河北省唐山市名校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

唐山市名校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．命题p，q都是真命题
B．命题p是真命题，q是假命题
C．命题p是假命题，q是真命题
D．命题p，q都是假命题
4．设函数，若，则
A． B． C． D．
5．3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
6．有2个同样的箱子，甲箱中有大小相同的2只红球，6只白球，乙箱中有大小相同的2只红球，1只白球，从甲、乙中随机取一箱，再从该箱中随机取两球，则这两球都为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则三个数的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，给出以下结论：
①是等差数列； ②是等比数列；
③是等差数列； ④是等比数列．
则其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1
B．若事件的概率满足且，则相互独立
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则
10．现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种
B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种
C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种
11．设，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，除以20的余数是
12．定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．
三、填空题
13．已知命题：“”，则的否定是______.
14．已知曲线C：，过点（1，0）向曲线C做切线，则切点的横坐标集合是________.
15．一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．则摸球次数的数学期望为_____．
四、双空题
16．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格 8.5 9 11 11.5
销售量 12 6 7 5
已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.
五、解答题
17．某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据:
2 4 5 6 8
28 36 52 56 78
（1）求关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？
参考数据： ，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
18．已知函数，.
(1)若关于x的不等式对一切实数x都成立，求b的取值范围；
(2)当时，函数的最小值为1，求值.
19．数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．如今我们的互联网生活日益丰富，网购开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某校学生管理机构为了了解学生网购消费情况，从全校学生中抽取了100人进行分析，得到如下表格（单位：人）
经常网购 偶尔或从不网购 合计
男生 10 10 20
女生 60 20 80
合计 70 30 100
参考公式：，其中参考数据如下：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关？
（2）现从所调查的女生中利用分层抽样的方法抽取了5人，其中经常网购的女生分别是：，偶尔或从不网购的女生分别是，从这5人中随机选出2人，求选出的2人中至少有1人经常网购的概率
21．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①队伍A和D在决赛中过招的概率；
②D共输了两场比赛且成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
22．已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)证明：在上单调递减；
(3)求证：当时，方程有且仅有2个实数根.
答案
1．B
2．D
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．B
9．BCD
10．BCD
11．BC
12．BCD
13．
14．
15．
16．10
17.（1），
，

因此所求回归直线方程为
（法二：利用前半个公式求解相应给分）
(2)当时，
答：当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为.
【说明：没有答题和估计的扣两分】
18.（1）因为恒成立，
所以，
当且仅当时，取最小值为，
所以，
即：，解得.
故b的取值范围为.
（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，
①若，则在上单调递增，∴，解得；
②若，则在上单调递减，∴，解得（舍）；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
∴，
解得或（舍）；
综上，或.
19．（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
20.解：（1）因为，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关，
（2）从5人中随机选出2人的所有情况有：，共10种，其中至少有1人经常网购的有，9种，
所以所求概率为
21．（1）解：假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，
①由题意，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以A和D在决赛中过招的概率为；
②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，
则事件：队伍D获得亚军，事件：队伍D所参加所有比赛中失败了两场，
事件：包括，，，，五种情况.
其中这五种情况彼此互斥，可得:
，
其中积事件包括，两种情况.
可得，
所以所求概率为.
（2）解：由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，
要使得D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A1胜，3胜，D1负4胜5胜，或A1负4胜5胜，D1胜，3胜，
可得概率为；
②若B与D决赛相遇，D1胜，3胜，B2胜3负5胜，或D1胜，3负，5胜，B2胜3胜，可得概率为，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
可得概率为；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
22.（1）令，
的定义域为，，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，，
即当时，.
（2），
，
当时，，则在上单调递减.
（3）设，
，由（2）知在上单调递减，
∵，，
根据零点存在性定理可得；
存在唯一实数使得，
当时，，即则在上单调递增，
当时，，即则在上单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，
∵，，，
∴在和上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有2个实数根