人教版八年级数学下册第19章 一次函数 期末压轴题训练 （含解析）

第19章 一次函数 期末压轴题训练
1．问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
2．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D在x轴正半轴上，且．
(1)求所在直线的解析式；
(2)点Q为直线上一动点，若，求点Q的坐标；
(3)将绕点D逆时针旋转90°得，点M、N分别是直线与直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出M的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线AB：与坐标轴的交点分别为，，直线与坐标轴交于C，D两点．
(1)求直线AB与直线的交点E的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)求四边形的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在中，，A点坐标为，线段交y轴于点C，的面积为10．
(1)求B点坐标；
(2)动点P从O出发沿y轴正方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，设的面积为S，用含t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点Q为x轴上一点，当时，连接，交于点D，当时，求D点的坐标．
6．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．
(1)求n和k的值；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；
(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
7．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点（0，3），已知，
(1)点A的坐标为____________；直线的表达式为____________；
(2)在y轴上有一点（0，4），在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若x轴上的动点Q在点A的右侧，以Q为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长，交y轴于点E，当Q运动时，点E的位置是否发生变化？若不变，请求出点E的坐标；若变化，请说明理由．
8．如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E
①求线段的长；
②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（1）如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（5，4），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣3）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
10．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，A（a，0），B（0，b），且．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)C是线段AB上一点，C点的横坐标为3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，分别交OC、OA于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
12．如图
(1)模型建立，如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于求证：≌；
(2)模型应用：
①已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转度，得到线段，过点，作直线，求直线的解析式；
②如图，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
13．如图，，，点B在x轴的正半轴上，且AB＝4，连接AC交y轴于点D．
(1)求点B与点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点Q的纵坐标为5，且△QBC面积为20，请求出点Q的坐标．
14．对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“距离”，记作． 特别的，当图形有公共点时，记作．一次函数的图像为， 与轴交点为，在中，．
(1)求（点，）=________；当时，求=_________．
(2)若，直接写出的取值范围_________．
(3)函数的图像记为，若，则的取值范围是_________．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线AB于点C．
(1)求直线AB的解析式及C点的坐标：
(2)如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值；
(3)如图2，将沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，其中a，b满足．
