江西省宜春市高安市重点中学2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

高安市重点中学2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B．
C． D．
3．某新农村社区共包括n个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为28，则n=（　　）
A．6 B．8
C．9 D．10
4．已知直线的方向向量是，直线的方向向量是，若，且，则的值是（ ）
A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0
5．在等比数列中，，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
8．已知正实数，，满足，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．当时，取到最大值
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．抛物线为
B．若，为上的动点，则的最小值为4
C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4
D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值点为
B．的最小值为
C．过原点且与曲线相切的直线有条
D．若，、且，则的最小值为
三、填空题（共20分）
13．在等比数列 中， ， 则首项 _________.
14．已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是_______________.
15．函数的单调递减区间为_____________.
16．已知函数，时，，则实数的范围是__________.
四、解答题（共70分）
17．在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含的项．
18．在四棱柱中，，，，.

(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
(3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由.
19．甲、乙，丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束．
(1)按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数X的数学期望的最大值．
(2)若这种陶器制作成功后需要检测合格才能上市销售，如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元，已知甲已经制成了4件这种陶器，且甲制作的陶器检测合格的概率为，求这4件陶器最终盈亏Y的概率分布和数学期望．
20．已知数列的前n项和是，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：
(3)为数列的前n项和，设，是否存在正整数m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.
(1)求面积的最大值；
(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)函数有两个不同的极值点，证明：.
1．A
集合，，
则.
故选：A.
2．C
圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
3．B
由于“村村通”公路的修建，是组合问题，
故共需要建公路的条数为，解得或（舍去）.
故选：B.
4．A
由题设可得，解得或，
故或，
故选：A.
5．B
设等比数列的公比为，
因为，
所以，则.
故选：B.
6．B
根据等差中项，，
于是，
即，而等差数列每一项均是正数，则解得，
.
故选：B
7．C
由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
8．D
由题可得，，，则，，分别为函数与交点，函数与函数，函数与函数在上交点的横坐标.
构造函数，则，得在上单调递减，在上单调递增，则，即时，函数图象恒在函数图象上方.
构造函数，则.
令，则，得在上单调递增，在上单调递减，
则.
则在上单调递减，又注意到函数增长速度远小于函数增长速度，则函数增长速度远大于函数增长速度，
结合，
可知时，函数图象在图象的下方.
则可在同一坐标系中，作出，，，在上的图象，如图所示，由图象可知.
故选：D.

9．ACD
因为，所以，得到，所以，故选项A正确；
选项B，又，，所以，故选项B错误；
选项C，，故选项C正确；
选项D，因为，，所以当时，取到最大值，故选项D正确.
故选：ACD.
10．ACD
因为，，
所以，，，
.故正确的选项为ACD.
故选：ACD
11．BCD
因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，
从而抛物线的方程是，所以A错误；
设到准线的距离为，由题可知准线为，则，故B正确；
抛物线的焦点为，直线过焦点，由，可得，
设直线与抛物线交点为，
则，
所以直线与抛物线相为所得弦长，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，不妨设点在第一象限，过点向准线作垂线，垂足为，则，连接，
在中，设，则，要求的最小值，
即最小，即最小，所以当直线与抛物线相切时，角最小，
设切线方程为存在，且，由，联立得，
令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．AD
对于A选项，函数的定义域是，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极小值点为，A对；
对于B选项，，故函数的最小值不可能为，B错；
对于C选项，设切点坐标为，则切线斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，则有，即，无解，
即过原点且与曲线相切的直线不存在，C错；
对于D选项，由，得，
即，
又、，且，所以，
又，则，则，
，
令，则，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为，D对．
故选：AD．
13．
设等比数列 的公比为，
则， 则，
则，
所以.
故答案为：.
14．
如图所示，

设，，则，①
因为Q为AP的中点，
所以，②
所以由①②得：，即：，
所以点Q的轨迹方程为：.
故答案为：.
15．
函数的定义域为，求导得，由，即，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
16．
由题可得对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增，
，，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，
，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.
故答案为：
17．(1)7
(2)
（1）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，所以，
解得或.
时，展开式只有3项，不符合题意；
所以.
（2）由（1）知，通项公式为，
令，得，则.
所以展开式中含的项为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
（1）=
==；
（2）设，不为)，
=
则，，共面且有公共点，则四点共面；
（3）假设面面，在四棱柱中，
，面，面，则平面，
又面，面面，则；
反过来，当时，因为，则，
则确定平面
则平面，
又因为平面，
所以平面平面=，
所以是直线是面和面的交线的充要条件；
所以，当时，直线是面和面的交线；
当不平行时，直线不是面和面的交线

19．(1)
(2)分布列见解析；期望为元
（1）X的可能值为1，2，3.
于是，，，
则随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
均值为，
，
设，，所以h(x)在上单调递增，
所以,
所以，所以当时，E(X)的最大值为．
（2）设4件陶器中能上市销售的件数为ξ，则不能上市销售的件数为4-ξ，
ξ的可能值为0，1，2，3，4，且，
，
设这4件陶器最终盈亏Y，则，可能值为-320，-140，40，220，400，
可得，，，
，，
Y 40 220 400
P
(元)．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，或或
（1），，
两式相减，得
又时，是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）得．
，
所以是等比数列，首项和公比都是，
（3）假设存在正整数m，k， 使成立，
，，
，
所以，
，又正整数m，k，
，
或或
或或.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）方法1：如图所示，
由题意知，，，，
设，
则，
点到直线的距离为：，
所以，
所以.
故△MBD面积的最大值为：.
方法2：设与平行的直线，
联立得，
令，
显然当时与椭圆的切点与直线的距离最大，
，
所以.
故△MBD面积的最大值为：.
（2）如图所示，
设直线，
联立得，
则点的坐标为，
设点为，则，
所以，即，
所以，
联立得点的坐标为，
所以，，
所以.
故为定值.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）
（i）当时，，则在为增函数
（ii）当时，令得
当时，当时，
所以在为减函数，在为增函数
综上：当时，在为增函数
当时，在为减函数，在为增函数
（2），
则，
要证，只要证，即证
，所以
所以只要证，只要证
设，则只要证，所以只要证
设（），则，
设，则，
所以为减函数，所以，所以为增函数
所以，所以成立，所以原式得证.