数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示（共21张ppt）

(共21张PPT)
选修一《第一章 空间向量与立体几何》
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
类比学面与空间直角坐标系
平面向量与平面直角坐标系
在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }，以O为原点，分别以, 的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy.
空间向量与空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz.
x
y
z
i
j
k
O
新知1：空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz.
||＝||＝||＝1.
·＝·＝·＝0
Oxy平面
Oyz平面
Oxz平面
①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量.
②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.
它们把空间分成8个部分.
新知1：空间直角坐标系
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°.
④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
则称该坐标系为右手直角坐标系.
新知2.1：空间点和向量的坐标
空间任意一点A对应一个，即点A的位置由唯一确定.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z.
空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作=(如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z).
向量终点的坐标
A(x,y,z)
向量的坐标
OA=(x,y,z)
一一对应
3
6
2
A(6,3,2)
=(6,3,2)
以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。
新知2.2：空间中的特殊点和对称点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面
点的坐标
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(0, 0, z)
(x, y, 0)
(x, 0, z)
(0, y, z)
已知点A(x , y , z) ，则：
①点A关于x轴对称的点为A1___________;
②点A关于y轴对称的点为A2___________;
③点A关于z轴对称的点为A3___________.
④点A关于原点对称的点为A4___________.
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________;
⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________;
⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________.
(x , y , -z)
(-x , y , z)
(x , -y , z)
(x , -y , -z)
(-x , -y , z)
(-x , y , -z)
(-x , -y , -z)
规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。
新知2.3：空间中点的射影
P18-练习2.在空间直角坐标系Oxyz中,
(1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直；
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
在Oyz平面内的射影坐标为____________
在Oxz平面内的射影坐标为____________
在Oxy平面内的射影坐标为____________
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
Oyz
Oxz
Oxy
(0,3,4)
(2,0,4)
(2,3,0)
(-1,-3,-5)
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
(1,0,0)
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
新知2.4：求空间向量的坐标
P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，
以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O.
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标;
(2)写出向量，，的坐标.
析：(1)D'(0, 0, 2)
C(0, 4, 0)
A'(3, 0, 2)
B'(3, 4, 2)
(2)==(0,4,0)
=-=(0,0,-2)
===(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0)
=+=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2)
(法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。
选修一《第一章 空间向量与立体几何》
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 ＋ ＋＝_______________________
减法 － －＝_______________________
数乘 λ λ＝______________，λ∈R
数量积 · ·＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
新知3：空间向量运算的坐标表示
证明见课本P19
新知3：空间向量运算的坐标表示
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①当≠时，∥ ＝λ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
②⊥ ·＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
③求模：；
④求夹角：cos<,>==
3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则
①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；向量坐标等于终点坐标减起点坐标.
②空间两点距离公式：=
【注】点A(x，y，z)到原点O的距离
【巩固】空间向量的坐标运算
【练习1】已知＝(2，-1，3)，＝(-4，2，x)，且⊥()，求x的值.
【练习2】已知＝(1，-1，1)，＝(1，3，2)，＝(1，2，1)，则()＝____.
【练习3】已知＝(1，0，1)，＝(2，0，-2)，若(k()=2，则k＝___.
【巩固】空间向量的坐标运算
【练习5】点B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，若＝6，//，则的坐标为____.
【练习4】已知＝(2，x，-1)，＝(x，8，x-6)，且//，求x的值.
(法1)
(法2)
【巩固】空间向量的坐标运算
【练习6】在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)和到点B(1,-3,1)的距离相等.
新知4：空间两点的中点公式
[练习7]点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
(3,-5,-13)
【巩固运用】求线段中点的坐标
【练习8】如图，四棱锥D OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．(改：BM=2MD)
A
B
C
O
D
M
z
x
y
【练习9】如图，正四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，建立适当的空间直角坐标系，并求PD的中点M的坐标．
B
A
C
D
P
x
y
z
O
M
新知4：向量坐标法在立体几何中的应用
P20-例2. 如图所示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
E
F
建系
点的坐标
向量的坐标
向量的
坐标运算
几何
关系
翻译
新知4：向量坐标法在立体几何中的应用
P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，
(1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值.
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
E1
F1
M
新知4：向量坐标法在立体几何中的应用
P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1，
(1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值.
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
E1
F1
M
【变式】课本P22第4、5题
利用空间向量的坐标运算求夹角或距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)坐标运算：结合公式进行计算、论证；
(4)翻译：将坐标运算的结果翻译为夹角或距离等集合语言.
好学数学，数学好学，学好数学。
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