2022-2023学年福建省泉州市三校协作高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市三校协作高二（下）联考数学试卷（6月份）
1. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
2. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为( )
A. B. C. D.
3. 某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为( )
A. B. C. D.
4. 某选拔性考试需要考查个学科语文、数学、物理、政治，已知物理考试与数学考试不能相邻，则这个学科不同的考试顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 已知一系列样本点的回归直线方程为，若样本点与的残差相同，则有( )
A. B. C. D.
6. 在正方体中，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面
D. 点到平面的距离为定值
7. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，，，且三家工厂的次品率分别为，，，则市场上该品牌产品的次品率及该次品是甲厂生产的概率分别为( )
A. B. C. D.
8. 定义在上的函数的图像关于直线对称，其导函数为，当时，恒有，若，则下列一定成立的是( )
A. B. C. D.
9. 下列说法中，正确的命题有( )
A. 相关系数的值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10. 空间直角坐标系中，已知，，，，则( )
A.
B. 与夹角余弦值为
C. 与平行的单位向量的坐标为或
D. 在方向上的投影向量的坐标为
11. 已知，则( )
A. 展开式中所有项的系数和为
B. 展开式中二项式系数最大项为第项
C.
D.
12. 已知方程常数，下列说法正确的有( )
A. 为方程实根 B.
C. 方程在无实根 D. 方程所有实根之和大于
13. 设函数的导函数为，若函数，则曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 年月日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将张不同的纪念邮票分配给来自省的名代表和省的名代表，每名代表至少张，则有______ 种分配方法用数字作答
15. 某商场为了了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温
销售量件
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为______ 件
16. 若不等式对任意成立，则实数的最小值为______ ．
17. 已知是函数的一个极值点．
求的单调区间；
求在区间上的最值．
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19. 为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取名员工，调查他们的饮食习惯和月收入的关系，并制作了人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表说明：表中饮食指数不高于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主其中月收入元以上员工中饮食指数高于的有人．
饮食指数表
填表，并根据小概率值的独立性检验精确到，分析饮食习惯是否与月收入有关系；
月收入元及以下 月收入元以上 合计
主食蔬菜
主食肉类
合计
用样本估计总体，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取人，设这人中月收入元以上的人数为，求的分布列与数学期望．
附：参考公式及临界值表：，其中．
20. 已知函数，．
讨论函数的单调性；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
21. 随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有位客服，按询单率分为，两个等级见下表
等级
询单转化率
人数
视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
现从这位客服中任意抽取位进行培训，求这人的询单转化率的中位数不低于的概率；
已知该网店日均咨询顾客约为万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过人在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位等级客服接待的概率为，被任一位等级客服接待的概率为，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加人，则应该控制在什么范围？
22. 已知函数，其中．
讨论函数零点个数；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，
则，
所以．
故选：．
由导数的定义可知，利用求导公式求出，进而求出的值即可．
本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，且，则，
由正态曲线得，所以．
故选：．
根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：记事件表示“张老师在周二参加课后延时服务”，
事件表示“张老师在周三参加课后延时服务”，
则，，所以．
故选：．
根据条件概率的计算公式即可求得答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：先安排语文、政治形成个空隙，再将数学、物理插入到其中个空隙中，
则这个学科不同的考试顺序共有种．
故选：．
先排语文、政治，再利用插空法求解即可．
本题考查了排列的应用，考查插空法，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：样本点的残差为，样本点的残差为，
依题意，故，
故选：．
分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项．
本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长为，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知：，，，，
，，．
设，，即，．
设，，即，．
对于，，，，
，，，又，平面，
，平面，A正确；
对于，几何体为正方体，面，是平面的一个法向量，
又，设直线与平面所成角为，
则不是定值，故B错误；
对于，平面，为平面的一个法向量，
，，，
，，，平面，
，平面，平面平面，故C正确；
对于，，点到平面的距离，为定值，故D正确．
故选：．
设正方体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的性质，利用向量法逐项计算判断其正确性即可．
本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：市场上该品牌产品的次品率为；
记事假为该产品为次品，事件为甲厂生产，则，，
则该次品是甲厂生产的概率．
故选：．
根据相互独立事件乘法公式以及条件概率公式即可求解．
本题考查相互独立事件乘法公式，考查条件概率公式，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：定义在上的函数的图像关于直线对称，
函数是上的偶函数，，
当时，恒有，则，
令，则，
当时，，在单调递减，
而，故是上的偶函数，
则在单调递增，
若，则，即，
则，
故选：．
由，令，求出函数的导数，判断的单调性，再根据则函数的奇偶性以及，问题转化为，从而得到答案．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：相关系数的绝对值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强，故A错误；
设，求得线性回归方程为，则，故，
故，的值分别是和，故B正确；
在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故C正确；
若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故D错误．
故选：．
由相关系数与线性相关性的关系判断；由对数的运算性质及回归思想判断；由残差图与回归效果间的关系判断；求解方差判断．
本题考查回归分析的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，，，
所以，，所以，，选项A正确；
对于，因为，计算，
