解析】解：已知，则，令，，
则，所以在为增函数，
即函数在定义域内是增函数；
，，
又，，
可得，由于在为增函数，
所以，解得，即的最小值为．
故答案为：增；．
可知，令，求导利用导函数的正负即可判断单调性；再根据，可知，利用的单调性解不等式即可．
本题考查导数的综合应用，考查构造函数，属于中档题．
17.【答案】解：设的公差为，的公比为，
由，即，
又，所以，
所以；
由，可得，
又，所以，
又因为为递增的等比数列，且，
故，所以；
由可得，
则
．
【解析】设的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
求得，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：在中，，，，
由正弦定理得，，
于是，即，
又，则；
由题意得，
，
由得，则，
则，，
在中，，，则，
则
，
由正弦定理得．
【解析】由已知结合正弦定理可得，整理后与平方关系联立求得的值，即可得出答案；
由同角三角函数基本关系式及倍角公式求得，的值，结合，利用正弦定理，即可得出答案．
本题考查三角形的解法，考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：用比例分配的分层随机抽样方法从这盒牛排中抽取盒，
其中骨牛排有盒，非骨牛排有盒，
再从中随机抽取盒，设恰好有盒牛排是骨牛排为事件，
则；
这盒牛排中菲力牛排有盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的事件为，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取盒，抽到的菲力牛排的数量满足，
又，
．
所以的分布列为：
所以．
【解析】先根据分层抽样分别求出骨牛排和非骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
先求出从这批牛排中随机抽取盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．
20.【答案】证明：由等腰梯形中，，
可得，
又由，所以，
又因为，且，所以平面，
又由平面，所以平面平面．
解：取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，令，得，
又，令，则，得，
则，
二面角的平面角的正弦值为．
【解析】证明，结合，推出平面，然后证明平面平面．
取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ设内切圆的半径为，
则，
，
当的面积最大时，内切圆的半径最大，
显然当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，最大值为，
的最大值为，即，
由，解得：，
椭圆的标准方程为：．
Ⅱ设，，，
当时，设直线，的直线方程分别为，，
由得：，
，
，，
又在椭圆上，所以，
，
同理，由可得，
，
当时，直线，与轴重合，易得：，
综上所述，为定值．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程，同时考查了椭圆中的定值问题，考查学生计算能力，是较难题．
Ⅰ由题意可知内切圆的半径的最大值为，而当的面积最大时，内切圆的半径最大，所以，再结合离心率和求出，，的值，从而得到椭圆的标准方程．
Ⅱ设，，，对是否为分情况讨论，当时，设直线，的直线方程分别为，，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，同理可得，进而求出，当时，直线，与轴重合，易得：，所以为定值．
22.【答案】解：，，，
，，
故曲线在处的切线方程是；
设直线与相切于点，
，，
由，得；
，
在上存在两个极值点
等价于在上有个不同的根，
由，可得，令，
则，令，可得，
故在递减，且，
当时，，，递增，
当时，，，递减，
故是极大值也是最大值，
又当时，，当时，且趋向于，
要使在有个根，只需，
故的取值范围是；
证明：设，
，
当时，，，则在递增，
，
当时，，
令，则，
，，
取，且使，即，
则，
，
故H存在唯一零点，
故F有唯一的极大值点，
由，可得，故F，，
，故F为上的增函数，
，
综上，当时，总有，即．
【解析】求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程，得到关于的方程组，解出即可；
求出的导数，求出，令，根据函数的单调性求出的范围即可；
设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出，证明结论即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．
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