数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-05 19:22:13 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
选修一《第一章 空间向量与立体几何》
1.2 空间向量基本定理
回顾：平面向量基本定理
若 , 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数x，y，使＝x＋y．
若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底．
平面内任一向量可用2个不共线的向量表示
空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？
类比推广
空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？
引入：空间向量的分解与表示
如图，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量＝，设 为 在，所确定的平面上的投影向量，则＝＋．又 ，共线，故存在唯一的实数z，使＝z，故＝＋z．
在，所确定的平面上，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得＝x＋y ．从而 ＝＋z＝x＋y＋z．
引入：空间向量的分解与表示
如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝x i＋y j＋z k．我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量。
在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？
探究
新知1.空间向量基本定理
定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，
存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z．
把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量．
①空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
②单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1.
③把空间向量进行正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 即＝x＋y＋z．
【基础巩固】基底的理解
P12-练习1．已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？
P15-2．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.+，， B.，+，
C.+，， D.+，++，
若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.
【升级巩固】基底的判断
假设三个向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可构成基底；若无解，则可构成基底.
若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.
小结：基底的判断
【基底法的应用1】表示空间向量
P12-例1.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示．
同类题：P15-3、4
以三角形法则或平行四边形法则为切入点，建立目标向量与基底的关系.
【基底法的应用1】表示空间向量
P12-练习3.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心，且＝a，＝b，＝c ．
（1）{a，b，c} 是否构成空间的一个基底？
（2）如果 {a，b，c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：
，，，．
是
【基底法的应用2】求线段长度(向量的模)
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB,AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长.
【基底法的应用3】求异面直线所成角(向量夹角)
P13-例3.如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为 1，E，F，G 分别为 C′D′，A′D′，D′D 的中点．求CE与AG所成角的余弦值．
同类：P14-2
P15-7(2)
【基底法的应用4】证线线垂直(向量数量积为0)
P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1．
同类题：P14-3
P15-6/7(1)
课堂小结：空间向量的基底
1.基底的判断：若三个向量不共面，则可作为空间向量的一个基底．
①存在一个向量可以另外两个向量表示，则三向量共面；
②假设三向量共面，建立x,y的方程组，若无解，则不共面，若有解，则共面.
2.基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用
从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量．
3.用基底表示向量：结合向量的加减法运算法则寻找目标向量与基向量的关系.
4.基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.
课堂小结：空间向量的基底
4.基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.
(4)若要求线段长度，则转化为求向量的模.
新知：空间向量的投影向量
长度比+方向
综合运用——基底法
P15-7.如图，在棱长为2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是D1D与BD的中点，点G在CD上，且CG=GD.
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值.
综合运用——基底法
P15-7.如图，在棱长为2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是D1D与BD的中点，点G在CD上，且CG=GD.
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值.
拓广探索
①四面体中的3组对棱中有2组两两垂直，
则另一组对棱也互相垂直.
P15-8.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，
求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。
P10-9.如图，在四面体OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
②四面体中3组对棱的中点间的距离相等，
则这3组对棱两两垂直.
P10-8.(三垂线定理)若平面内的一条直线与这个平面的斜线在面内的射影垂直，则它与这个斜线也垂直.
好学数学，数学好学，学好数学。
FIGHTING
选修一《第一章 空间向量与立体几何》
1.2 空间向量基本定理
回顾：平面向量基本定理
若 , 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数x，y，使＝x＋y．
若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底．
平面内任一向量可用2个不共线的向量表示
空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？
类比推广
空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？
引入：空间向量的分解与表示
如图，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量＝，设 为 在，所确定的平面上的投影向量，则＝＋．又 ，共线，故存在唯一的实数z，使＝z，故＝＋z．
在，所确定的平面上，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得＝x＋y ．从而 ＝＋z＝x＋y＋z．
引入：空间向量的分解与表示
如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝x i＋y j＋z k．我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量。
在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？
探究
新知1.空间向量基本定理
定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，
存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z．
把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量．
①空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
②单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1.
③把空间向量进行正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 即＝x＋y＋z．
【基础巩固】基底的理解
P12-练习1．已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？
P15-2．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.+，， B.，+，
C.+，， D.+，++，
若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.
【升级巩固】基底的判断
假设三个向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可构成基底；若无解，则可构成基底.
若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.
小结：基底的判断
【基底法的应用1】表示空间向量
P12-例1.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示．
同类题：P15-3、4
以三角形法则或平行四边形法则为切入点，建立目标向量与基底的关系.
【基底法的应用1】表示空间向量
P12-练习3.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心，且＝a，＝b，＝c ．
（1）{a，b，c} 是否构成空间的一个基底？
（2）如果 {a，b，c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：
，，，．
是
【基底法的应用2】求线段长度(向量的模)
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB,AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长.
【基底法的应用3】求异面直线所成角(向量夹角)
P13-例3.如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为 1，E，F，G 分别为 C′D′，A′D′，D′D 的中点．求CE与AG所成角的余弦值．
同类：P14-2
P15-7(2)
【基底法的应用4】证线线垂直(向量数量积为0)
P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1．
同类题：P14-3
P15-6/7(1)
课堂小结：空间向量的基底
1.基底的判断：若三个向量不共面，则可作为空间向量的一个基底．
①存在一个向量可以另外两个向量表示，则三向量共面；
②假设三向量共面，建立x,y的方程组，若无解，则不共面，若有解，则共面.
2.基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用
从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量．
3.用基底表示向量：结合向量的加减法运算法则寻找目标向量与基向量的关系.
4.基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.
课堂小结：空间向量的基底
4.基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.
(4)若要求线段长度，则转化为求向量的模.
新知：空间向量的投影向量
长度比+方向
综合运用——基底法
P15-7.如图，在棱长为2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是D1D与BD的中点，点G在CD上，且CG=GD.
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值.
综合运用——基底法
P15-7.如图，在棱长为2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是D1D与BD的中点，点G在CD上，且CG=GD.
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值.
拓广探索
①四面体中的3组对棱中有2组两两垂直，
则另一组对棱也互相垂直.
P15-8.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，
求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。
P10-9.如图，在四面体OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.
②四面体中3组对棱的中点间的距离相等，
则这3组对棱两两垂直.
P10-8.(三垂线定理)若平面内的一条直线与这个平面的斜线在面内的射影垂直，则它与这个斜线也垂直.
好学数学，数学好学，学好数学。
FIGHTING