庐江县2022/2023学年度第二学期期末教学质量抽测
高二数学试题
命题人：庐江二中王胜春
白山中学夏友才审题人：庐江县教研室朱远清
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.请把正确的答案涂在答题卡上)
1.设集合A=(1,2,6},B={2,4},C=(x∈R|-1≤x≤5}，则(AUB)∩C=
A.{2)
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}
D.{x∈R|-1≤x≤5}
2.复数i十2+(：为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个
位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五
粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨
动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十
位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶
数”，事件B=“表示的四位数大于5050”，则P(B|A)=
A吉
是
档、
上珠
梁
c号
D
>下珠
4.函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2一a)+f(4一a)<0,则a的取值范围是
A.a<1
B.a>1
C.a<3
D.a>3
5.随机变量XB(100,p),且EX=20,则D(2X一1)=
A.64
B.128
C.256
D.32
6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋
盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱
EF=2,EF∥平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为号，该刍蕊的体积为
A号
B号
C.9
D.6
7.如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形
EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直
继续下去，则从正方形ABCD开始，连续15个正方形的面积之和等于
A.10[1-(2)5]
B.50[1-(合)]
C.25[1-(2)]
D.1-)]
8.下列说法中正确的是
庐江县高二数学试题第1页（共4页）
1/4庐江县 2022-2023 学年度第二学期期末抽测
高二数学参考答案及评分标准
一、二、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C A D B C BD CD BC BC
1.【答案】B
【解析】由题意 A∪B={1,2,4,6} ∴(A∪B)∩C={1,2,4} 故选 B
2.【答案】D
2+ i (2+ i)( i)
【解析】∵ i + = i + = i +1 2i =1 i ，
i i2
2+ i
∴复数 i + 在复平面内对应的点的坐标为(1，-1)，位于第四象限．故选 D．
i
3. 【答案】A
【解析】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠
子不拨动．
基本事件为：1000,1001,1005,1010,1050,1100,1500,5000,5001,5005,5010,5050,5100,
5500共 14种，
事件 A=“表示的四位数为偶数”，事件 B=“表示的四位数大于 5050”，
则 =10 5 2 1P(A) = ，P(AB)= = ，所以 P(B|A)= P(AB) 1= ．故选 A.
14 7 14 7 P(A) 5
4.【答案】C
【解析】因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数且单调递减，又由 f(2－a)＋f(4－a)<0，得 f(2－a)<－
f(4－a)＝f(a－4)，所以 2－a>a－4，即 a<3.故选 C.
5. 【答案】A
【解答】解：由于 X～B(100，p)，且 EX＝20，则 100p＝20，得 p＝0.2，
D(X)＝100p(1-p)＝20×(1-0.2)＝16，D(2X-1)＝22D(X)＝64．故选：A．
6.【答案】D
【解析】如图，作 FN∥AE，FM∥ED，
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
则该刍甍的体积为：
1 3 1 3 1 3
VF-MNBC+VADE-MNF= S 矩形 MNBC· +S 直截面·2= ×3×(3-2)× + ×3× ×2=6.故选 D．
3 2 3 2 2 2
7. 【答案】B
【解析】记第 1 个正方形的面积为 S1，第2个正方形的面积为 S2，…，第 n(n∈N*)个正方形的面积为
Sn，设第 n(n∈N*)个正方形的边长为 an，则第 n 个正方形的对角线长为 2a ， n
2 a
所以第 n+1个正方形的边长为 2a = a ，∴ n+1 = ， n+1 n
2 an 2
则数列 2{an}是首项为 a1=5，公比为 的等比数列，
2
高二数学试卷答案 第1页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
n 1 n 1
2 1
∴ an = 5 ，则 Sn=an=25 ，
2 2
n
1
25
当 n=1 时，S1=25，又
Sn+1 2 1= = ，
n 1
Sn 1 2
25
2
1
∴数列{Sn}是首项为 S1=25，公比为 的等比数列，
2
1
25[1 ( )n ]
∴S1+ S2+ S3+…+ S 1n= 2 = 50[1 ( )n ]
1 2
1
2
1
∴连续 15 个正方形的面积之和等于 S1+ S2+ S3+…+ S15= 50[1 ( )
15] 故选 B.
