四川省成都市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2023·成都）在3，，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴在3，，0，四个数中，最大的数是3，
故答案为：A.
【分析】根据比较大小的方法求解即可。
2．（2023·成都） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2023·成都）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
4．（2023·成都）近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局. 如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ）
A．26 B．27 C．33 D．34
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵将数据从小到大排列为：26，27，33，34，40，
∴这组数据的中位数是33，
故答案为：C.
【分析】先将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可。
5．（2023·成都）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴结论一定正确的是选项B，选项A，C和D结论不一定正确，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，结合图形，对每个选项一一判断即可。
6．（2023·成都）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目. 把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，
∴他恰好抽中水果类卡片的概率是，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用概率公式计算求解即可。
7．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
8．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，
∴9a-3-6=0，
解得：a=1，
∴二次函数，
A.抛物线的对称轴为直线，该说法错误；
B.∵二次函数，
∴二次函数的顶点坐标为，该说法错误；
C.∵二次函数，
∴当y=0时，，
∴，
解得：x=-3或x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴A，B两点之间的距离为2-（-3）=5，该说法正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，该说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断求解即可。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2019·龙湾模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).
故答案是：m（m-3）
【分析】由题意提公因式m即可求解。
10．（2023·成都）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”或“<”）.
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，k=6＞0，
∴反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】根据题意先求出反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，再比较大小即可。
11．（2023·成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为 .
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
12．（2023·成都）在平面直角坐标系xOy中，点关于y轴对称的点的坐标为 .
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得： 点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据点的坐标关于y轴对称的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求解即可。
13．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E. 若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 .
【答案】
【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，
∴DE//AC，
∵与四边形ACED的面积比为4：21，
∴与△BAC的面积比为4：25，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2023·成都）
（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）3
（2）
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）
；
（2） 解不等式组： ，
由①得：x≤1，
由②得：x＞-4，
∴不等式组的解集为：-4＜x≤1.
【分析】（1）利用算术平方根，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，绝对值计算求解即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
15．（2023·成都）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴. 成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.
【答案】（1）300，图略；
（2）144°；
（3）360
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%=300（人），
∴文明宣传的人数为：300-60-120-30=90（人），
补全条形统计图如下：
（2）“敬老服务”对应的圆心角度数为：；
（3）由题意可得：（人），
即参加“文明宣传”项目的师生人数为360人.
【分析】（1）根据题意先求出本次调查的师生共有300人，再求出文明宣传的人数为90人，最后补全条形统计图即可；
（2）根据题意求出即可作答；
（3）根据所给的数据求出即可作答。
16．（2023·成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
【答案】阴影CD的长约为2.2米
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，过点C作DG⊥AF交AF于点G，
∴∠GFC=∠FGC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴CF=GD，FG=CD，
∵AB=5米，∠BAF=16°，
∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），
∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），
∵∠ADE=45°，
∴∠GAD=45°，
∴AG=GD=2.6米，
∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），
即阴影CD的长为2.2米.
【分析】利用矩形的判定方法求出四边形CDGF是矩形，再利用锐角三角函数求出BF和AF的值，最后计算求解即可。
17．（2023·成都）如图，以的边AC为直径作，交BC边于点D，过点C作交于点E，连接AD，DE，.
（1）求证：；
（2）若，，求AB和DE的长.
【答案】（1）略；
（2），.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【解答】（1）证明：∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∵弧AE=弧AE，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠BAC=∠ADE，
∵∠B=∠ADE，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；
（2）解：如图所示：连接AE，过点E作EF⊥AD交AD于点F，
∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=，
∵CE//AB，
∴∠B+∠DCE=180°，
∴∠DAE=∠B，
∵∠B=∠ADE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴弧AE=弧DE，
∵AC为圆O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°，
∴，
令BD=x，则AD=2x，
∵CD=3，
∴BC=x+3，
∴AC=x+3，
∵，
∴，
解得：x=2或x=0（舍去），
∴BD=2，AD=4，DF=2，
∴AB=，
∵，∠B=∠ADE，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACE=∠BAC，再求出∠ADE=∠ACE，最后证明即可；
（2）先作图，再根据平行线的性质求出∠B+∠DCE=180°，最后利用锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可。
18．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l.
