2022-2023学年第二学期闽江口协作体
高二数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是( )
A. B. C. D.
4. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
5. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知平面的一个法向量为，，则直线与平面的位置关系为( )
A. B. C. D. 相交但不垂直
7. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
8. 若函数在上单调，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，其共轭复数为，则( )
A. 的实部与虚部之和为 B.
C. 是纯虚数 D.
10. 在下列四个图所表示的正方体中，能够得到的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是 ）
A. B. 的图像关于点对称 C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则 ．
14. 已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则 ．
15. 需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米
16. 已知，若，则实数的值可以为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
当为何值时，与共线？
若，且，，三点共线，求的值．
18. 本小题分
在，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ．
求
若，则的面积为，求，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
证明：平面； 求二面角的余弦值．
20. 本小题分
为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
求的值及这名党员成绩的众数；
若要选取成绩前的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？．
21. 本小题分
已知向量，，且函数．
求的周期
若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域．
22. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数，恰有个零点，求实数的取值范围．2022-2023学年第二学期闽江口协作体
高二数学期末试卷答案解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题．
根据并集和补集的定义运算即可得解．
【解答】
解：，，
，
则．
故选D．
2. 已知，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，是基础题．
“”“”，“”“或”，由此能求出结果．
解：，则“”“”，
“”“或”，
“”是“”的必要非充分条件．
故选B．
3. 甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了相互独立的事件发生的概率，包含事件的互斥性的应用，属于基础题．
记甲乙两人通过考试分别为事件、，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．
【解答】
解：记甲乙两人通过考试分别为事件、，
则有，，
所求的事件可表示为，
．
故选B．
4. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用对数函数和指数函数单调性比较大小，考查运算求解能力，是基础题．
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小．
【解答】
解：，，，
．
故选：．
5. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值点是解题的关键，属于基础题．
利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【解答】
解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是．
故选D．
6. 已知平面的一个法向量为，，则直线与平面的位置关系为( )
A. B. C. D. 相交但不垂直
【答案】C
【解析】解：，
，
又，
．
故选：．
根据向量的坐标即可得出，根据平面的法向量与平面垂直即可得出．
本题考查了平面法向量的定义，向量坐标的数乘运算，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
7. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数零点的存在性定理，属于基础题．
由函数单调递增，且，得函数零点所在区间．
【解答】
解： 因为与都是单调递增函数，
所以函数单调递增，
因为，，
所以，
所以由零点存在定理可得有且仅有一个零点，
故选B．
8. 若函数在上单调，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了符合函数的单调性，二次函数及对数函数的性质，属于基础题．
由对数函数的定义域可得，再根据符合函数的单调性可知或，从而解出的范围．
【解答】
解：由题意可得，，解得，
令，
函数在上单调递增，在上单调递减，
由外层函数是其定义域内单调递增函数，
所以要使函数在上单调，
则或，
解得或
故选．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，其共轭复数为，则( )
A. 的实部与虚部之和为 B.
C. 是纯虚数 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，属于基础题．
求得，则，逐项判断即可．
【解答】
解：由题意可得，则，，从而，故A，B正确，，D错误．
10. 在下列四个图所表示的正方体中，能够得到的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了空间几何体中，线线关系的判断，考查学生的空间想象能力．
利用正方体的结构特征以及线面垂直的判定定理和性质定理对四个正方体中的，分别分析解答．
【解答】
解：对于，如图，作出过的等边三角形截面如图，
将平移至内侧面，可得与所成角等于，故A错误；
在中，通过平移到右边的平面，可知，故B正确；
对于，如图，连接，，，，，平面，
平面，
又平面，，故C正确；
对于，通过平移到下底面，可得与所成角的正切值为，故D错误．
所以能够得到的是选项A和．
故选BC．
11. 已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是
A.
