2014年高中数学 等差数列课后巩固练习 北师大版必修5

2014年高中数学等差数列课后巩固练习 北师大版必修5
(30分钟　50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1．（2011·烟台高二检测）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是
( )
（A）公差为d的等差数列
（B）公差为2d的等差数列
（C）非等差数列
（D）以上说法均不正确
2．2 005是等差数列7,13,19,25,31，…中的第n项，则n等于( )
（A）332 （B）333 （C）334 （D）335
3．（2011·福州高二检测）等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成新的等差数列，那么新的等差数列的公差是( )
（A） （B）- （C）- （D）-1
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )
（A）a1a8>a4a5
（B）a1a8（C）a1＋a8>a4＋a5
（D）a1a8＝a4a5
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2010·苏北四市联考）已知数列{an}为等差数列，且a9-2a5=-1,a3=0,则公差d=__________.
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1-an＝an＋1·an，那么a31等于_________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？
8．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，问去哪一家商场购买花费较少．
【挑战能力】
（10分）已知数列{an}是等差数列，公差d≠0,an≠0（n∈N+）,
akx2+2ak+1x+ak+2=0（k∈N+）.
（1）求证：当k取不同正整数时，方程都有公共根；
（2）若方程不同的根依次为x1,x2,x3,…,xn,…，
求证：，…是等差数列.
答案解析
1．【解析】选B.∵2an＋1-2an＝2(an＋1-an)＝2d (n∈N+)．∴数列{2an}是公差为2d的等差数列．故选B.
2．【解析】选C.首项为7，公差为6，由2 005＝7＋(n-1)×6，得n＝334.故选C.
3．独具【解题提示】解决本题的关键是明确a1与a5之间插入后有多少项，然后利用等差数列通项公式求解公差.
【解析】选B.设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d所以d＝.故选B.
4．【解析】选B.设等差数列的公差为d，则a1a8-a4a5＝a1(a1＋7d)-(a1＋3d)(a1＋4d)＝-12d2<0，所以a1a85.【解析】a9-a5=4d,a5=a3+2d,
∴a9-2a5=(a9-a5)-(a3+2d)=-1
∴4d-2d=-1即d=-.
答案：-
6．独具【解题提示】解决本题的关键是正确地对an+1-an=an+1·an进行变形，构造等差数列进行求解.
【解析】由已知可得＝-1，设bn＝，则数列{bn}是以为首项，公差为-1的等差数列,所以b31＝＋(31-1)·(-1)＝-，所以a31＝-.
答案：-
7．【解析】(1)∵a1＝3，d＝-5，
∴an＝3＋(n-1)(-5)＝8-5n.
∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，
∴{bn}的首项b1＝a3＝-7，b2＝a7＝-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n-1)＝4n-1，
∴bn＝am＝a4n-1＝8-5(4n-1)＝13-20n(n∈N+)．
∵bn-bn-1＝-20(n∈N+，n≥2)，
∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13-20n(n∈N+)．
(3)∵b110＝13-20×110＝-2 187，设它是{an}中的第m项，则-2 187＝8-5m，则m＝439.
8．【解析】设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}．
an＝780＋(n-1)(-20)＝-20n＋800.
由an＝-20n＋800≥440，得n≤18，
即购买电视机台数不超过18台时，每台售价为800-20n元；购买电视机台数不少于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600元．
比较在甲、乙两家商场的费用
(800-20n)n-600n＝20n(10-n)，
①当n<10时，(800-20n)n>600n；
②当n＝10时，(800-20n)n＝600n；
③当10④当n>18时，440n<600n.
答：当购买电视机台数少于10台时，到乙商场花费较少；当购买电视机10台时，到两商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．
独具【方法技巧】应用数列方法解实际问题技巧
在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决.若这组数依次沿直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.
【挑战能力】
独具【解题提示】（1）在已知一元二次方程中，其系数中的ak,ak+1,ak+2为等差数列的相邻三项，则可以考虑用等差中项的性质将其中一个系数用另外两个系数表示，这样可考虑将方程左端分解因式，看是否有与k无关的因式；（2）只要证明（n≥2,n∈N+）为一个常数即可.
【证明】（1）∵｛an｝是等差数列，d≠0,an≠0(n∈N+),
∴2ak+1=ak+ak+2.
代入已知方程，得akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0.
即（x+1）(akx+ak+2)=0.方程有解x=-1,
故当k取不同正整数时，方程总有公共根-1.
(2)当k取正整数时，xk=-,
∴xk+1=-+1=-=.
故=-,
则-=(-)-(- )
=-=-=-.
∴数列{}是公差为-的等差数列.
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排