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）点C的坐标为或；
（3）点P的坐标为；m的值为3.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=5，
∴点A的坐标为（0，5），
又∵点B（a，4）在直线上，
∴-a+5=4，
解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵过点B作AB的垂线l，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
∵点B在直线l上，
∴1+b=4，
∴b=3，
∴直线l的解析式为：y=x+3，
设C（m，m+3），
∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），
∴AB=，，
∵的面积为5，
∴，
解得：m=6或m=-4，
∴点C的坐标为或；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，
则点A的对应点为D，
由题意可得：，
解得：或，
∴E (-4，-1)，
如图所示：
∵△PAB△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=- (-4) +b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴由题意可得：，
解得：或，
∴D（-1，-4），
∴直线AD的解析式为y=9x+5，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴.
【分析】（1）先求出当x=0时，y=5，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式为：y=x+3，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出E (-4， -1)，再结合图象，利用相似三角形的性质计算求解即可。
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2023·成都）若，则代数式的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再化简分式计算求解即可。
20．（2023·成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个.
【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据所给的主视图和俯视图，可知这个几何体共有2层2列，且左边一列最少有3个小立方块，最多有4个小立方块，右边一列有2个小立方块，所以搭成这个几何体的小立方块最多有6个，
故答案为：6.
【分析】观察所给的左视图和俯视图，求解即可。
21．（2023·成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出.（取3.14，取1.73）
【答案】184
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB，D为垂足，
∵圆心O到栏杆AB的距离是5米，OD⊥AB，
∴AD = BD， OD = 5m，
∴，AD=，
∴∠AOD =60°，
∴∠AOB =2∠AOD=120°，
∴S阴影部分= S扇形OAB-S△OAB=，
∵61.42 x 3 ≈184(名)，
∴观看马戏的观众人数约为184名，
故答案为：184.
【分析】先作图求出AD = BD，OD = 5m，再利用锐角三角函数求出∠AOD =60°，最后利用扇形和三角形面积公式计算求解即可。
22．（2023·成都）如图，在中，，CD平分交AB于点D，过D作交AC于点E，将沿DE折叠得到，DF交AC于点G.若，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点G作GM⊥DE于M，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE//BC，
∴∠1= ∠2，∠2= ∠3，
∴∠1= ∠3，
∴ED= EC，
∵将沿DE折叠得到，
∴∠3= ∠4，
∴∠1= ∠4，
又∵∠DGE= ∠CGD，
∴△DGE△CGD，
∴，
∴DG2=GE·GC，
∵∠ABC=90°，DE//BC，
∴AD⊥DE，
∴AD//GM，
∴，∠MGE=∠A，
∵，
设GE=3，AG=7，EM=3n，则DM =7n，则EC= DE=10n，
∵DG2=GE·GC，
∴DG2=3x(3+10n)=9+30n，
∵在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，
在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2，
∴DG2-DM2=GE2-EM2，
∴9+30n-(7n)2=32-(3n)2，
解得：，
∴，GE=3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出∠3= ∠4，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
23．（2023·成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .
【答案】15；57
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，
当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，
当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，
当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，
……
当m=6时，有4个智慧优数，
当m=7时，有5个智慧优数，
当m=8时，有6个智慧优数，
1+2+3+4+5+6=21.
又∵两数之间的差越小，平方越小，
∴后面也有智慧优数比较小的，
∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，
第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，
故答案为：15，57.