2
8.【答案】C
1
【解析】①随机变量X服从二项分布 B(6, )，
2
3 3
3 1 1 5
则 P(X=3)=C6 1 = ，正确；
2 2 16
②因为随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2)，∴正态曲线的对称轴是 x=2．
∵P(X<4)=0.9，∴P(2
③设事件 A=“4个人去的景点不相同”，事件 B=“小赵独自去一个景点”，
4 33 33 4 3! 3 P(AB) 2
则 P(B)= = ，P(AB)= = ，所以 P(A|B)= = ，正确；
44 43 44 32 P(B) 9
④E(2X+3)=2E(X)+3; D(2X+3)=4D(X)，故不正确．故选 C.
9. 【答案】BD
【解析】对于 A，根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．A 错误；
对于 B，正态分布 N(1,9)的曲线关于 x=1 对称，区间(-1,0)和(2,3)与对称轴距离相等，所以在两个区
间上的概率相等，B 正确；
对于 C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于 1，C 错误；
对于 D，组数据 1、a、2、3 的平均数是 2，∴a=2，所以该组数据的众数和中位数均为 2，D 正确.
故选 BD
10. 【答案】CD
1
【解答】解：∵ (x + )n 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等，
x
C2∴ n =C
7
n ；所以 n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：CD．
高二数学试卷答案 第2页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
11. 【答案】BC
k+1 20 k 1
k+1 1 2 C
P (X = k +1) 20
3 3
【解析】令 =
20 k
= 1，得
k 20 k k<6，
P (X = k ) k 1 2 2k + 2C20
3 3
即当 k<6 时，P(X=k+1)>P(X=k);
当 k=6 时，P(X=7)=P(X=6);
当 k>6 时，P(X=k+1)所以 P(X=6)和 P(X=7)的值最大.
故选：BC.
12．【答案】BC
【解析】对于 A，函数 y=f(x)在区间 1
3,
内有增有减，故 A 不正确；
2
对于 B，当 x=-2 时，函数 y=f(x)取得极小值，故 B 正确；
对于 C，当 x∈(-2,2)时，恒有 fˊ(x)>0，则函数 y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增，故 C 正确；
对于 D，当 x=3 时，fˊ(x)≠0，故 D 不正确.
故选：BC
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
19
13. 5 14. 6 15. 有 16.
218
13.【答案】5
【解析】向量 a = (1,-1)，b = (m+1，2m-4)，
∵ a ⊥ b，∴ a b = m+1-(2m﹣4)＝-m+5＝0，则 m＝5，故答案为：5
14. 【答案】6
由C0 4C1 + 42C2 43 3【解析】 n n n Cn + + ( 1)
n 4nCnn = 729得
0 n 0 1 n 1 1 2C 1 ( 4) +C 1 ( 4) +C2 1n 2 ( 4) +C3 1n 3
3 n
n n n n ( 4) + +C
n 10n ( 4) = 729
n n 6
则 (1 4) = 729，即 ( 3) = 729 = ( 3) ，解得n = 6 .
15.【答案】有
【解析】依题意，可得出如下 2×2 列联表：
国内代表 国外代表 合计
不乐观 40 60 100
乐观 60 40 100
合计 100 100 200
2 200 (40
2 602 )2
K = =8>7.879，
1004
所以有 99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 故答案为:有.
19
16. 【答案】
218
高二数学试卷答案 第3页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
【解析】∵P (A | C ) = 0.95，∴P (A | C ) =1 P (A | C ) = 0.05 ，
∵ P(C) = 0.005，∴P(C) = 0.995，
∴由全概率公式可得P (A) = P (A | C ) P (C )+ P (A | C ) P (C )，
∵P(AC) = P (C | A) P (A) = P(A | C)P(C)
P (A | C )P(C) 0.95 0.005 19
∴P (C | A) = = = .
P (A | C )P(C)+ P (A | C )P(C) 0.95 0.005+ 0.05 0.995 218
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】(1)设数列{an}的公差为 d，则 an =2+(n-1)d，b n-1n = b1·2 ，
则 S1= a1× b1 = 2×b1 =1×22=4．解得 b1 =2，
∴bn = 2n；
而 S2= 2×23=16，即 a1 b1 + a2 b2 =4+(2+d) ×4=16，解得 d=1，
∴an =2+(n-1)=n+1.
