江西省九江市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

九江市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1．下列各对函数中，图像完全相同的是（ ）
A．y＝x与 B．y＝x0与
C．y＝｜x｜与 D．与
2．不等式（1－3x）（2x－1）≤0的解集为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．命题p：“，x2－mx＋1＞0”，命题q：“m＜2＂，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
6．数列｛an｝中的前n项和Sn＝2n＋2，数列｛log2an｝的前n项和为Tn，则T20＝（ ）
A．190 B．192 C．180 D．182
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．若存在x0∈［－1，2］，使不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在（－1，＋∞）上单调递减 B．f（x）在（－1，＋∞）上单调递增
C．f（x）在（－∞，－1）上单调递减 D．f（x）在（－∞，－1）上单调递增
10．下列结论错误的有（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．函数的最小值为2
C．
D．，，则9x＋y的取值范围是
11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2＋x）＝f（－x），若f（1）＝2，则（ ）
A．4为f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．f（2022）＝0 D．f（2023）＝2
12．已知数列｛an｝满足a1＝8，a2＝1，，为数列｛an｝的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
13．若“x＝1”是“x＞a”的充分条件，则实数a的取值范围为______．
14．已知公比大于1的等比数列｛an｝满足a2＋a3＝12，a4＝16，则｛an｝的公比q＝______．
15．若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）＋bf（b）＋cf（c）的最大值是______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）化简与求值．
（1）化简：；
（2）已知，其中x＞0，的值．
18．（12分）习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责．某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且3年时间绿化面积增长4.5%，（参考数据：，lg1015≈3.006，lg2≈0.301，lg3≈0.477）试求：
（1）求每年绿化面积的增长率；
（2）按此增长率，若2022年年初时，该省的绿地面积是提出该理念时的倍，请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理论．
19．（12分）已知函数．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．
20．（12分）设数列｛an｝是等差数列，已知a1＝1，公差为d（d≠0），Sn为其前n项和，且S1，S3，S9成等比数列．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）设，证明：数列｛bn｝的前n项和．
21．（12分）已知函数．
（1）求f（x）在（－3，＋∞）上的极值；
（2）若，，求a的最小值．
22．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A A B A D AC AB ABC AC
8．【详解】
令，即，因为，所以，
令．则原问题等价于存在使得f（t）≥0成立．
令，即，解得，
令，即，解得，
所以f（t）在上单调递增，在上单调递减．
又因为f（1）＝0，而，
∴当1≤t≤e2时，．若存在使得f（t）≥0成立．
只需且，解得且，所以．故a的取值范围为．
11．【详解】对于A：函数f（x）为奇函数，则f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），
则f（4＋x）＝f（2＋2＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），
则f（x）的一个周期为4，故A正确；
对于B：f（2＋x）＝f（－x），则函数关于对称，故B正确；
对于C：∵f（x）的一个周期为4，∴f（2022）＝f（505×4＋2）＝f（2），
令f（2＋x）＝f（－x）中的x＝0，则f（2）＝f（0），
∵函数f（x）为定义在R上奇函数，∴f（0）＝0，∴f（2022）＝0，故C正确；
对于D：∵f（x）的一个周期为4，∴f（2023）＝f（506×4－1）＝f（－1），
∵函数f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－2，∴f（2023）＝－2，故D错误；故选：ABC．
12．【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，故A对；
根据奇数项构成等差数列可得：
而又：则有：，故B错误；
，故C对；
根据Tn中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据Tn特点可知：
Tn的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，T6＝－32＋9×3＋1＝19，T7＝T6＋a7＝19＋2＝21，T8＝－42＋9×4＝20，T9＝T8＋a9＝20＋0＝20，T10＝－52＋9×5＋1＝21，T11＝T10＋a11＝19，Tn的最大值为T7＝T10＝21，故D错 故选：AC
13．【答案】（－∞，1）
14．【详解】由题意可得，则a2≠0，
上述两个等式作商可得，即3q2－4q－4＝0，因为q＞1，解得q＝2．
15．【详解】因为函数．
当x≥1时，有，当且仅当x＝2时等号成立．
当2a－1＝0，即时，有，不满足题意；
当2a－1＜0，即时，f（x）＝（2a－1）x－1在（－∞，1）上单调递减，
有f（x）＞f（1）＝2a－2，不满足题意；
当2a－1＞0，即时，f（x）＝（2a－1）x－1在（－∞，1）上单调递增，
有f（x）＜f（1）＝2a－2．
要使f（x）的值域是R，则应有2a－2≥4，所以a≥3．
综上所述，当a≥3时，f（x）的值域是R．故答案为：a≥3．
16．答案：3e3－12．
【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：
∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a＋b＝－4，
∴，
由图可知，1＜f（c）≤3，：e＜c≤e3，
设，其中，
，显然在单调递增，
∵，∴ ，，∴g（x）在单调递增，
∴g（x）在的最大值为，
∴（c－4）f（c）的最大值为3e3－12，故答案为：3e3－12．
17．【详解】（1）原式；
（2）由可知x2＝x＋1，
原式
18．【详解】（1）解：设每年绿化面积的增长率为p，则（1＋p）3＝1.045，则，故每年绿化面积的增长率约为1.5%．
（2）解：设经过n年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，
则，则，而2022－9＝2013，
因此，习近平总书记最迟在2013年首次提出该理论．
19．【详解】（1）由于，则，得x≠0，∴函数f（x）的定义域为．
对于定义域内任意x，有
，∴函数f（x）是偶函数．
（2）由（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况，
当x＞0时，要使f（x）＞0，则，即，即，则．
又∵x＞0，∴．∴当时，．
20．（1）解：在等差数列中，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，∴S1＝a1＝1，S3＝3＋3d，S9＝9＋36d，
又S1，S3，S9成等比数列，∴，即（3＋3d）2＝9＋36d，由于d≠0，解得d＝2，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1
（2）证明：由（Ⅰ）知，∴，
则，
∵，∴，，∴
21．【详解】（1），令，得x＝－2，
在（－3，－2）为负，f（x）单调递减，在（－2，＋0∞）为正，f（x）单调递增，
故为极小值，f（x）无极大值．
（2）由题知，令，
，g（0）＝0，，
令，则，
设 则，
－3＜x＜0，为正，在（－3，0）单调递增，
x＞0，为负，在（0，＋∞）单调递减，故为极大值，
若1－2a≤0，即，此时，则在（－3，＋∞）单调递减，
又，所以－3＜x＜0时，g（x）在（－3，0）单调递增，
x＞0时，，g（x）在（0，＋∞）单调递减，
故g（0）＝0为极大值，所以g（x）≤0，则当时，符合条件：1－2a＞0，即
此时，存在－3＜x1＜0，在（x1，0）上；，
则在（x1，0）单调递增，又，则在区间（x1，0）上
所以在区间（x1，0）上，g（x）单调递减，则g（x）＞g（0）＝0，不满足条件．
综上所述a的最小值为．
22．【详解】（1）a＝0，，，令，得x＝－3，
当x＜－3时，，当x＞－3时，，
所以函数f（x）的单调递增区间为（－3，＋∞），单调递减区间为（－∞，－3）．
（2）（ⅰ）由f（x）≤1，即
解得，令，
，
令，
所以，，h（x）在单调递增，
，，h（x）在单调递减．且x＜0时，h（x）＞0
h（x）在上有唯一的零点，∵h（0）＝0，当x＜0时，h（x）＞0，，g（x）单调递增，
当x＞0时，h（x）＜0，，g（x）单调递减，∴，∴a≥1
所以a的最小值为1．