【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2023·成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）A种食材的单价是每千克x元，B种食材的单价是每千克y元，
由题意可得：，
解得：，
即A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买x千克，总费用为w元，则B种食材购买（36-x）千克，
由题意可得：w=38x+30（36-x）=8x+1080，
∵x=8＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，
∴x≥2（36-x）
解得：x≥24，
∴当x=24时，w取最小值，w=8×24+1080=1272（元），
∴36-x=36-24=12（千克），
即A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程组即可；
（2）根据题意先求出w=38x+30（36-x）=8x+1080，再求出x≥24，最后根据一次函数的性质求解即可。
25．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）抛物线的函数表达式为；
（2）点B的坐标为或或；
（3）当m的值为2或时，始终成立.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵知抛物线经过点，与y轴交于点 ，
∴由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设，
分类讨论：①当AB=AP时，点B和点P关于y轴对称，
如图所示：
∵P（4，-3），
∴B（-4，-3），
②当AB=BP时，，
∴，
∴，
解得：，，
∴当时，，
当时，，
∴点B的坐标为或，
综上所示： 点B的坐标为或或；
（3） 存在常数m，使得始终成立，
由题意作图如下：，
设抛物线与直线y=kx（k≠0）的交点坐标为B（a，ka），C（b，kb），
由得：，
∴a+b=-4k，ab=-4，
设直线AB的表达式为y=px+q，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为，
令y=m，则，
∴，
同理可得：直线AC的表达式为，
则点E的坐标为，
过点E作EQ⊥x轴于点Q，过点D作DN⊥x轴于点N，
∴∠EQO=∠OND=90°，
由题意可得：，，，
若OD⊥OE，则∠EOD=90°，
∴∠QED+∠QOE=∠DON+∠QOE=90°，
∴∠QED=∠DON，
∴△EQO△OND，
∴，
∴，
∴，
将a+b=-4k，ab=-4代入得：，
解得：m=2或m=，
∴当m的值为2或时，始终成立.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合图象，利用等腰三角形的性质计算求解即可；
（3）先作图，再利用待定系数法求函数解析式，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
26．（2023·成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在中，，，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
（1）【初步感知】
如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程.
（2）【深入探究】
①如图2，当，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.
（3）【拓展运用】
如图3，连接EF，设EF的中点为M. 若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.
【答案】（1）证明：如图所示，连接CD，
当n=1时，=1，
∴AD=BD，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°， CD⊥AB，∠FCD=∠ACB=45°，
∴CD=AD，AB=BC，
∴，
∵DE⊥FD，
∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，
∴∠ADE= ∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴；
（2）①；②当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，.
（3）点M运动的路径长为.
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】
（2）①AE+BF=AB，
证明：如图所示，过BD的中点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
当n=2时，，
∴2AD= DB，
∵点G是DB的中点，
∴AD=DG，AG=AB，
∵ HG//BC，
∴∠AHG= ∠C=90°，∠HGA= ∠B=45°，
∵∠A=45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG△DBF，
∴，
由（1）可得：AE+JG =AG，
∴AE+JG=AE+FB=AG=，
∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为 ，
②解：当点F在射线BC上时，
如图所示：在DB上取一点G使得AD=DG，过点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
同①可得：AE+JG= AG，
∵，AD=DG，
∴，，
同①可得：，
∴，
∴线段AE，BF，AB之间数量关系为 ，
当点F在CB延长线上时，
如图所示，在DB上取一点G使得AD=DG，过点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，连接HD，
同（1）可证：△DHE≌△DGJ，
∴，
∵，，
∴，
∴线段AE，BF，AB之间数量关系为 ，
综上所述， 当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，.
(3)解：如图所示，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得M的轨迹长度即为M1M2的长度，
如图所示，以点D为原点，DF1为y轴，DB为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交AB于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∵∠F1BD=45°，
∴F1D=BD，
∴，
∵M1是E1F1的中点，
∴，
∵BG=CG=，
∴，
∴，
由（2）中的结论可得： ，
∴，
∴，
∴DH=DB+BH=n，
∴，
∴，
∴，
即点M运动的路径长为.