所以，，选项B正确；
对于，与平行的单位向量的坐标为，选项C正确；
对于，在方向上的投影向量的坐标为，选项D错误．
故选：．
根据空间向量的数量积与模长、夹角公式，以及共线与投影向量的定义，计算即可．
本题考查了空间向量的坐标运算应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知，
对于：令，故，故A正确；
对于：由于二项展开式的二项式系数，且，即中间两项的二项式系数相等，故B错误；
对于：令，故，令，故，所以，故C正确；
对于：对求导得到，，
令，整理得，故D正确．
故选：．
直接利用赋值法，二项展开式，组合数判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：赋值法，二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：方程，等价为，
令，则方程等价为，
即，
得或，
设，，，
由得，即，此时为增函数，
由得，即，此时为减函数，
即当时，取得极大值，
作出的图象如图：
则，则当时，，即方程在无实根，故C正确，
当时，，即是方程的根，故A正确．
等价为，
在上为减函数，
，即，则，故B错误，
由，得，即是方程的一个根，
设的两个根为，，设，则，，
又，
设，，
，当，，且，
即当时，，
则在单调递减，
，即．
，
即，即，则，
则方程所有实根之和大于，故D正确．
故选：．
利用换元法将方程转化为，求出方程的根，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，作出函数的图象，利用函数的单调性进行判断即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法和构造法将方程进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数，则，得．
，，
由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
求导，计算得到切线斜率，点斜式求切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：先将张邮票分为组，有，，，和，，，共种分组方法，
按，，，分组，则有种分配方法；
按，，，分组，则有种分配方法；
故共有种分配方法．
故答案为：．
先将张邮票分为组，再分给个人，利用排列组合数公式计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由表格得，，
把代入回归方程，得，
解得：，
，
当时，．
故答案为：．
根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法求出的值，可得线性回归方程，根据所给的的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：若不等式对任意成立，
即对任意成立，
可得对任意成立，
不妨设，函数定义域为，
易得单调递增，
所以对任意成立，
即对任意成立，
所以对任意成立，
即对任意成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
此时只需，
解得，
所以实数的最小值为．
故答案为：．
由题意，将不等式对任意成立转化成对任意成立，构造函数，易知函数单调性，此时问题转化成对任意成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
17.【答案】解：，
是函数的一个极值点，
，
，
，
令，解得或；令，解得，
所以函数的增区间为，，减区间为．
由，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
函数在区间上的最小值为，最大值为．
【解析】求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可；
分析区间内的极值点与端点再判断大小即可．
本题主要考查利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．
18.【答案】证明：法一：平面，平面，，
四边形为矩形，，
又，，平面，
面，
平面，，
在等腰中，，
为中点，，
，平面，平面，
平面．
法二：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，，即，
等腰中，，
为中点，，
，平面，平面，
平面．
由知平面，
即是平面的一个法向量，，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的求解，利用线面垂直的判定定理，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：根据频率分布直方图，月收入元以上的人数为，
所以列联表如下：
月收入元及以下 月收入元以上 合计
主食蔬菜
主食肉类
合计
，故有的把握认为饮食习惯与月收入有关系．
从主食蔬菜的员工中任选人，该人月收入元以上的概率，
根据题意可知，的可能取值为，，，，对应概率为：
，，
，，
所以的分布列为
，．
【解析】由频率分布直方图可得月收入元以上的人数为，即可完成列联表；代入数值计算出后与比较即可得解；
由题意可知，，由二项分布概率公式计算即可得分布列，由二项分布的期望公式可直接求得期望，即可得解．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：的定义域为，，
若，，在上单调递增；
若，则当时，，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，使得，所以，
令，即，
因为，
设，，
所以在单调递减，又，
故函数在单调递增，单调递减，
的最大值为，，
即的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，对分类讨论，即可得出导数研究函数的单调性；
由题意可得，令，即，求得的导数和单调性，可得极大值，且为最大值，即可得到的所求范围．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及存在性问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为，
设抽取位客服中，等级客服的人数为，则的可能取值为，，，，．
由题意可得，服从超几何分布．
当时，人转化率为，，，，中位数为；
当时，人转化率为，，，，中位数为；
当时，人转化率为，，，，中位数为；
当时，人转化率为，，，，中位数为；
当时，人转化率为，，，，中位数为．
所以，当时，这人的询单转化率的中位数不低于．
因为，服从超几何分布，所以的分布列为，，，，，．
所以．
设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为，．
则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则．
因为，等级客服的询单转化率分别为，，
所以改革前日均成交人数为；
改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为．
由得：，
因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，
所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为．
又每位客服日接待顾客的数量不超过人，所以，
解得：，
由得：，
所以应该控制在．
【解析】设等级客服的人数为，则的可能取值为，，，，，对应的询单转化率中位数分别为，，，，，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过人，列出不等式组，即可求出的取值范围．
本题主要考查离散型随机变量分布列，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，
，
时，，在单调递减，
而，故在上有个零点，
时，令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
故，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
故，
故时，，时，，时，，
而时，，时，，
故时，个零点，时，个零点，时，个零点；
综上：或时，个零点，
时，个零点．
证明：令，则，结合，，当且仅当时“”成立
令，则当且仅当时“”成立
令，则，
则，，，，
累加得：，
故．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，判断函数的零点个数即可；
根据，当且仅当时“”成立令，得到当且仅当时“”成立令，则，赋值累加即可证明结论成立．
本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查不等式的证明，转化思想，分类讨论思想，是中档题．
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