浙江省台州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

台州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
2023.07
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有
A.40种 B.396种 C.22种 D.18种
2.已知函数的导函数为，则
A.0 B.1 C.2 D.3
3.复数（i为虚数单位）的实部为
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
4.第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为
A.24 B.18 C.12 D.9
5.在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
6.数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则
A. B.
C. D.
7.设，，，则
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，，记在上的3个极值点为，且，则
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 在单调递减 D. 在单调递减
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.满足方程的的值可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知，，，，，均大于0，则下列说法正确的是
A.
B.若，则
C.若，则
D.
11.对，设，其中，，则
A. B.
C. D.
12.已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13.若随机变量，则___________.
14.某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值___________.
（参考数据：若，则，）
15.若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为a，b.设事件 “函数为奇函数”， “函数在上恰有一个最大值和一个最小值”，则____________.
16.已知直线AB与抛物线及曲线均相切，切点分别为A，B，若，则____________
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
某学习小组有4个男生和3个女生.从这7人中选3人参加数学竞赛.
（I）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，那么有多少种选法
（Ⅱ）如果3人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法
18.（本小题满分12分）
已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.
（I）求的值；
（Ⅱ）求展开式中含项的系数.
19.（本小题满分12分）
在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意两个作为向量的起点和终点.
（I）当时，求；
（Ⅱ）记事件 “”，求.
20.（本小题满分12分）
台州是中国黄金海岸线上的一个年轻的滨海城市，位于浙江省沿海中部，上海经济区的最南翼，旅游资源非常丰富，历史上有“海上名山”之美称.如图，C为某海岛所在位置，A为游船码头，B为游客中心，AB表示海岸线，且，.为更好的发展海上旅游资源，某旅游公司计划修建海上观光栈道，观光栈道由CD和线段DA，DB组成，其中所在的圆以A为圆心，以1km为半径.游客先从游船码头A乘船到海岛C游玩，返回时可乘船返回A，也可通过栈道，DA返回到A或者经由栈道，DB到B.设.
（I）若，求BD的长度.
（Ⅱ）AC为游船线路，不需要另加投资.已知修建栈道DA，DB的成本为每千米2百万元，修建栈道的成本为每千米百万元.旅游公司的投资预算不超过5百万元，则预算是否足够 说明理由.
21.（本小题满分12分）
袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换.
（I）若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
（Ⅱ）记，求随机变量的分布列及数学期望.
22.（本小题满分12分）
已知函数.（e为自然对数的底数，）
（I）若，求的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若，证明：存在实数使得方程恰有三个不同的根，且.
台州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学答案
2023.07
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1~8ADBC BDBC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.BC 10.BCD 11.ACD 12.ACD
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13.
14.7（答案不唯一，只需填区间[5，8]内的任意一个值均给分）
15.
16.4
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分为10分）
解；（1）解法1：男生甲入选，女生乙不入选有种，
男生甲未入选，女生乙入选有种，
男生甲入选，女生乙入选有种，
共有25种选法.
解法2：7人中选3人共有种，
甲乙两人均未入选有种，
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内共有35-10=25种.
（Ⅱ）男生1人入选，女生2人入选有种，
男生2人入选，女生1人入选有种，
因此3人中既有男生又有女生，共有30选法.
方法2：.
18.（本小题满分为12分）
解：（I）令可得，展开式中各项系数之和为，
而展开式中的二项式系数之和为，
∴，∴.
（Ⅱ）的展开式的通项为：
由题意，，
所以展开式中含项的系数为.
19.（本小题满分为12分）
解：（Ⅰ）在棱长为1的正方体中，
，，，
所以.
（Ⅱ）由，得
在正方体8个顶点中的任意两个顶点的连线中与AC垂直的有
，，，，，，，
所以
20（本小题满分为12分）
解；（I）在中，，
（Ⅱ），
，
所以在上递增，在上递减，
即，
所以，旅游公司的预算足够
21.（本小题满分为12分）
解：（1）第一次从袋子中摸出的是白球，把函数变换为；
第二次从袋子中摸出的是红球，把函数变换为；
所以.
（Ⅱ）经过3次T变换后有3种情况
若摸出的3个球都是白球，则，；
若摸出的3个球为2个白球1个红球，则，；
若摸出的3个球为1个白球2个红球，则，；
若摸出的3个球都是红球，则，.
所以随机变量X的取值为-3，-1，1，3.
，
，
，
.
所以求随机变量的分布列为
-3 -1 1 3
所以.
22.（本小题满分为12分）
解：（I）当，，
，，
所以切线方程为：.
（Ⅱ），
若，因为在上递增，
且，（利用），
所以存在唯一的实数，使得，即.
所以在上递减，在上递增.
，
又因为当时，，当时，，
所以存在，使得方程恰有三个不同的根.
另一方面由，得，
所以.