资阳市 2022- 2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。并将条形码贴在答题卡上对
应的虚线框内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．复数 4- 3i1+ i =
A． 7 1 1 12 + 2 i B． 2 + 2 i
C． 1 - 7 i D． 72 2 2 -
7
2 i
2 y2
2．双曲线 x8 - 4 = 1的离心率为
A． 62 B． 2
C． 3 D． 6
3．函数 f(x) = x- lnx的单调递减区间为
A．（0，1） B． (1，+∞)
C． (0，+∞) D．（0，1），(0，+∞)
4． (1+ x)12展开式中，系数最大的项是
A．第 5，6项 B．第 6，7项
C．第 6项 D．第 7项
5．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为 0.2，乙地的降雨概率为 0.3．假定这段
时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为
A． 0.4 B． 0.44
C．0.56 D． 0.6
理科数学试卷 第 1页（共 5页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}
6．已知某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．若开关第一次闭合后出现红灯的概率
为 12 ,两次闭合后都出现红灯的概率为
1
6，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次
闭合后出现红灯的概率为
A． 1 112 B． 6
C． 13 D．
2
3
2
7．已知双曲线C：x2- y 2 = 1(m> 0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l经过F2且与C的右支m
相交于A，B两点，若 |AB| = 2，则△ABF1的周长为
A．6 B．8
C．10 D． 12
8．已知函数 y= x tanx的导函数为
A． y = sinxcosx+ x B． y = sinxcosx+ xcos2x
cos2x cos2x
sinxcosx+ cos2x
C． y = sinxcosx+ 12 D． y
=
cos x cos2x
9． 已知点A，B在抛物线C：y2= 2x上，O为坐标原点，△OAB为等边三角形，则△OAB的面积
为
A． 12 3 B． 24 3
C． 36 3 D． 48 3
2 y2
10．已知双曲线E：x2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的离心率为
2 3
3 ，则E的两条渐近线的夹角为a b
A． π6 B．
π
4
C． π D． 5π3 12
11．由 1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且 2不在第二位，则这样的六位
数个数为
A． 120种 B． 108种
C． 96种 D． 72种
12．过坐标原点可以作曲线 y= (x+ a)ex两条切线，则 a的取值范围是
A． (-e,0) B． (-4,0)
C． (-∞,-e) ∪ (0,+∞) D． (-∞,-4) ∪ (0,+∞)
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
6
13． 3x- 1 展开式中的常数项为 ________．x
14．若随机变量X服从正态分布N 3,σ2 ，且P X< 1 = 0.28，则P X≤ 5 的值为________．
理科数学试卷 第 2页（共 5页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}
x215．过抛物线 y2= 4ax a> 0 的焦点F作斜率为-1的直线 l，l与离心率为 e的双曲线 -
a2
y2
2 = 1 b> 0 的两条渐近线的交点分别为B，C．若 xB，xC，xF分别表示B，C，F的横坐b
标，且 x2F =-xB·xC，则 e= ________．
16．杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的《详解九章算法》一书中，辑录了图①所示的三
角形数表，这比欧洲早 500多年．杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用．
借助图②所示的杨辉三角，可以得到，从第 0行到第n行：
第 1斜列之和 1+ 1+ +1=n+ 1；
第 2斜列之和 1+ 2+ 3+ +C1n=C2n+1．
类比以上结论，并解决如下问题：图③所示为一个n层三角垛，底层是
每边堆n(n≥ 3)个圆球的三角形（底层堆积方式如右图所示），向上逐
层每边少 1个，顶层是 1个．则小球总数为__________．
三、解答题：本大题共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (10分)
已知函数 f(x) = ex-ax2+1．
(1)求曲线 y= f (x)在 (0, f (0))处的切线方程；
