资阳市 2022- 2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
文科数学参考答案和评分意见
注意事项：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4． 只给整数分。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
1- 5：CAADD；6- 10：BBADC；11- 12：AD
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． π π 56 ； 14． 3 ； 15． 2； 16． 2
三、解答题：本大题共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (10分)
(1)由 ρ= 4cosθ，得 ρ2= 4ρcosθ．
将 x= ρcosθ, 代入得，x2 = +y
2= 4x， 2分
y ρsinθ
即C的直角坐标方程为 (x- 2)2+y2= 4． 4分
(2)设A，B所对应的参数分别为 t1，t2，
x= 2 t,
因为 l的参数方程为 2 (t为参数)，y=-1+ 22 t
把 l的参数方程代入 x2-4x+ y2= 0可得 t2-3 2t+ 1= 0， 6分
所以Δ= (3 2)2-4> 0，t1+t2= 3 2> 0，t1t2= 1> 0，则 t1> 0，t2> 0，
所以 1 + 1 = |MA| +|MB| = |t1| +|t2| t1+t2| | | | | || | = t t = 3 2． 10分 MA MB MA MB t1 t2 1 2
18． (12分)
(1)由题，
2= 400× (50× 100- 50× 200)
2
得K 80100× 300× 150× 250 = 9 ≈ 8.89> 6.635， 4分
文科数学答案 第 1页（共 4页）
{#{QQABaYYAogCAAAAAAQBCEwHyCAGQkhECCAgGRFAcsEAACBFABCA=}#}
因此，有 99%的把握认为“经常喝茶”与性别有关系． 6分
(2)这 6人中男性 4人，记为A1，A2，A3，A4，女性 2人，记为B1，B2，
从这 6人中选取 2人所有基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，
(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，
B2)，共 15个．其中至少有一名女性的基本事件有 9个．
所求概率P= 915 =
3
5． 12分
19． (12分)
(1)由 f(x) = ex-ax2+1，得 f (x) = ex-2ax，
则 f (0) = 1，又 f(0) = 2， 2分
所以曲线 y= f(x)在 (0,f(0))处的切线方程为 y= x+ 2. 4分
(2)因为 x∈ (0,+∞)时，f(x)单调递增，
所以 x∈ (0,+∞)时，f (x) = ex-2ax≥ 0恒成立， 6分
x
即 2a≤ ex 在 x∈ (0,+∞)时恒成立，
x x
设 g(x) = ex ，则 g
(x) = (x- 1)e2 ，x
则 0< x< 1时，g (x)< 0，x> 1时，g (x)> 0，
可知 x= 1时，g(x)取极小值 g(1) = e，该极小值也即为 (0,+∞)上的最小值， 10分
所以 2a≤ e，即 a≤ e2，
所以 x∈ (0,+∞)，f(x)单调递增时，a的取值范围是 (-∞, e2 ]． 12分
20． (12分)
y2
（1）由题 a= 1，不妨设点A1(-1,0)，A2(1,0)，C的方程为 x2- 2 = 1． 2分b
y2
因为P(x0，y0)在C上，则 x2- 00 2 = 1，即有 y
2
0= b2(x20-1)， 3分b
则P(x0，y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为
y 2 2 20
x +1
y0 y0 b (x0-1) 2
0 x0-1
= 2 = = b = 3,x0-1 x20-1
y2
所以C的方程为 x2- 3 = 1． 5分
（2）由题知，直线 l的斜率存在，设为 k，则 l的方程为 y= kx+ 1，
y= kx+ 1，联立方程组 2 消去 y，得 (3- k2)x2 y -2kx- 4= 0， 6分x2- 3 = 1，
令M (x 2k -41,y1)，N (x2,y2),则 x1+x2= 2，x1x2= ，3- k 3- k2
因为直线 l分别交C的左、右支于M，N两点，
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则△= 4k2+16(3- k2)> 0，x x = -41 2 2 < 0，则- 3< k< 3， 8分3- k
△OMN的面积S= 12 x1-x2 = 6, 9分
则 x 21-x2 = (x1+x2)2-4x x = ( 2k 2 161 2 3- k2
) + 2 = 24，3- k
解得 k2= 2或 72（舍去），则 k=± 2， 11分
所以 l的方程为 y=± 2x+ 1． 12分
21． (12分)
( p1)抛物线G的准线方程为 l:x=- 2，设R到 l的距离为 d，
由于K(1,2)位于G的上方区域，根据抛物线定义，
则 |RK | +| pRF| = |RK | +d≥ 2+ 2， 3分
所以 |RK | +| p pRF|的最小值为 2+ 2，则 2+ 2 = 3，
解得 p= 2，
所以轨迹G的方程为 x2= 4y． 5分
(2)由题意可知，直线 l1和 l2斜率都存在且均不为 0，
