湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）

湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期7月期末联考
数学试卷
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a等于（ ）
A. B. C.1 D.2
3.下列命题中，错误的是（ ）
A.若随机变量，则
B.若随机变量，且，则
C.在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D.在回归分析中，若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
4.“拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为20厘米，据此估计小明的身高为（ ）
A.187厘米 B.183厘米 C.179厘米 D.175厘米
5.郑两枚质地均匀的骰子，设“第一枚向上的点数为奇数”，“第二枚向上的点数为3的倍数”，“向上的点数之和为8”，则（ ）
A.与互斥 B.与对立 C.与相互独立 D.与相互独立
6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为（ ）
A.54 B.48 C.42 D.36
7.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A.第8项的系数为36 B.常数项为
C.各二项式系数之和为512 D.各项系数之和为0
10.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）
A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C.若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D.若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
11.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（ ）
A. B.
C. D.
12.在三棱锥中，，，设三棱锥的体积为，直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则的最大值为
B.若，则的最大值为30°
C.若直线，与平面所成的角分别为30°，60°，则不可能为90°
D.若直线，与平面所成的角分别为30°，60°，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______.
14.6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有______种.
15.已知双曲线.则其渐近线方程为______；设，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点.若的斜率为1，则______.
16.若时，不等式恒成立，则整数的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在等比数列中，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在区间上有极值点，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图1，在等腰梯形中，，，.将沿折起，使得，如图2.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的.若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05.
（Ⅰ）求被调查的学生中男生人数的所有可能结果；
（Ⅱ）当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为，求X的分布列和均值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.（本小题满分12分）
已知抛物线，点在抛物线C上，且点P到抛物线C的焦点的距离为.
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）设圆，点Q是圆M上的动点.过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点，求的面积S的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数和有相同的最小值.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C C A B
8.解：由知，由知，由知，
则，.下面比较b和c的大小：
法1：设，，，
设，，，
易知在上单调递增，则，所以在上
单调递减，，即在上恒成立，则在上单调递减，由，则，即，则，故选B.
法2：设，，，
在同一直角坐标系下作出函数和的简图，如图所示.
时，，即在上恒成立，后同法1.
法3：泰勒展开式
，，由知，故选B.
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 BCD AC AB BCD
12.解：在平面中，若，点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，其中，，那么在空间中，点P的轨迹为椭球面（点P不在平面上）.
，A错误.当过点的直线与圆相切时，取最大值，
此时，且为锐角，所以的最大值为30°，B正确.
若，则平面，因，则直线，与平面所成的角相等，不合题意，C正确.对于选项D，作平面，O为垂足，则，，设，则，，由知，即，则，D正确，答案为BCD.
三、填空题
13.（备注：0.052也可以） 14.60
15.（2分） （3分） 16.2
16.法1：不等式可化为，由，知，则时，恒成立.
设，，，设，，
，则在上单调递增，，，则在上存在唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且，化简得，因，则，则整数a的最大值为2.
法2：设，，，直接考虑的情形，
由得，则在上单调递减，在上单调递增，
则，令，，，
则在上单调递减，，，则整数a的最大值为2.
法3：特殊值法，取，2，3，过程略.
四、解答题
17.解：（Ⅰ）设数列的公比为q，则， 2分
即，则，. 4分
所以数列的通项公式为. 5分
或：设数列的公比为，则， 2分
解得， ……4分
所以数列的通项公式为. ……5分
（Ⅱ） ……6分
则 8分
所以. 10分
18.解：（Ⅰ），由得或. 3分
则在，上单调递增，在上单调递减. ……5分
（Ⅱ）依题知，在上有变号零点 ……7分
由，得，令 8分
在上单调递增，在上单调递减 9分
且，，
则. 12分
或：依题知，在上有变号零点. 7分
借助函数图像可知，解得. 7分
19.解：（Ⅰ）在图1中，，由知
，即. 2分
在图2中，由，，，知平面
由平面，得平面平面. 4分
或：在中，，，由余弦定理得，
在中，由正弦定理知，，且为锐角，
则，，即. 2分
下同法1（略）
（Ⅱ）以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建系
则，，，设
，，则
设平面的法向量为，
则有，即，
则，令，，所以. 8分
同理可得平面的一个法向量为. 10分
解得或（舍），则存在这样的点，且. 12分
20.解：（Ⅰ）整理得到如下列联表： 1分
性别 篮球运动 合计
热爱 不热爱
男生
女生
合计
则 3分
由解得，则，9，10，11，12. 5分
故男生人数可能为32、36、40、44、48. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人. 7分
参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人. 8分
由题意知X服从超几何分布. 9分
概率分布为，，1，2，3，4. 11分
均值. 12分
（Ⅱ）中概率分布的另外形式：X可取0，1，2，3，4
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
21.解：（Ⅰ）由题知准线方程为，则，得. 3分
（Ⅱ）抛物线的方程为，点P的坐标为，依题知过点P的直线斜率必存在
设过点P的直线方程为，圆心到该直线的距离为 5分
由直线与圆相切，所以，解得. 6分
联立，消y得，设，
不妨设， 8分
故，，得，
所以直线AB：，即. ……10分
圆心M到直线的距离为，
所以. ……12分
（Ⅱ）另解：易知，设，，，
则直线AB的方程为，即， ……6分
同理，直线PA的方程为
直线PB的方程为. ……7分
则，即和是方程的两个根， ……9分
则，，所以直线的方程为. ……10分
圆心M到直线AB的距离为
此时
所以. ……12分
22.解：（Ⅰ），令得
，令得. ……2分
当时，在单调递减，在单调递增，所以
在单调递减，在单调递增，所以
由，得. ……4分
当时，在单调递增，在单调递减，无最小值，不合题意.
综上所述，. ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在
单调递增，，则直线与、最多有4个交点.
当时，令，则在上单调递增，当时，，
，则在上有唯一的零点，即存在，使得，
取满足题意，使得直线与、恰有三个交点， ……7分
分别记为，，，不妨设，由得
，即.要证，即证
而，即. ……8分
由得，即，又，，，
而在单调，所以. ……10分
又由得，即，又，，
而在单调，所以.
由，得，原命题得证. ……12分