(1)求直线的解析式．
(2)在平面直角坐标系中第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标．
(3)已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中．直线l1：y＝﹣x+3与直线l2：y＝﹣x﹣6交于点A，已知点A的横坐标为﹣，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与x轴交于点F，与y轴交于点D．
(1)求直线l1的解析式；
(2)将直线l2向上平移个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E．过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为l2上的一个动点，求DM+MN的最小值；
(3)已知点P、Q分别是直线l1，l2上的两个动点，连接EP、EQ、PQ，是否存在点P、Q，使得EPQ是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点Q的坐标若不存在，说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)，
【分析】过作于，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
过作于，根据已知条件得到直线的解析式为，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理得到，待定系数法即可得到结论；
以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由得直线的解析式为，过作于，根据角平分线的性质得到，证明 ，求得，由知，，根据勾股定理得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【解析】（1）如图，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过作于，
∴，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
由得直线的解析式为，
过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴点分别到，墙面的距离分别为，
【点评】本题主要考查了一次函数，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式．
2．(1)
(2)点Q的坐标为或
(3)点M的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）证明得出点的坐标，则可得的解析式，先求出的面积，然后根据进行求解即可；
（3）根据全等三角形的性质证明，求出直线的表达式为，设点，再分两种情况：当在上方时；当在下方时，进行讨论即可．
【解析】（1）解：设直线的表达式为（）
∵点A坐标为，点B坐标为
∴解得
∴直线的表达式为；
（2）∵点A坐标为，点C坐标为
∴，
∵，
∴，
∴，故点，
∴直线的表达式为，
，
∵，
，
∴，
∴或5，
∵点Q为直线上，
∴点Q的坐标为或
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故设直线的表达式为，
将点得坐标代入得，
解得,
∴直线的表达式为，
设点，
当在上方时，
过点作轴的平行线交轴与点，交过点与轴的平行线于点，
则∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴点的坐标为，
当在下方时，，
同理可得的坐标为
综上所述：点M的坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
3．(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；
（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；
（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．
【解析】（1）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：，，
，，
，
．
沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）解：如图，过C作于M，
，，
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
．
过点作，，过点作，，连接，，，与交于，
则四边形是正方形，
，，均为等腰直角三角形．
作轴于N，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
是的中点，也是的中点，
，，
的横坐标为，纵坐标为，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，
，
综上，点P的坐标为：，，．
【点评】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．
4．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）把点A，B的坐标代入即可求得直线的解析式，然后与直线联立即可解答；
（2）直接根据函数图像和点E的坐标即可写出的解集；
（3）根据可得C，D两点的坐标，进而可得、，然后根据、E 可得、点E到BD的距离是2，最后根据求解即可．