∴数列{an}的通项公式为 an =n+1(n∈N*)，数列{b n *n}的通项公式为 bn = 2 (n∈N )． ----------------- 5 分
a n +1 2 3 4 n+1
(2)选条件①：∵c = n = ，则T = + + +…+ ， n
b 2n
n
2 22 23 2n
n
1 2 3 4 n+1
故 Tn = + + +…+ ，两式相减得
2 22 23 24 2n+1
1 1
1 2 1 1 1 1 n+1 (1 )n 1 n +1 3 n + 3
Tn = + + + +…+ - =1+
4 2 = ，
2 2 22 23 24 2n 2n+1 1 2n+1 2 2n+1
1
2
n +3
∴T = 3 ． -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 n
2n
1 1 1 1
选条件②：∵cn = = = ，
an log2 bn n (n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
∴Tn =1 + + + + =1 = ，
2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1
n
∴T = ． -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 n
n+1
n
选条件③：cn = an +bn = n+1+ 2 ，
1 2 n (2+ n+1) n 2 (1 2
n ) n2 3
∴Tn = 2+3+ 4+ + (n+1) + 2 + 2 + 2 = + = + n + 2
n+1 2 ，
2 1 2 2 2
n2 3
∴T = + n + 2n+1 2 ． -------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 n
2 2
高二数学试卷答案 第4页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
B
18．【解析】(1)由题设及 A＋B＋C＝π 得 sin B＝8sin2 ，
2
故 sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得 17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得 cos B＝1(舍去)，cos B＝15 . -------------------------------------------------------------------------- 6 分
17
(2)由 cos B＝15 得 sin B＝ 8 ，
17 17
故 S△ABC＝
1 acsin B＝ 4 ac.
2 17
又 S△ABC＝2，则 ac＝
17 .
2
由余弦定理及 a＋c＝6 得
b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×17 × 15(1+ )＝4.
2 17
所以 b＝2. ------------------------------------------------------------- 12 分
19.【解析】
(1) 证法一：由题知 PB=BD，MD⊥BM，
∴M 为 PD 的中点，
又∵ PA=AD，∴MD⊥AM，
∵BM∩AM=M，∴MD⊥平面 ABM，
∵MD 平面 PCD，
∴平面 ABM⊥平面 PCD． ---------------------------------------------------------------------------------------- 6 分
证法二：建立空间直角坐标系如图，则 A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2) ．
∴ AB= (2，0，0)， AM = (0，2，2)，
z
设平面 ABM 的法向量为 n P1 = (x1，y1，z1 )，则
N M
n1 AB= (x1，y1，z1 ) (2，0，0)=2x1=0， x1 =0，
即
n1 AM = (x1，y1，z1 ) (0，2，2)=2y1 + 2z = 0. y1 = z1 1.
A D
y
取 z =1，则1 x1=0，y ， 1 = -1
O
B
C
∴平面 ABM 的一个法向量 n1 = (0，-1，1)，
x
同理可得平面 PCD 的一个法向量 n2 = (0，1，1)．
∵ n1 n2 = 0-1+1=0，即 n1 ⊥ n2 ，
∴平面 ABM⊥平面 PCD． ---------------------------------------------------------------------------------------- 6 分
2x + 4y = 0
(2)设平面 ACM 的一个法向量m = (x, y, z)，由m ⊥ AC,m ⊥ AM , 可得： ，
2y + 2z = 0
令 z=1，则m = (2, 1,1)，
CD m 6 6
设所求角为 α，则 sin = = ，故所求角的正弦值为 . -----------------------12 分
CD m 3 3
高二数学试卷答案 第5页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
2+ 4+5+ 6+8 3+ 4 + 4 + 4 + 5
20. 【解析】（1）由已知数据可得 x = = 5， y = = 4，
5 5
5
所以 (xi x)( yi y) = ( 3) ( 1)+ ( 1) 0+ 0 0+1 0+ 3 1= 6，
i=1
5 2 2 2
