福州市八县(市)协作校2022 - 2023学年第二学期期末联考
高二数学参考答案及评分细则
评分说明：
1.参考答案只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
2.解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
3.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分
正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
4.解答中给出了一种或几种解法供参考，如果考生有其他的正确解法，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．
1.B 2.C 3.A 4.D
5.D 6.A 7.B 8.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9.BC 10.BCD 11.AC 12.ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 3 14. f(x) = cos2πx( ) 15. 3a 答案不唯一 16. -∞, e 5 2
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解答：
(1)由 an+1= 2an+ 1得 an+1+ 1= 2 an+ 1 ………………………1分
+ = ≠ an+1+ 1又 a1 1 3 0，所以 + = 2 ………………………2分an 1
∴ an+ 1 是首项 3，公比为 2的等比数列 ………………………3分
∴ an+ 1= 3× 2n-1
故 an= 3× 2n-1- 1 ………………………5分
(2)由题意 2< an< 2024，即 2< 3× 2n-1- 1< 2024
解得：1< 2n-1< 675，即 2≤n≤ 10(n∈N *) ………………………7分
故 an 落入区间 2,2024 的项为 a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10
所以其和S= a2+ a3+ a4+ a5+ a6+ a7+ a8+ a9+ a10 ………………………8分
= 3× (21+ 22+ 23+ 24+ +29) - 9
= 3× 2- 1024 - 9
1- 2
= 3057 ………………………10分
高二数学试卷—第 1页—共 6页
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18.解答：
(1)由图可知：10× x+ 0.015+ 0.02+ 0.03+ 0.025 = 1，解得 x= 0.01. …………1分
因为 [50,90)内的频率为 0.1+ 0.15+ 0.2+ 0.3= 0.75< 0.8，
[50,100)内的频率为 0.1+ 0.15+ 0.2+ 0.3+ 0.25= 1> 0.8，
所以第 80百分位数位于区间 [90,100]内，设为m， ………………………2分
m= 90+ 0.8- 0.75则 × 100- 90 = 92，
0.25
所以第 80百分位数为 92. ………………………5分
(2)低于 80分的学生中三组学生的人数比例为 0.1:0.15:0.2= 2:3:4，
3
则应选取评分在 60,70 的学生人数为：30× + + = 10(人). …………………8分2 3 4
(3)由图可知，认可程度的平均分为：
x = 55× 0.1+ 65× 0.15+ 75× 0.2+ 85× 0.3+ 95× 0.25
= 79.5 ………………………10分
< 0.85× 100= 85 ………………………11分
所以 餐饮服务工作需要进一步整改. ………………………12分
19.解答：
(1)
法一：
由 sin A-B = 2sinC= 2sin A+B ，得
sinAcosB- cosAsinB= 2sinAcosB+ 2cosAsinB，
则 sinAcosB+ 3cosAsinB= 0， ………………………2分
由正弦定理和余弦定理得
2 2
a a + c - b
2 2
+ 3b b + c
2- a2 = 0， ………………………4分
2ac 2bc
化简得 a2= b2+ 2c2； ………………………6分
法二：
由 sin A-B = 2sinC，得
sinAcosB- cosAsinB= 2sinC ………………………2分
由正弦定理和余弦定理得
a a
2+ c2- b2 - b b
2+ c2- a2 = 2c， ………………………4分
2ac 2bc
化简得 a2= b2+ 2c2； ………………………6分
(2) △ABC A= 2π在 中，由 ，a= 6及余弦定理可得
3
a2= b2+ c2+ bc= 36 ………………………7分
又因为 a2= b2+ 2c2，
所以 b2+ 2c2= b2+ c2+ bc= 36
高二数学试卷—第 2页—共 6页
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所以 b= c= 2 3， ………………………9分
所以B=C= π ，
6
A
由BM = 2MC，得AM = 1 AB+ 2 AC，
3 3
∴ 2
2
AM = 1 AB + 4
2
AC + 4
AB AC
9 9 9
= 1 × 12+ 4 × 12+ 4 × 2 3 × 2 3 × cos 2π B
9 9 9 3 M C
= 4
所以AM= 2. ………………………12分
(如采取其他方法，可酌情给分)
20.解答：
(1)
方法一：
连接DC1,DE,
在三棱台ABC-A1B1C1中，
由三棱柱性质及BC= 2B1C1
可得A1C1 AC且AC= 2A1C1
又∵D是AC的中点
∴A1C1 AD,A1C1=AD,
∴四边形ADC1A1为平行四边形，
∴AA1 DC1,
∵AA1 平面DEC1, DC1 平面DEC1
∴AA1 平面DEC1,
又∵AB1 平面DEC1，且AB1,AA1 平面ABB1A1，AB1∩AA1=A，
∴平面ABB1A1 平面DEC1
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB,平面ABC∩平面DEC1=DE,
∴DE AB
由于D是AC的中点,故E是BC的中点，
故点E在边BC的中点处，AB1 平面DEC1 ……………………5分
方法二：
点E为线段BC的中点时．有AB1 平面DEC1 ……………………1分
理由如下：
连接B1E,EC1,记EC1与B1C的交点为P，连接DP.