【解析】（1）解：把点A，B的坐标代入得，解得，
∴直线AB的解析式是．
解方程组，得，
∴点E的坐标是．
（2）解：由（1）可得点E的坐标是
由函数图像可得不等式的解集为．
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
∵，E ，
∴，点E到BD的距离是2，
∴．
【点评】本题主要考查了求函数解析式、两直线交点问题、根据函数图像确定不等式解集、一次函数图像与坐标轴围成图形面积问题等知识点，掌握一次函数的相关性质是解答本题的关键．
5．(1)
(2)当P在线段上时， ； P在线段延长线时，
(3)
【分析】（1）分别过A、B作轴于F，轴于E，证明，可得，即可求解；
（2）过B作于J，则，根据，可得，再分两种情况讨论：当P在线段上时，当P在线段的延长线上时，即可求解；
（3）延长交x轴点G，可得，可证得，从而得到，由可得，可证得，可得到，再分别求出直线和 的解析式，即可求解．
【解析】（1）解：分别过A、B作轴于F，轴于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B在第二象限，
∴；
（2）解：根据题意得：，
过B作于J，则，
∵，
∴，
即，
∴，
①当P在线段上时，，
∴；
②P在线段延长线时，，
∴；
（3）解：延长交x轴点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴．
【点评】本题主要考查了一次函数的几何运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．(1)，
(2)P
(3)
【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可；
（3）根据图象即可求得．
【解析】（1）把点C代入解析式中，得，
∴C，
把点C的坐标代入中，则，解得；
（2）∵直线分别与x，y轴交于点A、B，
∴A，B，
过点C作轴于点M，
∴，
∴，
∴，
∵点P在射线上，
∴，
过点P作轴于点N，
∴，
∴，
∴，
令，则，
解得，
∴P；
（3）由图象可知，不等式的解集为．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想．
7．(1)
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)当Q运动时，点E的位置不发生变化，点E的坐标为
【分析】（1）设点A坐标为，则，由（0，3），得 ，，由勾股定理解得，从而 ，再用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设点，可得，分情况三种①；②；③，分别求出x的值即可得解；
（3）过点D作轴，由AAS证得，从而，进而为等腰直角三角形，故
【解析】（1）解：设点A坐标为，则，
由，（0，3），得 ，，
由勾股定理得，
解得，
设直线的解析式为，把分别代入，
得，
解得，
故直线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：在x轴上存在点P，使是等腰三角形，设．
依题意得，
①当时，点P位置如图中的点
∵，
∴
∴
②当，时点P位置如图中的点
此时，，则在中，
，
解得：．
∴
③当时，点P位置如图中的点
∴，
解得：或．
∴，
综上所述，点P的坐标为或或或
（3）解：当Q运动时，点E的位置不发生变化，点E的坐标为
理由如下：
过点D作轴，则，则
∵为等腰直角三角形，
∴
∵在中有
∴
在和中
∴
∴
设，则，
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等是解答此题的关键．
8．(1)（-4，1）
(2)①；②（-1，2）或（，0）或（，2）
【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即可求解；
（2）①由（1）知点C的坐标为（-4，1），CDx轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解；
②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况，即可求解；
【解析】（1）解：在y=3x+3中，当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，
在y=3x+3中，当y=0时，0=3x+3，x=-1，
∵点B的坐标为（-1，0），
∴BO=1，
如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB，
∴△BCH≌△ABO（AAS），
∴CH=BO=1，BH=AO=3，
∴OH=BH+BO=4，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-4，1）；
（2）解：①由（1）知点C的坐标为（-4，1），
∵CDx轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1，
将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，
∴x＝，
∴点D的坐标为（，1），
∴CD＝；
②存在，理由：
以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况：
当△≌△BDC时，
则点和点B关于直线CE对称，
∴点的坐标为：（-1，2）；
当△≌△BDC时，
则点和点B关于CD的中垂线对称，
∴点（，0）即（，0）；
当△≌△BDC时，