(2)若 x∈ (0,+∞)时，f (x)单调递增，求 a的取值范围．
18． (12分)
某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调
研，统计了近十年的研发投入 y(单位：亿元)与年份代码 x共 10组数据，其中年份代码 x= 1，
2，…，10分别指 2013年，2014年，…，2022年．
现用模型① y= bx+ a，② y= c+ d x分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行
残差分析，得到下图所示的残差图．
理科数学试卷 第 3页（共 5页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}
10
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 ti= x 1i，t= 10 ti．i=1
10 10 10 10 y t (xi-x)2 (ti-t)2 (yi-y) (xi-x) (y-y i ) (ti-t)
i=1 i=1 i=1 i=1
75 2.25 82.5 4.5 121.4 28.82
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出 y关于 x的回归方程；根据该模型，求该公司 2028年高科技
研发投入 y的预报值． (回归系数精确到 0.01)
附：对于一组具有线性相关关系的数据 (x 1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)，其回归直线 y= a
n
(xi-x) (yi-y)
+ bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b= i=1
n ，a= y- bx．
(xi-x )2
i=1
19． (12分)
2 y2
已知双曲线C：x2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)实轴长为 2，左、右两顶点分别为A1，A2，C上的a b
一点P(x0，y0) (y0≠ 0)分别与A1，A2连线的斜率之积为 3．
(1)求C的方程；
(2)经过点 (0,1)的直线 l分别与C的左、右支交于M，N两点，O为坐标原点，△OMN的面
积为 6，求 l的方程．
理科数学试卷 第 4页（共 5页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}
20． (12分)
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息．某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习
惯，利用课余时间随机对 400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
（1）通过计算判断，有没有 99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
（2）中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑
茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种．现分别在绿茶与青茶中各选取了 2个品种茶，甲
在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种．已知甲准确说出绿茶各品种的概
率为 23，准确说出青茶各品种的概率为
1
2，品鉴每个品种的互不影响．记“甲准确说出茶叶品
种数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：
P(K 2≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2= n(ad- bc)
2
其中K (a+ b) (c+ d) (a+ c) (b+ )，n= a+ b+ c+ d．d
21． (12分)
过点K(0，-1)作抛物线G：x2= 2py(p> 0)在第一象限部分的切线，切点为A，F为G的
焦点，O为坐标原点，△OAF的面积为 1．
(1)求G的方程；
(2)过点P(0，2)作两条互相垂直的直线 l1和 l2，l1交G于C，D两点，l2交G于P，Q两点，
且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐
标；若不是，说明理由．
22． (12分)
已知函数 f(x) = (x- 1)ex+ax+ 1．
(1)若 f(x)有两个极值点，求 a的取值范围；
(2)若 x≥ 0，f(x)≥ 2sinx，求 a的取值范围．
理科数学试卷 第 5页（共 5页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}资阳市 2022- 2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
理科数学参考答案和评分意见