(x x) = ( 3) + ( 1) + 02 +12 + 32 ， i = 2 5
i=1
5 2
( 2 y 2i y) = ( 1) + 0 + 02 + 02 +12 = 2 ，
i=1
5
(xi x)( yi y)
i=1 6 9
所以相关系数 r = = = 0.95．
5 2 5 2 2 5 2 10
(xi x) ( yi y)
i=1 i=1
因为 r>0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ------------------------------------------------ 6 分
5
(xi x)( yi y)
（ i=1
6
2）b = = = 0.35 ， 2
( 20 xi x)
i=1
a = 4 5 0.3 = 2.5，
所以回归方程为 y = 0.3x+ 2.5．
当 x=12 时， y = 0.3 12+ 2.5 = 6.1，
即当液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 610 千克． ------------------ 12 分
21.【解析】(1)设直线 l: y=kx+b(k≠0,b≠0)，Ａ(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，．
y = kx +b
2 2
∴由 得 (k +9)x + 2kbx +b
2 m2 = 0 ，
9x2 + y
2 = m2
x1 + x2 kb 9b∴ xM = = ， y = kx2 M M +b = ． k 22 k +9 +9
yM 9
∴直线 OM 的斜率 kOM = = ，即 kOM k = 9． xM k
即直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值-9． ------------------------------------------------------ 6 分
(2)四边形 OAPB 能为平行四边形．
m
∵直线 l 过点 ( ,m) ，
3
∴直线 l 不过原点且与椭圆 C 有两个交点的充要条件是 k>0，k≠3，
9
由(1)得直线 OM 的方程为 y = x．
k
设点 P 的横坐标为 xP ．
高二数学试卷答案 第6页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
9
y = x,
由 k 2 k
2m2 km
2 得x = ,即x =
9x + y
2 = m2 , p 2 p9k +81 3 k 2 +9
m m(3 k) mk(k 3)
将点 ( ,m) 的坐标代入直线 l 的方程得b = ，因此 xM = 2 ．
3 3 3(k + 9)
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP = 2xM
km mk(k 3)
∴ = 2 2 ．解得 k = 4 7 ， k = 4+ 7 ．
3 k 2 +9 3(k + 9)
1 2
∵ki >0，ki≠3，i=1,2，
∴当直线 l 的斜率为4 7 或 4+ 7 时，四边形 OAPB 为平行四边形． ----------------------------- 12 分
22．【解析】(1)令 f(x)=lnx-x-m=0,∴m= lnx-x；
1 1 x
令 g(x)= lnx-x，∴gˊ(x)= 1= ，
x x
令 gˊ(x)>0，解得 01，
则函数 g(x)在(0,1)上单点递增，在(1,+∞)上单点递减，
∴g(x)max= g(1)=-1．
要使函数 f(x)有两个零点，则函数 g(x)的图像与 y=m 有两个不同的交点．
则 m<-1，即实数 m 的取值范围为(-∞,-1)． ---------------------------------------------------------------- 6 分
(2)∵ f(x)+(x-2)ex<0，∴m>(x-2)ex+ lnx-x；
1 x 1设 h(x)= (x-2)ex+ lnx-x,x∈ ,1 ，hˊ(x)=(x-1) (e )； 2 x
x 1 1 1设 u(x)= e ， xuˊ(x)= e + >0，则 u(x)在
2 ,1
上单调递增.
x x 2
1
又 u( ) = e 2 0，u(1)=e-1>0，
2
1 x 1
∴ x0∈ ,1 ，使得 u(x0)=0，即e
0 = ，∴lnx0=-x0
2 x0
1
当 x∈ , x0 时，u(x)<0，hˊ(x)>0；当 x∈(x0,1]时，u(x)>0，hˊ(x)<0；
2
1
∴ h(x)在 , x0 上单调递增，在(x0,1]上单调递减.
2
1 2
h(x)max= h(x0)= (x
x0
0-2) e + lnx0-x0= (x0-2) -2x0=1- -2x0.
x0 x0
2 2 2 2x2
设 φ(x)= 1- -2x，∴φˊ(x)= 2 = .
x2 2x x
高二数学试卷答案 第7页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}
1 1
当 x∈ ，1 时， φˊ(x)>0 恒成立，则 φ(x)在 ，1 上单调递增，
2 2
1
∴φ(x)< φ(1)=-3，即当 x∈ ，1 时，h(x)<-3.
2
1
∴当 m≥-3 时，关于 的不等式 x f(x)+(x-2)ex<0 在 ,1 上恒成立． ---------------------------------- 12 分 2
高二数学试卷答案 第8页 共8页
{#{QQABAYyAggAAAgAAAQBCAwGiCkAQkgGCCAgGAEAcsEAASQFABCA=}#}