【分析】（1）根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出AD=DG，AG=AB，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先作图，再求出，，最后求解即可。
1 / 1四川省成都市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2023·成都）在3，，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．
2．（2023·成都） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·成都）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·成都）近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局. 如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ）
A．26 B．27 C．33 D．34
5．（2023·成都）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·成都）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目. 把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2019·龙湾模拟）因式分解： .
10．（2023·成都）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”或“<”）.
11．（2023·成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为 .
12．（2023·成都）在平面直角坐标系xOy中，点关于y轴对称的点的坐标为 .
13．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E. 若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2023·成都）
（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．（2023·成都）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴. 成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.
16．（2023·成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
17．（2023·成都）如图，以的边AC为直径作，交BC边于点D，过点C作交于点E，连接AD，DE，.
（1）求证：；
（2）若，，求AB和DE的长.
18．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l.
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2023·成都）若，则代数式的值为 .
20．（2023·成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个.
21．（2023·成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出.（取3.14，取1.73）
22．（2023·成都）如图，在中，，CD平分交AB于点D，过D作交AC于点E，将沿DE折叠得到，DF交AC于点G.若，则 .
23．（2023·成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2023·成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
25．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
26．（2023·成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在中，，，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
（1）【初步感知】
如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程.
（2）【深入探究】
①如图2，当，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.
（3）【拓展运用】
如图3，连接EF，设EF的中点为M. 若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴在3，，0，四个数中，最大的数是3，
故答案为：A.
【分析】根据比较大小的方法求解即可。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵将数据从小到大排列为：26，27，33，34，40，
∴这组数据的中位数是33，
故答案为：C.
【分析】先将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴结论一定正确的是选项B，选项A，C和D结论不一定正确，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，结合图形，对每个选项一一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，
∴他恰好抽中水果类卡片的概率是，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用概率公式计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，
∴9a-3-6=0，
解得：a=1，
∴二次函数，
A.抛物线的对称轴为直线，该说法错误；
B.∵二次函数，
∴二次函数的顶点坐标为，该说法错误；
C.∵二次函数，
∴当y=0时，，
∴，
解得：x=-3或x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴A，B两点之间的距离为2-（-3）=5，该说法正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，该说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断求解即可。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).
故答案是：m（m-3）
【分析】由题意提公因式m即可求解。
10．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，k=6＞0，
∴反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】根据题意先求出反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，再比较大小即可。
11．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得： 点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据点的坐标关于y轴对称的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求解即可。
13．【答案】
【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，
∴DE//AC，
∵与四边形ACED的面积比为4：21，
∴与△BAC的面积比为4：25，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。
14．【答案】（1）3
（2）
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）
；
（2） 解不等式组： ，
由①得：x≤1，
由②得：x＞-4，
∴不等式组的解集为：-4＜x≤1.
【分析】（1）利用算术平方根，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，绝对值计算求解即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
15．【答案】（1）300，图略；
（2）144°；
（3）360
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%=300（人），
∴文明宣传的人数为：300-60-120-30=90（人），
补全条形统计图如下：
（2）“敬老服务”对应的圆心角度数为：；
（3）由题意可得：（人），
即参加“文明宣传”项目的师生人数为360人.
【分析】（1）根据题意先求出本次调查的师生共有300人，再求出文明宣传的人数为90人，最后补全条形统计图即可；
（2）根据题意求出即可作答；
（3）根据所给的数据求出即可作答。
16．【答案】阴影CD的长约为2.2米
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，过点C作DG⊥AF交AF于点G，
∴∠GFC=∠FGC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴CF=GD，FG=CD，
∵AB=5米，∠BAF=16°，
∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），
∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），
∵∠ADE=45°，
∴∠GAD=45°，
∴AG=GD=2.6米，
∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），
即阴影CD的长为2.2米.