则点和点关于直线CE对称，
∴点的坐标为：（，2）；
综上：M坐标为（-1，2）或（，0）或（，2）时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
9．（1）见解析；（2）直线l2的解析式为；（3）能，或
【分析】（1）根据直角代换出，即可用“AAS”证明出结论；
（2）根据函数解析式即可求出与y轴，x轴的交点A，B点坐标，即可证明，即可求出CD、BD的长，即可求出C点坐标，用待定系数法即可求出l2的函数表达式；
（3）根据Q在AB上方和下方分类讨论，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，即可通过全等三角形的判定证明，通过全等三角形的性质得到，建立关于a的方程，即可求解．
【解析】（1）如图1，
图1
∵∠C＝90°，AD⊥CD， BE⊥CE，
∴，，
∴
在和中，
∵，
∴；
（2）∵直线l1：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴，
过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，
图2
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中，
∵
∴
∴，
∴
设直线l2的解析式为，
∵经过，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为；
（3）∵Q（a，2a﹣3），
∴点Q是直线上的一点，
当点Q在AB下方时，如图3，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
∵是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵点B（5，4），Q（a，2a﹣3），
∴，
∴
∴；
当点Q在AB上方时，如图4，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
同理，可证，
∴
∵点B（5，4），Q（a，2a﹣3），
∴，
∴，
解得，
综上可知，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，此时或．
【点评】本题考查了一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等量代换出角度之间的等量关系是关键；也考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用全等三角形的判定和性质得出点的坐标是本题的关键；最后考查了分类讨论，利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题的关键．
10．(1)；
(2)①点的坐标为，或，；②点的坐标为，或，．
【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【解析】（1）对于，
由得：，
．
由得：，解得，
，
点与点关于轴对称．
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
（2）①设点，则点，点，
过点作与点，
则，，
则的面积，解得，
故点的坐标为，或，；
②如图，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，解得，
，，
当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
11．(1)A（4，0），B（0，4）
(2)P（0， ）
(3)OD=AE，理由见解析
【分析】（1）由，利用非负数的性质得到a-b=0，b-4=0，解得a=4，b=4，得到A（4，0），B（0，4）；
（2）如图1，过点O作OM⊥OC交CP的延长线于M，得到等腰直角三角形，根据其性质得到OM=OC，利用直线AB的解析式，求出点C的坐标，从而得到点M的坐标，求得直线CM 的解析式，得到P点的坐标；
（3）如图2，过点A作AH⊥x轴，交OC的延长线于H，证明△BOD与△OAH，△ACE与△ACH全等，得到AE=AH，OD=AH，由等量代换得到OD=AE．
（1）
解：∵，
∴a-b=0，b-4=0，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）
解∶如图1，，过点O作OM⊥OC交CP的延长线于M，过C作CG ⊥x轴于G ，过M作MN⊥x轴于N，
∵∠OCP=45°，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM=OC，
设直线AB的解析式为：y=kx+4，
∴0=4k+4，
∴k=-1，
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
当x=3时，y=1，
∴C（3，1），
∴OE=3，CE=1，
∵MO⊥OC，MN⊥ON，
∴∠MNO=∠MON=90°，
∴∠NMO+∠MON=∠MON+∠COG=90°，
∴∠NMO=∠COG，
又OM=ON，∠MNO=∠CGO=90°，
∴△MON≌OCG（AAS），
∴MN=OG=3，ON=CG=1，
∴M（-1，3），
设直线CP的解析式为，
则，
∴，
∴直线CP的解析式为，
当x=0时，y=，
∴P（0， ）；
（3）
解：OD=AE．
理由：过点A作AH⊥x轴，交OC的延长线于H，
∵BD⊥OC，∠AOB=90°，
∴∠DBO+∠BOF=90°，∠AOF+∠BOF=90°，
∴∠DBO=∠AOF，
∵A（4，0），B（0，4），
∴AO=BO=4，