注意事项：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4． 只给整数分。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
1- 5：CAADB；6- 10：CBAAC；11- 12：BD
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
n(n+ 1) (n+ 2)
13．135； 14．0.72； 15． 3； 16．C3n+2或 6 ．
三、解答题：本大题共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (10分)
(1)由 f(x) = ex-ax2+1，得 f (x) = ex-2ax，
则 f (0) = 1，又 f(0) = 2，
所以曲线 y= f(x)在 (0,f(0))处的切线方程为 y= x+ 2. 4分
(2)因为 x∈ (0,+∞)时，f(x)单调递增，
所以 x∈ (0,+∞)时，f (x) = ex-2ax≥ 0恒成立， 6分
x
即 2a≤ ex 在 x∈ (0,+∞)时恒成立，
ex( ) = ( ) = (x- 1)e
x
设 g x x ，则 g x x2
，
则 0< x< 1时，g (x)< 0，x> 1时，g (x)> 0，
可知 x= 1时，g(x)取极小值 g(1) = e，该极小值也即为 (0,+∞)上的最小值，
所以 2a≤ e，即 a≤ e2，
所以 x∈ (0,+∞)，f(x)单调递增时，a的取值范围是 (-∞, e2 ]． 10分
18． (12分)
理科数学答案 第 1页（共 4页）
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(1)应该选择模型②． 2分
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状
宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较
合适． 4分
(2)根据模型②，令 t= x，研发投入 y与 t可用线性回归来拟合，有 y = c + dt．
10
(y-y
i ) (ti-t)
则 d= i=1 10 =
28.82
4.5 ≈ 6.404， 6分
(t-t)2i
i=1
所以 c = y - dt= 75- 6.404× 2.25≈ 60.59， 8分
则 y关于 t的线性回归方程为 y = 6.40t+ 60.59．
所以，y关于 x的回归方程为 y = 6.40 x+ 60.59． 10分
2028年，即 x= 16时，y = 6.40 16+ 60.59≈ 86.19(亿元)．
所以，该公司 2028年高科技研发投入 y的预报值为 86.19（亿元）． 12分
注：关于第（2）小题的解答，①若选用模型①求回归方程，本小问最多给4分；
c d= 28.82
②求 时，也可利用 4.5 代入并计算，得 c= y- dt= 75-
28.82
4.5 × 2.25≈ 60.59．
19． (12分)
y2
（1）由题 a= 1，不妨设点A1(-1,0)，A2(1,0)，C的方程为 x2- 2 = 1． 2分b
y2
因为P(x0，y0)在C上，则 x2 00- 2 = 1，即有 y
2= b20 (x20-1)， 3分b
则P(x0，y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为
y0 y0 = y
2
0 = b
2(x20-1) 2
x +1 x -1 2 = b = 3,0 0 x0-1 x20-1
y2
所以C的方程为 x2- 3 = 1． 5分
（2）由题知，直线 l的斜率存在，设为 k，则 l的方程为 y= kx+ 1，
y= kx+ 1，联立方程组 y2 消去 y，得 (3- k
2)x2-2kx- 4= 0， 6分
x2- 3 = 1，
令M (x ,y )，N (x ,y ),则 x +x = 2k -41 1 2 2 1 2 ，x x3- k2 1 2
= 2，3- k
因为直线 l分别交C的左、右支于M，N两点，
则△= 4k2+16(3- k2)> 0，x x = -41 2 2 < 0，则- 3< k< 3， 8分3- k
△OMN的面积S= 12 x1-x2 = 6, 9分
则 x1-x 2k 162 2= (x 21+x2) -4x1x2= ( )2+ = 24，3- k2 3- k2
理科数学答案 第 2页（共 4页）
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解得 k2= 2或 72（舍去），则 k=± 2， 11分
所以 l的方程为 y=± 2x+ 1． 12分
20． (12分)
( ) 2= 400× (50× 100- 50× 200)
2
1 由题，得K 80100× 300× 150× 250 = 9 ≈ 8.89> 6.635， 3分
因此，有 99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系． 4分
(2)由题可知，X的可能值为 0，1，2，3，4．
P(X= 0) =C0( 1 )2C0( 1 )22 3 2 2 =
1
36， 5分
