江西省萍乡市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（PDF版含答案）

准考证号 姓名
绝密★启用前 （在此卷上答题无效）
萍乡市 2022—2023学年度第二学期期末考试
高 二 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1至 2页，第Ⅱ卷 3
至 4页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5毫米的黑
色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U R ，集合 A x x 2或x 3 ， B {x 0 x 4}，则
Venn图中阴影部分表示的集合为
A．[0,2) B．[0,3) C． (2,4] D． (3,4]
2．已知命题 p : 3x 1，命题 q : x3 1，则 p是 q的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 f (x)在 x x f (x处可导，若 lim 0 4 x) f (x0 )0 1，则 f (x0 )
x 0 x
1
A.1 B. 4 C. D. 1
4
4． 已知 a 0.20.3，b log2 0.3， c log0.3 0.2，则 a，b，c的大小关系为
A． c b a B． c a b C． a c b D． a b c
5. 已知函数 f (x)及其导数 f (x)，若存在 x0 使得 f (x0 ) f (x0 )，则称 x0 是 f (x)的一个
“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是
A. f (x) x2 B. f (x) ln x C. f (x) sin x D. f (x) 2x
6．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载
了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半
斗．注：古代一斗是 10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，
先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的 5升酒．那么根
据这个规则，若李白酒壶中原来有酒 6升，将李白在第 5家店饮酒后所剩酒量是
A．37升 B．21升 C．26升 D．32升
试卷第 1页，共 8页
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7．已知函数 f (x) ln x (x a)2(a R) 在区间 1, 上存在单调递增区间，则实数 a的取
值范围是
A．[1 , 1 ) B． ( , ) C． [1, ) D． (1, )
2 2
8 2．函数 f (x) x cos x(x 0)的所有极值点从小到大排成数列 an ，设 Sn是 an 的
2
前 n项和，则下列结论正确的是
5π
A．数列{an}为等差数列 B． a3 4
C． tan S2021 1 D． sin S
2
2023 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列结论正确的是
b a
A．若 ac2 bc2 ，则 a b B．若 a b 0，则 a b
C．若 a b 0,c d 0，则 ac bd D．若 lna ln 1 a a 1，则
2
10．已知在数列 a nn 中， a1 1，an an 1 ( 0,n 2) ，则下列说法正确的是
A． a2 1 B． an 可能是等差数列
(1 n )
C． an 1 D．若 0，则 an 是递增数列1
11．下列说法错．误．的是
A．独立性检验的结果一定正确
B．用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，其零假设为 H0 ：吸烟
与患肺癌之间无关联
C．在线性回归分析中，相关系数 r的值越大，说明回归方程拟合的效果越好
D．根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差的均值为 0
12．设函数 f (x) ax 1 (a,b Z) ，曲线 y f (x)在点 (2,3)处的切线平行于 x轴，则
x b
A． a 1,b 1
B．函数 y f (x)的图象是一个中心对称图形，其对称中心为 (1,1)
C．曲线 y f (x)上任一点的切线与直线 x 1和直线 y x所围三角形的面积为定值 2
D．函数 y f (x)在 x 3, 上的最小值为 3
试卷第 2页，共 8页
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萍乡市 2022—2023学年度第二学期期末考试
高 二 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无
效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．
13．已知数列 a 1 1 an 满足 a n1 ，且an 1 ( n N )，则 a2 1 a 100
.
n
14．函数 y x2 2ln x的单调递减区间为 .
15．汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损．某实验室通过
实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型 y c ec2 x1 ，通过实
验数据分析与计算得到如下结论：① c2 0.18；② x 10,令u ln y,u 0.35 ，则回归方
程应为 .