又∠BOD=∠OAH=90°，
∴△BOD≌△OAH（ASA），
∴OD=AH，∠BDO=∠AHO，
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠CEA=∠AHO，
∵∠CAE =45°，AH⊥OA，
∴∠CAH=45°，
∴∠CAE=∠CAH，
∴△ACE≌△ACH（AAS），
∴AE=AH，
∵OD=AH，
∴OD=AE．
【点评】本题考查了非负数的性质，求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
12．(1)证明见解析
(2)①；②点坐标为：，，
【分析】（1）由条件可求得，利用可证明≌；
（2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
②分三种情况考虑：如图所示，当时，，可得点在的中垂线上，即点横坐标为，易得点坐标；如图所示，当时，，设点的坐标为，表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；如图所示，当时，时，同理求出的坐标．
【解析】（1）证明：，
，
，
在和中，
≌；
（2）①∵如图，过作轴于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
，，
同可证得≌，
，，
，
，且，
设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得
直线解析式为，
的坐标为，
，
如图，当时，，
点在的中垂线上，即点横坐标为
点坐标；
如图，当时，，
设点的坐标为，则点坐标为，由，得，
点坐标；
如图，当时，时，同理可求得点坐标，
综上所述：点坐标为：，，
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
13．(1)，
(2)存在，或
(3)或
【分析】（1）先根据题意求出点B的横坐标，可得坐标，再求出直线AC的关系式，令x=0，求得y，即可得出点D的坐标；
（2）先结合AB和点C的坐标求出，可得，再设点P的坐标是（0，y），表示，然后根据，分两种情况求出y的值，即可得出答案；
（3）作直线y=5，过点C作y的平行线，交直线y=5于点G，交x轴于点H，设点Q的横坐标是m，则点Q的坐标是（m，5）．当点Q在点G的右边时，m＞1，由点B，C的坐标表示（求出）QG，CG，GH，CH，BH，再结合，求出m，即可得出答案；当点Q与点G重合时，m=1，此时，，判断即可；
当点Q在点G的左边时，m＜1，C作CN⊥BM，得出四边形CGMN为矩形，结合已知条件表（求出）QG，GC，BM，BN，GM=BH，MQ，再根据，求出m，即可得出答案．
【解析】（1）如图，
∵A（-1，0），AB=4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标是-1+4=3，点B的纵坐标是0，
∴点B的坐标是（3，0）．
设直线AC的关系式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得，
∴直线AC的关系式为y=2x+2．
∵直线AC与y轴交于点D，
令x=0，得y=2，
∴点D的坐标是（0，2）；
（2）存在点P，使得△ACP的面积等于△ABC的面积，理由如下：
∵点C（1，4），
∴点C到x轴的距离是4．
∵AB=4，
∴，
∴．
由（1）可知点D的坐标是（0，2）．
∵点P是y轴上一点，
∴设点P的坐标是（0，y），
∴．
∵A（-1，0），C（1，4），
∴，
，
∴，
即或，
解得或．
点P的坐标是（0，10）或（0，-6）；
（3）作直线y=5，过点C作y的平行线，交直线y=5于点G，交x轴于点H，设点Q的横坐标是m，则点Q的坐标是（m，5）．
分三种情况：
当点Q在点G的右边时，m＞1，如图．
设点Q的横坐标为m，则点Q的坐标为（m，5）．
∵C（1，4），B（3，0），
∴QG=m-1，CG=5-4=1，GH=5，CH=4，BH=3-1=2，
∴
．
∵，
∴，
解得，
∴此时，点Q的坐标是；
当点Q与点G重合时，m=1，如图，
此时，，
此种情况不合题意，说明不存在；
当点Q在点G的左边时，m＜1，如图，
过点B作直线y=5的垂线，垂足为点M，过点C作CN⊥BM，则∠CNM=∠NMG=∠CGM=90°，
∴四边形CGMN为矩形，
∴CG=CN，CG=NM．
设点Q的横坐标为m，则点Q的坐标为（m，5），
∵C（1，4），B（3，0），
∴QG=1-m，GC=5-4=1，BM=5，BN=4，GM=BH=3-1=2，MQ=3-m，
∴
．
∵，
∴，
解得，
此时，点Q的坐标时．
综上所述，点Q的坐标是或．
【点评】本题主要考查了求平面直角坐标系内点的坐标，待定系数法求一次函数关系式，矩形的性质和判定，求三角形面积等，注意多种情况讨论．
14．(1)1，．
(2)k≥2或k≤ 2
(3) 1 2≤b≤1＋2
【分析】（1）将x＝0代入直线解析式求出点D坐标，然后结合图像求解．
（2）分别求出直线经过点B，C时k的值，结合图像求解．
（3）由y＝x＋b与AB平行，结合图像分别求出d（W，△ABC）＝2时b的值，进而求解．
（1）
将x＝0代入y＝kx＋2得y＝2，
∴D（0，2），
∴d（点D，△ABC）＝点D（0，2）到点A（0，1）的距离，
即AD＝2 1＝1，
当k＝1时，y＝x＋2，直线L与AB平行，
如图，作AE⊥直线y＝x＋2，
∵三角形ADE为等腰直角三角形，AD＝1，
∴，
故答案为：1，．
（2）
若d（L，△ABC）＝0，则直线L与三角形ABC有交点，
当直线L经过点B时，如图甲所示，将（ 1，0）代入y＝kx＋2得0＝ k＋2，
解得k＝2，