高二数学试卷—第 3页—共 6页
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由三棱柱性质及BC= 2B1C1,
以及E为线段BC的中点可得 B1C1 EC
A1 C1
B1
∴四边形B1ECC1为平行四边形
P
∴P为B1C的中点 D
又∵D是AC的中点 A C
∴AB E1//DP B
又∵AB1 平面DEC1,DP 平面DEC1
∴AB1 平面DEC1 ……………………5分
(2)∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC,
∴CC1⊥AB
又AB⊥BC1,CC1∩BC1=C1,CC1，BC1 平面BCC1B1,
故AB⊥平面BCC1B1,
由于BC 平面BCC1B1,所以AB⊥CB ,
由 (1)知：E在边BC的中点，D是AC的中点,
所以ED AB,进而DE⊥BC
连接B1E,由B1C1 EC,B1C1=EC可得
四边形B1C1CE为平行四边形，
故CC1 B1E
由于CC1⊥平面ABC，因此B1E⊥平面ABC，
故ED,EC,EB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系:
设B1E= a(a> 0)，则E 0,0,0 ,B -2,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2,0 ,C1 2,0,a ,B1 0,0,a ，
故ED= (0,2,0),EC1= (2,0,a)， ……………………8分
设平面DEC1的法向量为m
= x,y,z ，
ED m = y= 0
则 ，取 x= a，则m= a,0,-2 ……………………9分EC1 m= 2x+ az= 0
又BC1= 4,0,a ，
BC m 1
故 sinθ= cos BC ,m = = 2a1 ……………………10分
BC m a21 + 16 a2+ 4
= 2 ≤ 2 = 1
a2+ 642 + 20 2 a2a ×
64 3
a2
+ 20
a2= 64当且仅当 ，即 a= 2 2 时取等号
a2
∴ sinθ 1的最大值为 . ……………………12分
3
高二数学试卷—第 4页—共 6页
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21.解答：
(1)依题意，
以直线AD为 x轴，线段AD的中垂线为 y轴，
建立平面直角坐标系，如图， …………………………………………………1分
因为在正六边形ABCDEF中，
△EOD为正三角形，∠EOD= 60°，
OD=ED= 4，
Γ x
2 y2
设双曲线 的方程为 - = 1(a> 0,b> 0)， ………………………2分
a2 b2
由已知得Γ的渐近线方程为 y=± 3x，
b
∴ = 3，
a
又∵焦距 2c= AD = 8
∴ c= 4，
c b2又由 = 1+ 2 = 2，则 a= 2，从而 b= 2 3，a a
x2 y2
所以双曲线Γ的方程为 - = 1. ………………………5分
4 12
(2)由 (1)知A为 -4,0 ,依题意，设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,M x0,y0 ，
当直线 l为 x轴时，不失一般性，则P -2,0 ,Q 2,0 ，
故AP= (2,0),AQ= (6,0)，所以AP= 1 AQ 1，从而 λ= ，
3 3
PM = 1
由 MQ可得 x0+ 2,y 10 = 2- x0,-y0 ，解得M -1,0 ； ……………6分3 3
3
当直线 l不为 x轴时，设 l的方程为 x= ty- 4 t ≠± ，由 λ≠-1可知 t≠ 0，3
x= ty- 4联立 2 2x2 y2 ，消去 x，得 3t - 1 y - 24ty+ 36= 0， ……………8分4 - 12 = 1
则
①Δ= (24t)2- 4× 3t2- 1 × 36= 144(1+ t2)> 0，
② y1+ y = 24t ,y 362 2- 1
y2= ，2
3t 1 3t - 1
A因为
P = λA Q y1= λy2，所以 - = - ，PM = λMQ y0 y1 λ y2 y0
消去 λ，得 y2 y0- y1 = y1 y2- y0 ，
= 2y1yy 2 = 72所以 0 + =
3
， ……………………………10分
y1 y2 24t t
从而 x0= ty0- 4= 3- 4=-1， ……………………………11分
又M -1,0 也在直线 x=-1上，
所以点M在定直线 x=-1上. ……………………………12分
高二数学试卷—第 5页—共 6页
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22【. 解答】
(1)若 b= 0，即 f x = ax- lnx x> 0 . f x = a- 1 = ax- 1 . …………………1分
x x
①若 a≤ 0，则 f x < 0，即 f x 在 0,+∞ 单调递减； …………………2分
②若 a> 0，令 f 1 x > 0则有 x> ； 令 f x < 0 0< x< 1 则有
a a
即 f x 在 0, 1a 上单调递减，
1 ,+∞ 上单调递增. ……………………4分a
综上有
当 a≤ 0，f x 在 0,+∞ 单调递减;
当 a> 0 1 1，f x 在 0, 上单调递减， ,+∞ 上单调递增． ……………………5分a a
(2)由题意知：已知 x1，x2是 f x 的两个零点，x1< x2.