设直线 l1的方程为 y= kx+ 2，则直线 l2的方程为 y=- 1 x+ 2，k
y= kx+ 2，联立方程组 消去 y并整理得，x2 2 -4kx- 8= 0， 6分x = 4y
则Δ= (-4k)2+32= 16k2+32> 0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 x1+x2= 4k，x1 x2=-8， 7分
所以，y1+y2= k(x1+x2) + 4= 4k2+4，
因为M为AB中点，所以M (2k,2k2+2)， 8分
同理，N - 2 , 22 + 2 ， 9分k k
所以，直线MN的方程为
2k2+2- 22 + 2
y- (2k2+2) = k2 x- 2k
1
= k- x- 2k ，
2k+ kk
整理得 y= k- 1 x+ 4，k
所以，直线MN恒过定点 (0,4)． 12分
22． (12分)
(1)a=-e时，由 f(x) = (x- 1)ex-ex+ 1，得 f (x) = xex-e， 1分
令 g(x) = xex-e，g(1) = 0，则 g (x) = (x+ 1)ex，
知 x<-1时，g (x)< 0，g(x)单调递减，且 g(x)< 0；x>-1时，g (x)> 0，g(x)单调递增，
3分
由于 g(1) = 0，所以 x< 1时，g(x)< 0，即 f (x)< 0；x> 1时，g(x)> 0，即 f (x)> 0，
文科数学答案 第 3页（共 4页）
{#{QQABaYYAogCAAAAAAQBCEwHyCAGQkhECCAgGRFAcsEAACBFABCA=}#}
所以 x= 1时，f(x)取得极小值 f(1) = 1- e，无极大值． 5分
(2)令 h(x) = (x- 1)ex+ax- 2sinx+ 1，原不等式即为 h(x)≥ 0，
可得 h(0) = 0，h (x) = xex+a- 2cosx，h (0) = a- 2， 6分
令 u(x) = h (x) = xex+a- 2cosx，则 u (x) = (x+ 1)ex+2sinx，
又设 t(x) = (x+ 1)ex，则 t (x) = (x+ 2)ex，则 x≥ 0，t (x)> 0，可知 t(x)单调递增，
若 x∈ [0，π)，有 (x+ 1)ex> 0，sinx> 0，则 u (x)> 0；
若 x∈ [π，+∞)，有 (x+ 1)ex>(π+ 1)eπ> 2，则 u (x)> 0，
所以，x≥ 0，u (x)> 0，则 u(x)即 h (x)单调递增，
ⅰ)当 a- 2≥ 0即 a≥ 2时，h (x)≥ h (0)≥ 0，则 h(x)单调递增，
所以，h(x)≥ h(0) = 0恒成立，则 a≥ 2符合题意． 9分
ⅱ)当 a- 2< 0即 a< 2时，
h (0)< 0，h (3- a) = (3- a)e(3-a)+a- 2cos(3- a)≥ 3- a+ a- 2cos(2- a)> 0，
存在 x0∈ (0，3- a)，使得 h (x0) = 0，
当 0< x< x0时，h (x)< 0，则 h(x)单调递减，所以 h(x)< h(0) = 0，与题意不符．
综上所述，a的取值范围是 [2，+∞)． 12分
文科数学答案 第 4页（共 4页）
{#{QQABaYYAogCAAAAAAQBCEwHyCAGQkhECCAgGRFAcsEAACBFABCA=}#}资阳市 2022- 2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。并将条形码贴在答题卡上对
应的虚线框内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．复数 4- 3i1+ i =
A． 7 12 + 2 i B．
1
2 +
1
2 i
C． 1 7 7 72 - 2 i D． 2 - 2 i
x2 - y
2
2．双曲线 8 4 = 1的离心率为
A． 62 B． 2
C． 3 D． 6
3．函数 f(x) = x- lnx的单调递减区间为
A．（0，1） B． (1，+∞)
C． (0，+∞) D．（0，1），(0，+∞)
4．若复数 z满足（1+ i)2z= 2+ i，则 z=
A．- 12 - i B．-
1
2 + i
C． 1 12 - i D． 2 + i
5．研究变量 x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是
A．两个变量的相关系数的绝对值越接近于 1，它们的相关性越弱
B．两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为R2甲=
0.88，R2乙= 0.98，则模型甲比模拟乙的拟合效果好
C．在经验回归方程 y = 0.4+ 0.5x中，当解释变量 x每增加 1个单位时，相应观测值 y增
加 0.5个单位
D．经验回归直线经过样本中心点 (x，y)
文科数学试卷 第 1页（共 4页）
{#{QQABaYYAogCAAAAAAQBCEwHyCAGQkhECCAgGRFAcsEAACBFABCA=}#}
6．抛物线C:y= ax2过点 (1，2)，则C的焦点到准线的距离为
A． 18 B．
1
4
C． 12 D． 1
y2
7．已知双曲线C：x2- 2 = 1(m> 0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l经过F2且与C的右支m
相交于A，B两点，若 |AB| = 2，则△ABF1的周长为
A．6 B．8
C．10 D． 12
8．已知函数 y= x tanx的导函数为
A． y = sinxcosx+ x = sinxcosx+ xcos2x
cos2
B． y
x cos2x