∴k≥2满足题意，
当直线L经过点C时，如图乙所示，将（1，0）代入y＝kx＋2得0＝k＋2，
解得k＝ 2，
∴k≤ 2满足题意，
故答案为：k≥2或k≤ 2．
图甲 图乙
（3）
将x＝0代入y＝x＋b得y＝b，
∴直线y＝x＋b与y轴交点为（0，b），
如图丙所示，当b＞0时，设直线y＝x＋b与y轴交点为M，与x轴交点为N，作AG⊥MN于点G，
∵直线MN∥AB，
∴当AG＝2时，AM＝AG＝2，
∴点M坐标为（0，1＋2），
∴b＝1＋2，
当b＜0时，如图丁所示，设直线y＝x＋b与y轴交点为Q，与x轴交点为P，作CH⊥PQ于点H，
同理，当CH＝2时，CP＝CH＝2，
∴OQ＝OP＝OC＋CP＝1＋2，
∴b＝ 1 2，
∴ 1 2≤b≤1＋2时符合题意．
故答案为： 1 2≤b≤1＋2．
图丙 图丁
【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握一次函数的性质，掌握一次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
15．(1)，点C的坐标是（，）；
(2)；
(3)存在，点H的坐标为（1－，＋），（＋1，－）或（，）
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和OC的解析式，即可求得点C的坐标；
（2）先求出△OBC的面积，证明点P在点C的上方，设点P的坐标为（m，m），其中m＞0，由，求得m，得到点P的坐标，作四边形PMQ是平行四边形，则PQ＝M，证得的最小值为A＋MQ，由勾股定理求出答案即可；
（3）分两种情况： DF是正方形的边和DF为对角线，分别进行求解即可．
【解析】（1）解：∵OA＝1，
∴点A的坐标是（0，1），
∵，
∴OB＝，
∴点B的坐标为（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
把点A 和点B的坐标代入可得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
联立直线和直线AB的解析式得，
，
解得，
∴点C的坐标是（，）；
（2）解：∵，
∴点P在点C的上方，
∵，
∴OC⊥AB，
∵P为直线OC上一动点且在第一象限内，
∴可设点P的坐标为（m，m），其中m＞0，
∴点P到x轴的距离为m，
∵,
∴，
解得m＝，
∴m＝3，
∴点P的坐标是（，3），如图3，过点P向左作Px轴，且P＝，则的坐标为（，3），再作点关于x轴的对称点，则的坐标为（，﹣3），则连接A交x轴于点M，在x轴上截取，连接PQ，由作图过程知四边形PMQ是平行四边形，则PQ＝M，
∴的最小值为M＋QM＋MA＝M＋QM＋MA＝A＋MQ，
作A⊥于点，则的坐标为（，1），则A＝，＝4，
∴的最小值为A＋MQ＝
＝
．
即最小值为．
（3）解：存在，理由如下：
第一种情况，DF是正方形的边，由勾股定理得AB＝，
由点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），由于平移规律相同，可得点A（0，1）平移到点D（﹣，），点B（，0）平移到点F（，﹣），
如图4，以AB为边作正方形AB，过点作⊥x于点，
∵∠ABO＋∠B＝∠OAB＋∠ABO＝90°，
∴∠B＝∠OAB，
∵AB＝B，
∴△ABO≌△B（AAS），
∴B＝AO＝1，＝BO＝，
∴O＝＋1，
∴点的坐标为（＋1，），
同理可得点的坐标为（1，＋1），
由点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），由于平移规律相同，可知
点（1，＋1），点（＋1，），平移后的坐标即点H的坐标分别为（1－，＋），（＋1，－）；
②DF为对角线时，如图5，
由题意可得DF＝AB＝2，
在Rt△DHF中，，
∴，
∴，
由点D（﹣，），F（，﹣），可知点K的坐标为（，﹣），
设HN的表达式为y＝k1x＋b1，
∵HN⊥DF，OC⊥DF，
∴HNOC，
∴k1＝，
把点K的坐标代入y＝x＋b1得，
﹣＝×＋b1，
解得b1＝﹣1，
∴HN的表达式为y＝x－1，
设点H的坐标为（h，h－1），
由两点间距离公式得，DH＝，
∴，
解得（舍去），,
∴，
∴h－1＝，
∴点H的坐标为（，），
综上所述，点H的坐标是（1－，＋），（＋1，－）或（，）．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．
16．(1)
(2)故点的坐标为
(3)当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时点的坐标为
【分析】（1）求出，两点的坐标，由的面积，求出，由，进而求解；
（2）过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，证明，得到点的坐标为，求出的解析式，进而求解；
（3）分点是中点、点是中点、点是中点三种情况，利用一次函数的性质和中点坐标公式，即可求出点的坐标．
（1）
解：一次函数与坐标轴交于，两点，
故点、的坐标分别为、，
，
的面积，
解得或8（不合题意，舍去），
设点的坐标为，
将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，
，
则，
解得（负值不合题意，舍去），
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；
（2）
解：过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
令，解得，
设直线交轴于点，
，
，
为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