16．已知定义在 R上的函数 f (x)关于 x 1对称，且 f (x 3)是奇函数，则下列说法中正确
的有 .（填正确选项的序号）
① f (2 x) f (4 x) 0 ； ② f (x 2) f (x 6)；
③ f ( 1) 0； ④ f (2 x) f (2 x) 0 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
2023年，5月 18日至 19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办．多家外媒积极评价，
认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣．报
道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益．”新能源
汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统
计数据，得到表格如下：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码 x 1 2 3 4 5
产值 y（亿元） 16 20 23 31 40
（1）求电动汽车产值 y（亿元）关于 x(月份 )的线性回归方程；
（2）该机构随机调查了该地区 100位购车车
2
主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性 P K k0 0.10 0.05 0.01
45人，女性 35人；购买电动汽车的男性 5人，女
k 2.706 3.841 6.635
性 15人．请问是否有 95％的把握认为是否购买电 0
动汽车与性别有关．（参考公式如下）
n
5 xi x yi y 2
① (xi x)(yi y) 59 b i 1 n ad bc；② n ；③K 2 ．
i 1 2x x a b c d a c b d i
i 1
试卷第 3页，共 8页
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18．（本小题满分 12 分）
已知数列 an 满足 ，且 a1 2 a2， a3 5．
请从① Sn n
2 n N ，② 2an an 1 an 1 n N ,n 2 两个条件中任选一个补充在
题目的横线上，再解答．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2 1）若数列bn ，求 bn 的前 n项和Tn．anan 1
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x2 (m 3)x 3m，其中m为实数．
（1）若m 1，求不等式 log5 f (x) 1的解集；
（2）已知对 x (3, )，都有 f (x) 1，求实数m的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
函数 f (x) x3 3ax2 b（ a,b为实数， a 0），已知 x 2是函数 f (x)的极小值点.
（1）求 f (x)的单调区间；
（2）若函数 f (x) 1 在区间 ,4 上有 3个零点，求b的取值范围． 2
21．（本小题满分 12 分）
a 1 1
已知函数 f x 1 x 关于点 ( , )对称，其中 a为实数．4 2 2 2
（1）求实数 a的值；
（2）若数列{an}
n
的通项满足 an f ( )，其前 n项和为 S ，求 S2023 n 2022
．
22．（本小题满分 12 分）
2
已知函数 f (x) x cos x．
2
（1）求函数 f (x)的最小值；
（2）设函数 g(x) 1 x3 ax2 (x 2a) cos x sin x a R ，试讨论 g(x)的单调性．
3
试卷第 4页，共 8页
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萍乡市 2022—2023 学年度第二学期期末考试
高二数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（8×5=40 分）：ACCBD；ABC．
二、多项选择题（4×5=20 分）：AC；BD；AC；ABC．
三、填空题（4×5=20 分）：
13 1． ； 14． (0,1)【 (0,1]也可】； 15． y e 0.18x 2.15 ； 16．①②③．
3
四、解答题（共 70 分）
17（1）设所求回归直线方程为 y a b x，则 x 3, y 26， ……………………………1 分
n
xi x yi y
b i 1 59 59 n 2 2 5.9， ………………………………………3分
2x x 1 2 2
2 12 10
i
i 1
a y b x 26 5.9 3 8.3， ………………………………………………………………4分
故所求回归直线方程为 y 5.9x 8.3；………………………………………………………5分
（2）根据题意，得 2 2列联表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性 45 5 50
女性 35 15 50
合计 80 20 100
2 n ad bcK
2
(45 15 5 35)2 100
6.25 3.841， …………………8分
a b c d a c b d 50 50 80 20
故有 95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关． ……………………………………10 分
18（1）【若选①】 n 1时， a1 S1 1，……………………………………………………1 分
n 2时， a S S 2 2n n n 1 n n 1 2n 1，……………………………………………4 分
a1 1满足上式，故 an 2n 1 n N ；……………………………………………………6分
【若选②】因为 2an an 1 an 1 n 2 ，故{an}是等差数列；……………………………1 分
由 a1 2 a2 得：公差 d 2；由 a3 a1 2d 5得： a1 1，……………………………4分
故 an 2n 1 n N ； ………………………………………………………………………6 分
试卷第 5页，共 8页
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b 1 1 1 ( 1 1（2） n )， …………………………………8分anan 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