B. 的图像关于点对称
C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与性质，属于中档题．
根据图象求出的解析式，然后对各个选项进行判断．
【解答】解：由图像得，，
，则．
又，且，
，
，
的图像关于点对称， 正确
由，得，
在上为增函数，C正确
是偶函数，不正确．
故选ABC．
12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了赋值法，属于基础题．
利用赋值法逐项分析即可．
【解答】
解：对，取特殊值代入已知表达式即可求解
令，则，故A正确
令，则，则，故B正确
令，则，所以，
又令，，则，
所以是奇函数，故C错误
令，，则，
所以，故D正确
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，空间向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
根据向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相等向量和相反向量的定义即可得出，然后根据空间向量基本定理即可得出，，的值，然后即可求出的值．
【解答】
解：
，
又，
，
．
故答案为：．
14. 已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力，是基础题．
利用向量的数量积，转化求解向量的夹角是余弦值即可．
【解答】
解：为单位向量，且，，
，
的夹角为，则．
故答案为：．
15. 需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
利用正弦定理求得，进而求得。
【解答】
解：因为在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高
16. 已知，若，则实数的值可以为 ．
【答案】
【解析】解：，若，
令，
当时，，可得舍，
当时，，可得，即，可得或
解得；
实数的值可以为
令，分以及分别求，进而求解结论．
本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
当为何值时，与共线？
若，且，，三点共线，求的值．
【答案】解：，
．
因为与共线，
所以，
即，得．
因为，，三点共线，
所以存在实数使得，
即，
所以解得．
【解析】本题考查平面向量共线的充要条件，属于基础题．
求出，的坐标，利用共线的条件，即可求出结果；
利用存在实数使得，即可求出结果；
18. 本小题分
在，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ．
求
若，则的面积为，求，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：若选
A.
由正弦定理得，，
，
，即，
，，
若选
，
由余弦定理得，，
，，
若选
．
，
，，
，
，
，
，
，
由余弦定理：，
即，即，
由，，解得．
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查三角形面积公式，属于基础题．
若选，结合正弦定理得出；若选，由余弦定理得出若选，由两角和与差的正弦公式得出；
由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求解．
19. 本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
【答案】解法一：连接，设与交于点，连接．
底面是正方形，为的中点，又为的中点，
，
平面，平面，
平面．
解法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，．
，
设是平面的一个法向量，
则由，得，．
，，
又平面，平面．
由知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
．
【解析】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用，属于中档题．
法一：连接，设与交于点，连接由底面是正方形，知由此能够证明平面．
法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，求平面的一个法向量，由向量法能够证明平面．
由知是平面的一个法向量，又是平面的一个法向量，由向量法能够求出二面角的余弦值．
20. 本小题分
为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
求的值及这名党员成绩的众数；
若要选取成绩前的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？．
【答案】解：根据频率分布直方图得：
，解得．
由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为．
前个小组的频率之和是，
所以第百分位数在第六小组内，设其为，
则，解得，
则可以估计此样本数据的第百分位数为．
【解析】本题考查频率分布直方图，用样本估计众数、百分位数，属于基础题．
根据频率分布直方图中众数即可求解；
先确定第百分位数在第六小组内，设其为，可得，解得，求解即可．
21. 本小题分
已知向量，，且函数．
求的周期
若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域．
【答案】解：因为向量，，
所以．
因为，
所以周期．
因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，
所以．
当时，，
所以．
【解析】本题考查了函数的图象与性质，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，平面向量的坐标运算和辅助角公式，属于中档题．
利用平面向量的坐标运算和辅助角公式得，再利用周期公式得结论；
利用函数图象的平移变换得，再利用函数的值域，计算得结论．
22. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数，恰有个零点，求实数的取值范围．
【答案】解：Ⅰ，，．
故在点处的切线方程为：；
Ⅱ，，
由，解得：，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
又，
结合题意得：，
解得：．
【解析】本题考查了利用导数求切线方程，利用导数研究函数的零点，是一道综合题．
Ⅰ求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
Ⅱ求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点值，结合函数的零点个数列出关于的不等式组，解出即可．
