安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年第二学期高二数学期末试卷（含解析）

定远民族中学2022-2023学年第二学期高二期末检测试卷
数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
2. 已知，则( )
A. B. C. D.
3. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的名学生，得到数据如下表：
喜欢应用统计课程 不喜欢应用统计课程
男生
女生
附表：
参考公式：，其中．
参照附表，得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
C. 有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
D. 有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
4. 不等式的解集为( )
A. ， B.
C. D. ，
5. 在中，若，，的面积，则 ( )
A. B. C. D.
6. 年月日是中国共产党成立周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题．某数学兴趣小组把三个、两个、两个与一个组成一个八位数如，若其中三个均不相邻，则这个八位数的个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为，则( )
A.
B. 与所成的角为
C.
D. 当时，三棱锥的体积为定值
10. 已知双曲线的实轴长是，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的离心率为 B. 抛物线的准线方程是
C. 双曲线的渐近线方程为 D.
11. 已知数列，满足，，，，若，则( )
A. B. C. D.
12. 石榴原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一．自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称．石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有多个品种．金秋十月，怀远石榴成熟．不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表：
种类 软籽 硬籽
红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽
售价单位：元
日销量单位：
此销售点对去年同一时间的天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：
重量范围
单位：
重量单位：
天数单位：天
根据以往的经验，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费．目前该销售点有员工人，每人每天销售石榴不超过，日工资元；该销售点正在考虑每日利润的数学期望决定是否将员工裁减人．
以上数据已做近似处理，要求：将频率视为概率；在计算每千克石榴的价格的平均值时，结果精确到元即精确到个位数则 ( )
A. 该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为元
B. 该销售点未来天内至少有天石榴销售重量在之间的概率为
C. 该销售点在不裁减工作人员的情况下，每日利润的数学期望为元
D. 该销售点在裁减工作人员人的情况下，每日利润的数学期望为元
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若函数，且是函数的导函数，则等于 ．
14. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点，，，则其欧拉线方程为 ．
15. 设，若，则 ．
16. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 结果用分数表示
附参考数据：；；．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分已知数列的前项之积为，且，．
求的通项公式
求数列的前项和．
18. 本小题分随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝、微信等软件进行扫码支付也日渐流行开来某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如表：
年份
年份代码
使用扫码支付的人次单位：万人
观察数据发现，使用扫码支付的人次与年份代码的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现与之间具有相关性设，利用与的相关性及表格中的数据求出与之间的回归方程，并估计年该商场使用扫码支付的人次；
为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：
方案一：使用现金支付，每满元可参加次抽奖活动，抽奖方法如下：
在抽奖箱里有个形状、大小完全相同的小球其中红球有个，黑球有个，顾客从抽奖箱中一次性摸出个球，若摸到个红球，则打折；若摸出个红球则打折，其他情况不打折．
方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受立减元优惠．
若小张在活动期间恰好购买了总价为元的商品．
(ⅰ)求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
(ⅱ)试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点，，，，的回归直线为，，，相关数据：，，，其中．
19. 本小题分已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
20. 本小题分已知数列满足，。数列满足， ．
求的通项公式；
证明：当时， ．
21. 本小题分已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上一点且在第一象限．已知为等腰三角形，且
求的离心率；
若的周长为，求点的坐标．
22. 本小题分函数．
当时，求函数的极值；
当，且．
证明：有两个极值点；
证明：对任意的．
答案和解析
1.【答案】
【解析】 的展开式的通项公式为 ，令 ，即 时，系数为 ．故选C．
2.【答案】
【解析】由，可得，则
3.【答案】
【解析】根据原题中的列联表，
由公式
，
有的把握认为喜欢统计专业与性别有关，
即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”，故选：．
4.【答案】
【解析】原不等式等价于
由得或，
或
由得，
．
原不等式的解集为．
5.【答案】
【解析】在中，，，的面积为，
，
，
．
，
解得：负值舍去，
．故选A．
6.【答案】
【解析】利用插空法，第一步排列两个，两个，一个，共有种排法，
第二步再把插入其中五个空，所以有种排法，
所以共有个八位数．故选C．
7.【答案】
【解析】由已知可求得，
对任意的，，，
又，，
，即，
，记，则，
因此函数在上递减，又，由，，
所以的单调递减区间为，．
8.【答案】
【解析】已知，
令，
则，
所以在上单调递减，
又因为为偶函数，所以，所以，
，
所以不等式等价于，
则，解得，
所以不等式的解集为
故选A．