，
，，
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
联立和并解得，
故点的坐标为；
（3）
解：设点的坐标为，
则的表达式为，
联立上式与并解得，
即点的横坐标为，
①当点是中点时，
则点、的横坐标互为相反数，
即，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，，
②当点是中点时，
同理可得：，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，；
③当点是中点时，
同理可得，点，，
综上，当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时，点的坐标为，；当点是中点时点的坐标为，．
【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两直线的交点、中点坐标公式等，其中（3），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
17．(1)l2的解析式为y＝x＋4
(2)P点坐标为（ 1，5）或（ 9，5）
(3)Q点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）
【分析】（1）根据非负数的性质，可得a，b的值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行线间的距离相等，可得Q到AO的距离等于B到AO的距离，根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△AOP＝S△AOB，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a，根据平行于x轴直线上点的纵坐标相等，可得答案．
（1）
解：由得：a＝ 3，b＝4，
即A（ 3，3），B（0，4），
设l2的解析式为y＝kx＋b，将A，B点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
∴l2的解析式为y＝x＋4；
（2）
如图1，作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，
S△AOP＝S△AOB．
∵PB∥AO，PB过B点（0，4），
∴PB的解析式为y＝ x＋4或y＝ x 4①，
又P在直线y＝5②上，
联立①②得： x＋4＝5或 x 4＝5，
解得x＝ 1或 9，
∴P点坐标为（ 1，5）或（ 9，5）；
（3）
设M点的坐标为（a， a），N（a，a＋4），
∵点M在点N的下方，
∴MN＝a＋4 （ a）＝＋4，
如图2，当∠NMQ＝90°时，即MQ∥x轴，NM＝MQ，
＋4＝ a，
解得a＝ ，即M（ ，），
∴Q（0，）；
如图3，当∠MNQ＝90°时，即NQ∥x轴，NM＝NQ，
＋4＝ a，
解得a＝ ，即N（ ，），
∴Q（0，），
如图4，当∠MQN＝90°时，即NM∥y轴，MQ＝NQ，
a＋2＝ a，
解得a＝ ，
∴Q（0，）．
综上所述：Q点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用非负数的性质得出a，b的值，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用等底等高的三角形的面积相等得出P在过B点且平行AO的直线上；解（3）的关键是利用等腰直角三角形的性质得出关于a的方程，要分类讨论，以防遗漏．
18．(1)直线l1的解析式为y＝x＋3
(2)DM＋MN的最小值为
(3)存在，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点C作CN⊥l2交于点N，交l4于点M，则点M、N为所求点，进而求解；
（3）证明△QGP≌△EHQ（AAS），则GQ＝EH，PG＝QH，即可求解．
（1）
解：直线l2：y＝ x 6①交于点A，已知点A的横坐标为 ，
则点A的坐标为（ ， ），
将点A的坐标代入y＝kx＋3得： ＝ k＋3，
解得k＝，
故直线l1的解析式为y＝x＋3；
（2）
将直线l2向上平移个单位得到直线l3，
则l3为表达式为y＝ x 6＋＝ x ，
故点E的坐标为（0， ），
故l4的表达式为y＝ ；
由直线l1的表达式知，点C（0，3），
由点C、D、E的坐标知，CE＝DE＝4.5，故点D关于直线l4的对称点为点C，
过点C作CN⊥l2交于点N，交l4于点M，则点M、N为所求点，
理由：DM＋MN＝CM＋MN＝CN为最小，
由直线l2的表达式知，该直线与x轴负半轴的夹角为45°，
而CN⊥l2，则直线CN与x轴的夹角为45°，
故设直线CN的表达式为y＝x＋r，
点C的坐标为（0，3），则r＝3，
故直线CN的表达式为y＝x＋3②，
联立，
解得，
故点N的坐标为（ ， ），
由点C、N的坐标得，CN＝，
即DM＋MN的最小值为；
（3）
存在，理由：
如图2，设点P的坐标为（n，n＋3），点Q的坐标为（m， m 6），
而点E（0， ），PQ＝QE，
过点Q作x轴的平行线交y轴于点H，交过点P与y轴的平行线于点G，
∵∠PQG＋∠EQH＝90°，∠EQH＋∠QEH＝90°，
∴∠PQG＝∠QEH，
∵QP＝QE，∠QGP＝∠EHQ＝90°，
∴△QGP≌△EHQ（AAS），
∴GQ＝EH，PG＝QH，
而PG＝|n＋3＋m＋6|＝QH＝ m；GQ＝m n＝EH＝| ＋m＋6|，
解得或，
故点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．