【分析】利用矩形的判定方法求出四边形CDGF是矩形，再利用锐角三角函数求出BF和AF的值，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）略；
（2），.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【解答】（1）证明：∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∵弧AE=弧AE，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠BAC=∠ADE，
∵∠B=∠ADE，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；
（2）解：如图所示：连接AE，过点E作EF⊥AD交AD于点F，
∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=，
∵CE//AB，
∴∠B+∠DCE=180°，
∴∠DAE=∠B，
∵∠B=∠ADE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴弧AE=弧DE，
∵AC为圆O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°，
∴，
令BD=x，则AD=2x，
∵CD=3，
∴BC=x+3，
∴AC=x+3，
∵，
∴，
解得：x=2或x=0（舍去），
∴BD=2，AD=4，DF=2，
∴AB=，
∵，∠B=∠ADE，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACE=∠BAC，再求出∠ADE=∠ACE，最后证明即可；
（2）先作图，再根据平行线的性质求出∠B+∠DCE=180°，最后利用锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可。
18．【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）点C的坐标为或；
（3）点P的坐标为；m的值为3.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=5，
∴点A的坐标为（0，5），
又∵点B（a，4）在直线上，
∴-a+5=4，
解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵过点B作AB的垂线l，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
∵点B在直线l上，
∴1+b=4，
∴b=3，
∴直线l的解析式为：y=x+3，
设C（m，m+3），
∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），
∴AB=，，
∵的面积为5，
∴，
解得：m=6或m=-4，
∴点C的坐标为或；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，
则点A的对应点为D，
由题意可得：，
解得：或，
∴E (-4，-1)，
如图所示：
∵△PAB△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=- (-4) +b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴由题意可得：，
解得：或，
∴D（-1，-4），
∴直线AD的解析式为y=9x+5，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴，，
∴.
【分析】（1）先求出当x=0时，y=5，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式为：y=x+3，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出E (-4， -1)，再结合图象，利用相似三角形的性质计算求解即可。
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再化简分式计算求解即可。
20．【答案】6
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据所给的主视图和俯视图，可知这个几何体共有2层2列，且左边一列最少有3个小立方块，最多有4个小立方块，右边一列有2个小立方块，所以搭成这个几何体的小立方块最多有6个，
故答案为：6.
【分析】观察所给的左视图和俯视图，求解即可。
21．【答案】184
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB，D为垂足，
∵圆心O到栏杆AB的距离是5米，OD⊥AB，
∴AD = BD， OD = 5m，
∴，AD=，
∴∠AOD =60°，
∴∠AOB =2∠AOD=120°，
∴S阴影部分= S扇形OAB-S△OAB=，
∵61.42 x 3 ≈184(名)，
∴观看马戏的观众人数约为184名，
故答案为：184.
【分析】先作图求出AD = BD，OD = 5m，再利用锐角三角函数求出∠AOD =60°，最后利用扇形和三角形面积公式计算求解即可。
22．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点G作GM⊥DE于M，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE//BC，
∴∠1= ∠2，∠2= ∠3，
∴∠1= ∠3，
∴ED= EC，
∵将沿DE折叠得到，
∴∠3= ∠4，
∴∠1= ∠4，
又∵∠DGE= ∠CGD，
∴△DGE△CGD，
∴，
∴DG2=GE·GC，
∵∠ABC=90°，DE//BC，
∴AD⊥DE，
∴AD//GM，
∴，∠MGE=∠A，
∵，
设GE=3，AG=7，EM=3n，则DM =7n，则EC= DE=10n，
∵DG2=GE·GC，
∴DG2=3x(3+10n)=9+30n，
∵在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，
在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2，
∴DG2-DM2=GE2-EM2，
∴9+30n-(7n)2=32-(3n)2，
解得：，
∴，GE=3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出∠3= ∠4，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
23．【答案】15；57
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，
当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，
当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，
当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，
……
当m=6时，有4个智慧优数，
当m=7时，有5个智慧优数，
当m=8时，有6个智慧优数，
1+2+3+4+5+6=21.
又∵两数之间的差越小，平方越小，
∴后面也有智慧优数比较小的，
∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，
第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，
故答案为：15，57.
