2014年高中数学等比数列的前n项和课后巩固练习 北师大版必修5

2014年高中数学等比数列的前n项和课后巩固练习 北师大版必修5
(30分钟　50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=( )
（A） （B） （C） （D）
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是( )
（A） （B） （C） （D）
3.(2011·青岛模拟)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为( )
（A）81 （B）120 （C）168 （D）192
4.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6.则数列{}的前5项和为( )
（A）或5 （B）或5
（C） （D）
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=_____________.
6.(2011·温州模拟)下列命题中，正确的命题序号是___________.
(1)若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且b=；
(2)两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an·bn}、{}、{}、{}仍为等比数列.
(3)若{an}是等比数列，则下标成等差数列的子列也构成等比数列；
(4)若{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m…也成等比数列.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
8.(2011·福州高二检测)已知数列{an}是等比数列，且a1+a2+a3=-6，且a1·a2·a3=64,(|q|>1)
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=(2n+1)·an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【挑战能力】
（10分）某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数).
(1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
答案解析
1.【解析】选B.由a2a4=1可得a12q4=1，因此a1=，又因为S3=a1(1+q+q2)=7，联立两式有(+3)·(-2)=0，所以q=,a1=4,所以S5=，故选B.
2.【解析】选D.由题设=-8 q=-2,所以选项A，B，C的数值都是确定的.
3.【解析】选B.根据题意及等比数列的性质可知：=27=q3,∴q=3,a1==3,∴S4==120.
4.独具【解题提示】解决本题时需要考虑公比为1的情况,进行验证.
【解析】选C.设等比数列的公比为q，则当公比q=1时，由a1=1得，9S3=9×3=27，而S6=6，两者不相等，故不合题意；当公比q≠1时，由9S3=S6及首项为1得： 9×=，解得q=2，所以数列{}的前5项和为1+，选C.
5.【解析】由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项an=4n-1.
答案: 4n-1
6.【解析】(1)中a、c的等比中项有两个，即b=±；
(2)(3)(4)都是等比数列的性质，成立.
答案:(2)(3)(4)
7.【解析】(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n-1，
又当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝2n-2(2-1)＝2n-2.
∴an=.
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝.
8.【解析】(1)由a1+a2+a3=-6,a1·a2·a3=64.则,由于|q|>1,解得a1=-2,q=-2,所以an=(-2)n.
(2)由(1)知bn=(2n+1)(-2)n,
Sn=3·(-2)+5·(-2)2+7·(-2)3+…+(2n-1)·(-2)n-1+(2n+1)·(-2)n ①
(-2)·Sn=3·(-2)2+5·(-2)3+7·(-2)4+…+(2n-1)·(-2)n+(2n+1)·(-2)n+1 ②
①-②得：3·Sn=3·(-2)+2·(-2)2+2·(-2)3+2·(-2)4+…+2·(-2)n-(2n+1)·(-2)n+1
即3·Sn=(-2)+2·［(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+…+(-2)n］-(2n+1)·(-2)n+1
3·Sn=(-2)+2·-(2n+1)·(-2)n+1
整理得：Sn=-·(-2)n+1
【挑战能力】
独具【解题提示】数列在实际问题中的应用这一类问题解决的关键在于如何将实际问题转化为数列问题.如何从条件中分析出数列的内容，如何引进符号，如何求数列的通项是转化的关键.
【解析】(1)依题设An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;
Bn=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］-600
=500n--100.
(2)Bn-An=(500n--100)-(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10［n(n+1)- -10］.
因为函数y=x(x+1)--10在（0,+∞）上为增函数，
∴当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
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