2022-2023学年四川省广安重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省广安重点中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，若，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，，，，则此三角形的最大边的边长为( )
A. B. C. D.
3. 已知点，，，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则( )
A. B. C. D.
5. 如图：正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面截得则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 下列各数，，，中，最小的是( )
A. B. C. D.
8. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若复数满足，则( )
A.
B. 是纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则有一解
B. 若，，，则无解
C. 若，，，则有两解
D. 若，，则有两解
11. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的三等分点，且，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 与异面
C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D. 与的交点一定在直线上
12. 已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，的夹角为，，，则______．
14. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为______ ．
15. 已知，，则的值为______ ．
16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上则该半正多面体共有______ 个面，其体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角、、所对的边分别为，，已知的周长为，且．
求边的长；
若的面积为，求角的大小．
18. 本小题分
已知函数，，其中，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为．
求和的值；
若方程有解，求的取值范围．
19. 本小题分
如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为．
Ⅰ若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积；
Ⅱ求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值．
20. 本小题分
如图，在中，，，，为内一点，．
若，求；
若，求．
21. 本小题分
已知函数，．
列表，描点，画函数的简图；
若，，求的值．
22. 本小题分
为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，
若时，求护栏的长度的周长；
若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所以．
故选：．
利用复数的四则运算及复数相等求出、即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以最大的边为，
由正弦定理知，，所以，
即．
故选：．
由三角形的内角和可得角，从而知最大的边为，再由正弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，，
故，，
故选：．
由题意可得，，再利用数量积求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算及数量积的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，
所以，
，
故选C．
利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，是基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间几何体中的最值问题，在求解侧面上的线段长之和的最小值问题时，利用侧面展开图，根据两点之间的线段最短，确定最小值，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
沿三棱锥的侧棱剪开所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为，根据两点之间线段最短可求得结果．
【解答】
解：由题意可知，沿三棱锥的侧棱剪开所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为，如图所示，
根据两点之间线段最短可得，截面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为等腰直角三角形的斜边长，即．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：，，
，
，由正弦定理知，
，
又，
，
，
．
故选：．
先求出，，再根据化简求值．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式及诱导公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
因为在上单调递增，
所以，
所以，即最小的为．
故选：．
利用二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了二倍角公式及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：．
先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径．
本题考查圆柱和球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面对应的点的坐标，是基础题．
先求出复数，进而判定选项AB的正误，再利用复数在复平面内对应的点的坐标判定选项CD的正误．
【解答】
解：，，
，选项A正确，
，为纯虚数，选项B正确，
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，选项C错误，
复数在复平面内对应的点为，，选项D错误，
故选：．

10.【答案】
【解析】解：由得，此时三角形显然不存在，A错误；
由正弦定理得，则，显然角不存在，B正确；
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
故B或，C正确；
若，，则为等边三角形，唯一确定，D错误．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形大边对大角检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在空间四边形中，点，分别是边，的中点，则，且，
点，分别是边，上的点，且，则，且，
因此，点，，，四点共面，故A正确，B错误；
，，即四边形是梯形，则与必相交，交点为，
点在上，而在平面上，则点在平面上，同理点在平面上，
则点是平面与平面的公共点，而是平面与平面的交线，
所以点一定在直线上，故C错误，D正确．
故选：．
利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断，；由平面基本事实推理可判断，．
本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件、证三点共线常用的方法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，，，
则，，故A正确；
，
，
，故B错误；
，
，
，故C正确；
，
，
，故D错误．
故选：．
根据题意，由向量的数量积的坐标运算，结合三角恒等变化公式化简，对选项逐一判断即可得到结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
因为，
所以．
故答案为：．
先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，
根据斜二测画法的规则，得到原为直角三角形，
因为，，可得，，且，
所以原的面积为．
故答案为：．
根据斜二测画法的规则，得到原为直角三角形，结合面积公式，即可求解．
本题主要考查斜二测画法，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，．
，．
．
故答案为：
先利用的范围确定的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．
本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面，
所以共有个面，
如图所示，因为半正多面体的棱长为，所以，
又为等腰直角三角形，，
所以正方体棱长为，
由图知该图形是由一个正方体截去相同的三棱柱和个相同的小正方体的得到的，
其中三棱柱的高为，底面为斜边为的等腰直角三角形，小正方体的棱长为，
大正方体的棱长为，所以所求体积
．
故答案为：；．
由空间几何体易求面数，利用可求体积．
本题考查空间几何体的性质，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
17.【答案】解：由及正弦定理可知：-------分
又
从而--------分
三角形面积---------分
--------------分
----------分
-----------分
又，
-------------分
【解析】通过，利用正弦定理，，的关系，通过的周长为，即可求边的长；
直接利用的面积公式求出面积为，求出，，关系，利用余弦定理求出的余弦函数值，然后求角的大小．
本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力，
18.【答案】解：若的图像相邻两最高点的距离为则的最小正周期，
，
又函数图像的一个对称中心为，，
，，又，
．
由上得：，当，
得时，，时，，
方程在时有解等价于函数与在时有交点，
则，即的取值范围是．
【解析】结合条件先判定最小正周期得，再结合对称中心求即可；
利用换元法求得在的值域，将方程有解转化为函数与有交点的问题即可．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，方程有解求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由，可得，
，
圆锥的高，
圆锥的体积，
，正四棱柱的底面对角线长为，
设正四棱柱的高为，如图所示，
，
，
正四棱柱的体积，
该几何体的体积．
Ⅱ由图可知，，即，即，
由，当且仅当时，等号成立，
，，当且仅当，时，等号成立，
正四棱柱侧面积，当且仅当，时，等号成立，
该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为．
【解析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了棱柱的侧面积和体积公式，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
Ⅰ由圆锥的侧面积求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，从而得到圆锥的体积，利用两平行线间的线段成比例可求出正四棱柱的高，从而得到正四棱柱的体积，由该几何体的体积即可求出结果．
Ⅱ因为，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当，时，等号成立，所以正四棱柱侧面积，当且仅当，时，等号成立．
20.【答案】解：在中，，，．
在中，由余弦定理得．
．
设，在中，．
在中，由正弦定理得，即，
化为．
【解析】在，利用边角关系即可得到，得到在中，利用余弦定理即可求得．
设，在中，可得在中，由正弦定理得，即，化简即可求出．
熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．
21.【答案】解：由解析式可得：
所以的图象如图示：
所以在、上递增，在上递减，且，；
若，，
则，
故；
若，，
当，则；
当，此时无解；
当，则；
若，，
则，
故无解．
综上所述，的值为．
【解析】由五点法作图可得函数的图像；
分类讨论可得函数的值．
本题考查三角函数的图象与性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：，，，
，
，
，
，
在中，
由余弦定理可得，
则，
，
，
，
，
，
护栏的长度的周长为；
设，
因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，
所以，即，
在中，由，得，
从而，即，
由，
得，所以，即．
设，由知，
又在中，由，得，
所以，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为．
【解析】证明为直角三角形，即可得防护网的总长度为；
利用鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，建立方程，求出，由，得得，即可求出的大小；
表示出 的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
本题考查利用数学知识解决三角形问题，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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