【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。
24．【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）A种食材的单价是每千克x元，B种食材的单价是每千克y元，
由题意可得：，
解得：，
即A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买x千克，总费用为w元，则B种食材购买（36-x）千克，
由题意可得：w=38x+30（36-x）=8x+1080，
∵x=8＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，
∴x≥2（36-x）
解得：x≥24，
∴当x=24时，w取最小值，w=8×24+1080=1272（元），
∴36-x=36-24=12（千克），
即A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程组即可；
（2）根据题意先求出w=38x+30（36-x）=8x+1080，再求出x≥24，最后根据一次函数的性质求解即可。
25．【答案】（1）抛物线的函数表达式为；
（2）点B的坐标为或或；
（3）当m的值为2或时，始终成立.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵知抛物线经过点，与y轴交于点 ，
∴由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设，
分类讨论：①当AB=AP时，点B和点P关于y轴对称，
如图所示：
∵P（4，-3），
∴B（-4，-3），
②当AB=BP时，，
∴，
∴，
解得：，，
∴当时，，
当时，，
∴点B的坐标为或，
综上所示： 点B的坐标为或或；
（3） 存在常数m，使得始终成立，
由题意作图如下：，
设抛物线与直线y=kx（k≠0）的交点坐标为B（a，ka），C（b，kb），
由得：，
∴a+b=-4k，ab=-4，
设直线AB的表达式为y=px+q，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为，
令y=m，则，
∴，
同理可得：直线AC的表达式为，
则点E的坐标为，
过点E作EQ⊥x轴于点Q，过点D作DN⊥x轴于点N，
∴∠EQO=∠OND=90°，
由题意可得：，，，
若OD⊥OE，则∠EOD=90°，
∴∠QED+∠QOE=∠DON+∠QOE=90°，
∴∠QED=∠DON，
∴△EQO△OND，
∴，
∴，
∴，
将a+b=-4k，ab=-4代入得：，
解得：m=2或m=，
∴当m的值为2或时，始终成立.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合图象，利用等腰三角形的性质计算求解即可；
（3）先作图，再利用待定系数法求函数解析式，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
26．【答案】（1）证明：如图所示，连接CD，
当n=1时，=1，
∴AD=BD，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°， CD⊥AB，∠FCD=∠ACB=45°，
∴CD=AD，AB=BC，
∴，
∵DE⊥FD，
∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，
∴∠ADE= ∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴；
（2）①；②当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，.
（3）点M运动的路径长为.
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】
（2）①AE+BF=AB，
证明：如图所示，过BD的中点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
当n=2时，，
∴2AD= DB，
∵点G是DB的中点，
∴AD=DG，AG=AB，
∵ HG//BC，
∴∠AHG= ∠C=90°，∠HGA= ∠B=45°，
∵∠A=45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG△DBF，
∴，
由（1）可得：AE+JG =AG，
∴AE+JG=AE+FB=AG=，
∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为 ，
②解：当点F在射线BC上时，
如图所示：在DB上取一点G使得AD=DG，过点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，
同①可得：AE+JG= AG，
∵，AD=DG，
∴，，
同①可得：，
∴，
∴线段AE，BF，AB之间数量关系为 ，
当点F在CB延长线上时，
如图所示，在DB上取一点G使得AD=DG，过点G作BC的平行线，交DF于点J，交AC于点H，连接HD，
同（1）可证：△DHE≌△DGJ，
∴，
∵，，
∴，
∴线段AE，BF，AB之间数量关系为 ，
综上所述， 当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，.
(3)解：如图所示，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得M的轨迹长度即为M1M2的长度，
如图所示，以点D为原点，DF1为y轴，DB为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交AB于点H，
∵，，
∴，，
∴，
∵∠F1BD=45°，
∴F1D=BD，
∴，
∵M1是E1F1的中点，
∴，
∵BG=CG=，
∴，
∴，
由（2）中的结论可得： ，
∴，
∴，
∴DH=DB+BH=n，
∴，
∴，
∴，
即点M运动的路径长为.
【分析】（1）根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出AD=DG，AG=AB，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先作图，再求出，，最后求解即可。
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