C． y = sinxcosx+ 1 D． y = sinxcosx+ cos2x
cos2x cos2x
x= et+e-t,
9．曲线C的参数方程为 = t- -t (t为参数)，则C的普通方程为y e e
A． y2-x2= 2 B． x2-y2= 2
C． y2-x2= 4 D． x2-y2= 4
2 y2
10．已知双曲线E：x2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的离心率为
2 3
3 ，则E的两条渐近线的夹角为a b
A． π6 B．
π
4
C． π3 D．
5π
12
11．已知点 A，B在抛物线C：y2= 2x上，O为坐标原点，△OAB为等边三角形，则△OAB的面积为
A． 12 3 B． 24 3
C． 36 3 D． 48 3
12．过坐标原点可以作曲线 y= (x+ a)ex两条切线，则 a的取值范围是
A． (-e,0) B． (-4,0)
C． (-∞,-e) ∪ (0,+∞) D． (-∞,-4) ∪ (0,+∞)
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．函数 f(x) = x+ 2cos x在区间 [0，π2 ]上的极大值点是________．
14．已知直线 l的极坐标方程为 ρsin θ- π3 = 2 3，则 l的倾斜角为________．
15．已知抛物线C:x2= 2y的焦点为F，过点P(0,-2)作C的一条切线，切点为Q，则△FPQ的
面积为________．
2 y2
16．已知F1，F2分别为双曲线C: x2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的左、右焦点，点A是双曲线C的a b
一条渐近线上一点，且F1A F2A．若△F 31AF2的面积为 2 c
2，则双曲线C的离心率为__
__________．
文科数学试卷 第 2页（共 4页）
{#{QQABaYYAogCAAAAAAQBCEwHyCAGQkhECCAgGRFAcsEAACBFABCA=}#}
三、解答题：本大题共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (10分)
x= 2 t,
在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 2 (t为参数)．以坐标原点为极y=-1+ 22 t
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ρ= 4cosθ．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为 (0,-1)，l与C的交点为A，B，求 1 + 1 的值．
MA MB
18． (12分)
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息．某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习
惯，利用课余时间随机对 400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
(1)通过计算判断，有没有 99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
(2)根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了 6人．若从这 6
人中随机选择 2人进行访谈，求所抽取的 2人中至少有 1名女性的概率．
附表及公式：
P(K 2≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2= n(ad- bc)
2
其中K (a+ b) (c+ d) (a+ c) ( + )，n= a+ b+ c+ d．b d
19． (12分)
已知函数 f(x) = ex-ax2+1．
(1)求曲线 y= f(x)在 (0,f(0))处的切线方程；
(2)若 x∈ (0,+∞)时，f(x)单调递增，求 a的取值范围．
文科数学试卷 第 3页（共 4页）
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20． (12分)
2 y2
已知双曲线C：x2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)实轴长为 2，左、右两顶点分别为Aa b 1
，A2，C上的
一点P(x0，y0) (y0≠ 0)分别与A1，A2连线的斜率之积为 3．
(1)求C的方程；
(2)经过点 (0,1)的直线 l分别与C的左、右支交于M，N两点，O为坐标原点，△OMN的面
积为 6，求 l的方程．
21． (12分)
已知抛物线G：x2= 2py(p> 0)焦点为F，R为G上的动点，K(1,2)位于G的上方区域，
且 |RK | +|RF|的最小值为 3．
(1)求G的方程；
(2)过点P(0，2)作两条互相垂直的直线 l1和 l2，l1交G于A，B两点，l2交G于C，D两点，
且M，N分别为线段AB和CD的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐
标；若不是，说明理由．
22． (12分)
已知函数 f(x) = (x- 1)ex+ax+ 1．
(1)若 a=-e，求 f(x)的极值；
(2)若 x≥ 0，f(x)≥ 2sinx，求 a的取值范围．
文科数学试卷 第 4页（共 4页）
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