9.【答案】
【解析】，，，错；
由题可知，，，，．
，
，
与所成的角为，对；
，错；
，点在直线上．由于平面，
直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，
三棱锥的体积为定值，对．故选：．
10.【答案】
【解析】由题意可得，即，抛物线的焦点，
即有，，
可得双曲线的方程为，渐近线方程为，
离心率为，
又抛物线的准线方程为，
联立，解得，
则，
故BC正确，AD错误．故选BC．
11.【答案】
【解析】数列，满足，，，，
，数列是首项为，公差为的等差数列，
，故A错误；
又，
，故B正确；
，
，
故C正确，D错误．故BC．
12.【答案】
【解析】：样本中估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为，约为，故A正确．
：由题意，可得石榴销售量在之间的天数为，
频率，故可估计概率为，
显然未来天中，石榴销售重量在之间的天数服从二项分布，即∽，
故所求概率为故B正确．
：若不裁员，则每日销售量的上限为，销售点每日销售量情况如下：
重量范围
单位：
重量单位：
天数单位：天
频率
故销售点平均每日利润的期望值为元故C不正确；
：若裁员人，则每日销售量的上限为，销售点每日销售量情况如下：
重量范围单位：
重量单位：
天数单位：天
频率
故销售点平均每日利润的期望值为元．
故D正确．故选ABD．
13.【答案】
【解析】由题意，函数，
可得
所以．故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为的顶点为，，，
所以，的重心．
设的外心为，则，所以，
解得，可得．
所以，该三角形的欧拉线方程为，化简得：．
15.【答案】
【解析】令，得，
令，得，
得，
，又，
，
．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】由题意可知 ， ，事件 为 ， ， ，
所以， ，
，
由条件概率公式得 ，
故答案为 ．

17.【答案】解：由题意得，，．
所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则
当时，由，得，则，此式对也成立，
故．
由可知，，
所以，
即数列的前项和
18.【答案】解：由题意可得，，
所以，
则，
所以所求的回归方程为，
当时，万人次，
估计年该商场使用移动支付的有万人次．
若选择方案一，设付款金额为元，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：


故 E元；
若选择方案二，记需支付的金额为元，
则的可能取值为，，，
则其对应的概率分别为，
所以元，
因为，
故从期望角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大．
19.【答案】解：函数的定义域为，
当时，，则，则，，
所以，所求切线方程为，即．
函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，函数在取得最大值，
最大值为，
因此，，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，所以，的取值范围是．
20.【答案】解：由并根据题意可知，
则，
当且时，
由累乘法得，
又 ，则，
当时，也符合上式，
综上可知，．
，因为，所以，即，
当且时，由累加法得 ，
设，则，
所以，
又，则 ，
当时，上述不等式也成立，
因此，当时， 对恒成立．
21.【答案】解：已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上一点且在第一象限，为等腰三角形，且，
由题意可知，，，
所以，得，
即的离心率为；
的周长为，即，又，所以得，，
所以，所以椭圆方程，
设，则在中，，
所以，
得边的高为，
所以，得，
代入椭圆方程得，得，所以．
22.【答案】解：当时，，
，解得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
当时，有极小值，，无极大值．
证明：，
，
又，则，
所以，
令，
，
当时，，单调递减；
当，，单调递增；
所以，，
由零点存在定理知，在上各有一个零点，
即有两个变号根，
所以有两个极值点．
证明：由可知的最小值为，
令，则，得到，
即，令，则，
所以．