ax + b即 1 - lnx1= 0，ax2+ b - lnxx x 2= 0.1 2
1
所以 a x1- x2 + b - 1 + lnx2- lnx1= 0，x1 x2
lnx - lnx
即 b= ax 2 11x2- x1x2 - . ……………………6分x2 x1
要证：x2 ax1- 1 < b< x1 ax2- 1 .
只需证：ax1x2- x2< b< ax1x2- x1.
- <- lnx2- lnx即证： x2 x x 11 2 x2-
<-x1.x1
x x x x
即证：1- 1 < ln 2 < 2 - 1，令 t= 2 > 1.
x2 x1 x1 x1
1
即证：1- < lnt< t- 1. ……………………8分
t
令 p t = lnt- 1+ 1 t> 1 ，有 p t = 1 - 1 = t- 1 > 0.
t t t2 t2
即 p t 在 1,+∞ 上单调递增，则 p t > p 1 = 0，即 lnt> 1- 1 .
t
设 p t = lnt- t+ 1 t> 1 1 ，有 p t = - 1< 0.
t
所以 p t 在 1,+∞ 上单调递减，则 p t < p 1 = 0，即 lnt< t- 1 ………………11分
综上可得：x2 ax1- 1 < b< x1 ax2- 1 . ……………………12分
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高二数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则=( )
A.{0,1,2} B.{2,1,0,1,2} C.{2,1,1,2} D.{1,0,1,2}
2. 若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. 1 D.1
3. 已知，则 ( )
A. B. C. D.
4. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，
后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，
第二层有3个球，第三层有6个球，…….若“三角垛”从第一层
到第层的各层的球数构成一个数列，则( )
A. B. C. D.
5. 已知，则是的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，，若EC与BD交于点O,
且，则 ( )
A. B. C. D.
7.设点分别是椭圆的左、右焦点，点在上(位于第一象限)，且点关于原点对称，若,则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.对实数,下列命题中正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则的最小值是2
10.已知圆和圆相交于两点，
点是圆上的动点，定点的坐标为，则下列说法正确的是( )
A.圆的圆心为，半径为1
B.直线的方程为
C.线段的长为
D.的最大值为6
11.已知，函数，下列选项正确的有( )
A.若的最小正周期，则
B.当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到
的图象
C.若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
D.若在区间上单调递增，则的取值范围是
12.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，
则( )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.过点的平面截正方体所得的截面周长为
C.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的体积为
D.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 顾惜同学和小小老师准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为__________.
14. 请写出一个同时满足下列3个条件的函数：=__________.
①；②=；③在上单调递增；
已知向量的夹角为，且，
则向量在向量上的投影向量为_____.(用表示)
已知函数存在唯一的极值点，
则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)
已知数列满足．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列落入区间(2,2024)的所有项的和．
18. (本题满分12分)
为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，霜寒同学和他的朋友们
需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此
该部门随机调查了500名游客，根据这500
名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分，
分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]
五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值和第80百分位数；
(2)为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查，求应选取评分在[60,70)的游客人数；
(3)若游客的“认可系数”(认可系数=)不低于0.85，餐饮
服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.根据你所学的统计知识，
结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19. (本题满分12分)
已知分别为△三个内角的对边，且.
(1)证明:；
(2)若，求的长度.
20. (本题满分12分)
如图，三棱台中，,是的中点，
是棱上的动点．
(1)试确定点的位置，使得平面；
(2)已知平面,且．
设直线与平面所成的角为，
试在(1)的条件下，求的最大值．
21. (本题满分12分)
如图，正六边形的边长为4.已知双曲线
的焦点分别为，两条渐近线分别为直线．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，
若点M满足，证明：点M在一条定直线上．
22. (本题满分12分)
已知函数，其中.
(1)若b=0，讨论函数的单调性；
(2)已知是函数的两个零点，且，
证明：.