T 1 (1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 n故 n ) .……………12 分2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
19（1）m 1时， f x x2 2x 3，不等式 log5 f x 1，即 0 f x 5，…………2 分
所以 0 x2 2x 3 5，解得： 2 x 1或3 x 4，…………………………………4 分
故所求不等式的解集为 x 2 x 1或3 x 4 ； ………………………………………5分
(2)由题意知不等式 x2 (m 3)x 3m 1在 x 3, 上恒成立，
m x
2 3x 1
即 在 x 3, 上恒成立，…………………………………………………7 分
x 3
x2 3x 1
令 g x ， x 3, ，
x 3
g x x
2 3x 1 1 1
则 x x 3

3 5， …………………………10 分x 3 x 3 x 3
1
当且仅当 x 3 ，即 x 4时取等号， ………………………………………………11 分
x 3
所以实数m的取值范围为m 5. …………………………………………………………12 分
20（1）由题知， f (x) 3x2 6ax 3x(x 2a)， …………………………………………1 分
令 f (x) 0，得 x 0或 x 2a a 0 ， ……………………………………………………2分
则当 x ( ,0),(2a, )时， f (x) 0， f x 单调递增；当 x (0,2a)时， f (x) 0，
f x 单调递减，故 x 2a是函数 f (x) 的极小值点，即 2a 2,a 1； …………………4分
故 f (x)的单调递增区间为 ( ,0),(2, )，单调递减区间为 0,2 ； ……………………6分
（2）【法一】由（1）知， f x 极大值 f (0) b, f x 极小值 f (2) b 4，
f ( 1 7 ) b , f (4) b 16 ， ……………………………………………………………8 分
2 8
f (x) 1 ,4 1 7要使 在 上有 3个零点，则 f 0 b 0, f ( ) b 0， ……………10 分 2 2 8
故b 7的取值范围为 0 b .…………………………………………………………………12 分
8
【法二】令 f x 0得： b x3 3x2 ，令 g x x3 3x2，……………………………7分
试卷第 6页，共 8页
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1
则 g x 3x2 6x 3x x 2 ，得 y g x 在 ( ,0),(2,4)上单调递增，在 0,2 上单调递减，
2
g( 1 7且 ) , g 0 0, g 2 4, g 4 16，………………………………………………9 分
2 8
f (x) 1 1 若 在 ,4 上有 3个零点，则 y b与 y g x 在 ,4 上有三个交点， …10 分 2 2
7
所以 b< 0, 0 b 7即 . ………………………………………………………………12 分
8 8
21（1）由题知 f x f 1 x 1 a a，即1
4x
1 1 x 1，………………………2分 2 4 2
a a 4x 2a a 4x
整理得 x x x 1，…………………………………………………4分4 2 4 2 4 4 2 4
解得 a 2；……………………………………………………………………………………6分
【注：若用特值法求出 a 2，需验证.】
n
(2)由题知， an f ( )，且 f x f 1 x 1，2023
则 S2022 f (
1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 2022 f ( )， ………………………………8分
2023 2023 2023 2023
2022 2021 2020 1
又 S2022 f ( ) f ( ) f ( ) f ( )， ………………………………9分2023 2023 2023 2023
故 2S2022 1 1 1 1 2022， …………………………………………………………11 分
即 S2022 1011 .…………………………………………………………………………………12 分
22（1）由题知， f (x) x sin x，令 h x x sinx，则 h x 1 cosx 0， ……2 分
则 h x 在R上单调递增，且 h 0 0，
则当 x 0时， h x 0, f x 单调递减，当 x 0时， h x 0, f x 单调递增，…………4 分
所以函数 f (x)在 x 0处有最小值为 f (0) 1； ……………………………………………5分
（2） g (x) x2 2ax cos x (x 2a)sin x cos x (x 2a)(x sin x)， ………………6 分
由（1）知：当 x 0时， x sin x 0，当 x 0时， x sin x 0，则
①若 a 0，
当 x ( ,2a)时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递增，
当 x (2a,0)时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递减，
当 x (0, )时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递增； …………………………………8 分
②若 a 0，当 x R时， g (x) 0, g(x)单调递增，则 g(x)在R 上单调递增；………9 分
试卷第 7页，共 8页
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③若 a 0，
当 x ( ,0)时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递增，
当 x (0,2a)时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递减，
当 x (2a, )时， x 2a 0, g (x) 0, g(x)单调递增； ………………………………11 分
综上所述：
当 a 0时，函数 g x 在 ,2a 和 0, 上单调递增，在 (2a,0)上单调递减；
当 a 0时，函数 g x 在R上单调递增；
当 a 0时，函数 g x 在 ( ,0)和 (2a, )上单调递增，在 (0,2a)上单调递减.………12 分
命题：王 娇（萍乡中学） 郭嫣娜（萍乡中学） 陈友全（萍乡中学）
审核：胡 斌（市教研室）
试卷第 8页，共 8页
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