2014年高中数学 等差数列的性质课后巩固练习 北师大版必修5

2014年高中数学等差数列的性质课后巩固练习 北师大版必修5
(30分钟　50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2011·广州高二检测）在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于( )
（A）40 （B）42 （C）43 （D）45
2．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，b2-a2＝60，那么数列{bn-an}的第6项为( )
（A）0 （B）37 （C）100 （D）-37
3.下列命题中正确的是( )
（A）若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列
（B）若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列
（C）若a,b,c成等差数列，则a+2,b+2,c+2成等差数列
（D）若a,b,c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
4．（2011·青岛高二检测）已知数列{an}对任意的p,q∈N+满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( )
(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知logab,-1,logba成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=_________.
6．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2-6x-1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11等于__________．
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（2011·石狮高二检测）已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是,说明是第几项；若不是，说明理由.（你能用几种方法解决？）
8．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 ℃测量一次，把依次量得的数据所形成的数列{ln}表示成图像，如图，根据图像解答下列问题：
(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？
(2)求{ln}的通项公式和金属长度l(单位：m)关于温度t(单位：℃)的函数关系式(设长度ln是关于测量序号n的一次函数)；
(3)在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？
【挑战能力】
（10分）已知函数f（x）=（a、b为常数，a≠0）满足f（2）=1,且f（x）=x有唯一解.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若记xn=f（xn-1），且x1=1,求xn.
答案解析
1.【解析】选B.方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13，
又∵a1=2,∴d=3,a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=3×2+12×3=42.
方法二：a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5,d=3,a5=a1+4d=14,
∴a4+a5+a6=3a5=3×14=42.
2．【解析】选C.∵{an}、{bn}是等差数列，
∴{bn-an}也是等差数列，又∵b1-a1＝50，b2-a2＝60，∴数列{bn-an}的公差为10,首项为50.
∴{bn-an}的第6项为100，故选C.
独具【方法技巧】判断等差数列的常用结论
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
(3)若{kn}成等差数列,则{}也是等差数列；
（4）若数列{bn}是公差为d′的等差数列，则{man+kbn}是公差为md+kd′的等差数列，其中m,k均为常数.
3.【解析】选C.a,b,c成等差数列?b=,
∴b+2=+2==，
即a+2,b+2,c+2成等差数列.
4．【解析】选C.由题意可知a4=a2+a2=-12,
∴a8=a4+a4=-24,∴a10=a8+a2=-30.故选C.
5.【解析】由已知,得logab+logba=-2,
即=-2,从而有(lga+lgb)2=0,
∴lga=-lgb=lg,故ab=1.
∴由根与系数的关系得d=ab=1.
答案：1
6．【解析】∵a3、a15是方程x2-6x-1＝0的两根，
∴a3＋a15＝6.
∵{an}是等差数列，
∴a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15＝6.
∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝5a9＝5×3＝15.
答案：15
独具【误区警示】本题中已知条件提供了a3+a15=6和a3·a15＝-1两个信息，需要结合未知a7+a8+a9+a10+a11所需进行取舍使用，避免出错.
7. 独具【解题提示】这是一个探索性问题，但由于在条件中已知两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.
【解析】方法一：由通项公式，
知得：
由217＝-23＋4(n-1)，得n＝61.
方法二：由等差数列性质，得a45-a15＝30d＝153-33＝120，即d＝4
又an＝a15＋(n-15)d，217＝33＋4(n-15)，解得n＝61.
方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图像是一些共线的点
由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.
故有，解得n＝61.
8．【解析】(1)由图得l5＝2.005，此时金属棒的温度是
t＝100＋(5-1)×50＝300(℃)．
即第5次量得金属棒的长度是2.005 m，此时金属棒的温度是300 ℃.
(2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001，l2＝2.002，
得解得d＝0.001，b＝2.
所以通项公式是ln＝0.001n＋2.
由题意可得：t＝50(n-1)＋100＝50n＋50，
∴n＝，代入通项公式，得l＝0.000 02t＋1.999.
由上式可知，l也是t的一次函数，不过t不限于取正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数．
(3)由(2)知当t＝30 ℃时，金属棒长度为：
l＝0.000 02×30＋1.999＝1.999 6（m）.
当t＝500 ℃时，金属棒长度为：
l＝0.000 02×500＋1.999＝2.009（m）.
在30 ℃温度条件下铺设两块这种金属板时，
它们之间空隙至少为2×（2.009-1.999 6）＝2×0.009 4=0.018 8（m）.
【挑战能力】
独具【解题提示】本题考查等差数列的概念、求通项公式的方法等.（1）可由 f（2）=1和f（x）=x有唯一解（利用Δ=0）求出a、b，从而确定f（x）的表达式.（2）根据f（xn-1）=xn,整理出{}是等差数列后问题易解.
【解析】（1）f（2）=1?=1,即2a+b=2. ①
f（x）=x?=x,即ax2+bx-x=0有唯一解，
则Δ=(b-1)2=0,∴b=1. ②
②代入①，得a=,故f（x）==.
（2）当x1=1时，x2=f（x1）==.当n≥2时，xn=f（xn-1）=,由已知有xn＞0,则＝=,即-=,又∵-=-1=,故{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+(n-1)=,故xn=.
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排