P(X= 1) =C1( 1 ) ( 2 )C0( 1 )2+C0( 1 )2C1( 1 2 62 3 3 2 2 2 3 2 2 ) = 36， 6分
P(X= 2) =C2 2 2 02( 3 ) C2(
1
2 )
2+C12( 13 ) (
2
3 )C
1
2( 1 22 ) +C
0( 12 3 )
2C2( 1 )2= 132 2 36， 7分
P(X= 3) =C2( 2 )22 3 C
1 1
2( 2 )
2+C1 12( 3 ) (
2 )C2( 1 23 2 2 ) =
12
36， 8分
P(X= 4) =C2( 2 )2C2( 12 3 2 2 )
2= 436， 9分
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 1 1 636 6 (或填 36 )
13 1
36 3 (或填
12 1
36 ) 9 (或填
4
36 )
10分
则X的数学期望EX= 0× 1 + 1× 6 + 2× 1336 36 36 + 3×
12
36 + 4×
4 7
36 = 3． 12分
21． (12分)
(1)由题，y = xp， 1分
设切点A(x0，y0)
x
，则切线方程为 y- y 00= p (x- x0)， 2分
( - ) - - = xK 0， 1 的坐标代入，得 1 y 00 p (-x0)，解得 y0= 1,x0= 2p, 3分
△ = 1 p由 OAF的面积S 2 2 2p= 1，解得 p= 2，
所以G的方程为 x2= 4y． 5分
(2)由题意可知，直线 l1和 l2斜率都存在且均不为 0，
设直线 l1的方程为 y= kx+ 2，则直线 l2的方程为 y=- 1 x+ 2，k
y= kx+ 2，
联立方程组 2 2 消去 y并整理得，x -4kx- 8= 0， 6分x = 4y
则Δ= (-4k)2+32= 16k2+32> 0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则 x1+x2= 4k，x1 x2=-8， 7分
所以，y1+y2= k(x1+x2) + 4= 4k2+4，
因为M为CD中点，所以M (2k,2k2+2)， 8分
同理，N - 2 , 22 + 2 ， 9分k k
所以，直线MN的方程为
理科数学答案 第 3页（共 4页）
{#{QQABYYYEggigABBAAAACEwWCCAGQkhGCAIgGBEAQoEAAyBFABCA=}#}
2k2+2- 22 + 2
y- (2k2+2) = k
1
2 x- 2k = k- x- 2kk ，2k+ k
整理得 y= k- 1k x+ 4，
所以，直线MN恒过定点 (0,4)． 12分
22． (12分)
(1)由 f(x) = (x- 1)ex+ax+ 1，得 f (x) = xex+a，
因为 f(x)有两个极值点，则 f (x) = 0，即方程-a= xex有两个不等实数根， 1分
令 g(x) = xex，则 g (x) = (x+ 1)ex，
知 x<-1时，g (x)< 0，g(x)单调递减；x>-1时，g (x)> 0，g(x)单调递增，
则 x=-1时，g(x)取得极小值 g(-1) =- 1e，也即为最小值， 3分
且 x< 0时，g(x)< 0，x→-∞时，g(x) → 0；x> 0时，g(x)> 0，x→∞时，g(x) →+∞，
故- 1e <-a< 0，即 0< a<
1 x
e 时，方程-a= xe 有两个实数根，不妨设为 x1，x2(x1< x2)．
可知 x< x 1时，f (x)> 0，x1< x< x2时，f (x)< 0，x> x2时，f (x)> 0，
即 x1，x2分别为 f(x)的极大值和极小值点．
所以 f(x)有两个极值点时，a的取值范围是 0, 1e ． 5分
(2)令 h(x) = (x- 1)ex+ax- 2sinx+ 1，原不等式即为 h(x)≥ 0，
可得 h(0) = 0，h (x) = xex+a- 2cosx，h (0) = a- 2， 6分
令 u(x) = h (x) = xex+a- 2cosx，则 u (x) = (x+ 1)ex+2sinx，
又设 t(x) = (x+ 1)ex，则 t (x) = (x+ 2)ex，则 x≥ 0，t (x)> 0，可知 t(x)单调递增，
若 x∈ [0，π)，有 (x+ 1)ex> 0，sinx> 0，则 u (x)> 0；
若 x∈ [π，+∞)，有 (x+ 1)ex>(π+ 1)eπ> 2，则 u (x)> 0，
所以，x≥ 0，u (x)> 0，则 u(x)即 h (x)单调递增，
ⅰ)当 a- 2≥ 0即 a≥ 2时，h (x)≥ h (0)≥ 0，则 h(x)单调递增，
所以，h(x)≥ h(0) = 0恒成立，则 a≥ 2符合题意． 9分
ⅱ)当 a- 2< 0即 a< 2时，
h (0)< 0，h (3- a) = (3- a)e(3-a)+a- 2cos(3- a)≥ 3- a+ a- 2cos(2- a)> 0，
存在 x0∈ (0，3- a)，使得 h (x0) = 0，
当 0< x< x0时，h (x)< 0，则 h(x)单调递减，所以 h(x)< h(0) = 0，与题意不符，
综上所述，a的取值范围是 [2，+∞)． 12分
理科数学答案 第 4页（共 4页）
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