山西省大同市平城区恒德学校2022-2023学年高二下学期7月期末调研测试数学试题（含答案）

大同市恒德学校2023学年第二学期期末调研测试
高二数学试题
姓名___________班级___________考号___________
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2、如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为( )
A. 1 B. C. D.
3、某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A. 3233万元 B. 4706万元 C. 4709万元 D. 4808万元
4、设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5、若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6、若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
7、若定义在上的函数的值域为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8、设全集，集合，，则等于( )
A． B． C． D．
9、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A． B． C． D．
10、某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为( )
A．12 B．20 C．30 D．40
11、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述正确的是( )
A. 是偶函数 B. 在上是增函数
C. 的值域是 D. 的值域是
12、下列说法中正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“对，恒有”的否定是“，使得”
C. 在同一直角坐标系中，函数与图象关于直线对称
D. 若幂函数过点，则
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数，则________.
14、若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数a的取值范围是____________．
15、若实数，满足，则的最小值为________.
16、函数，则________．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17、已知函数为偶函数,且.
(1)求m的值,并确定的解析式；
(2)若且,求在上值域.
18、为了响应节能环保的号召，一汽车生产企业自主研发电动汽车，现要研究普通家用汽车在高速公路上行驶时的车速情况，借用交通部门的相关数据进行研究，对100名家用汽车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关．
平均车速超过 人数 平均车速不超过 人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据，其中．
… 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 …
… 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 …
19、已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，是方程的两个不同的实数根，求证．
20、在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线在以该直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为
1.求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程
2.设曲线和曲线的交点为,求.
21、2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竞猜
1.若三人中每个人可以选择任何一支球队,且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率
2.若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为,男球迷选择德国队的概率为,记为三人中选择德国队的人数,求的分布列和数学期望
22、一只药用昆虫的产卵数与一定范围内与温度有关, 现收集了该种药用昆虫的组观测数据如表:
温度
产卵数/个
1.若用线性回归模型,求关于的回归方程 (精确到)
2.若用非线性回归模型求关的回归方程为,且相关指数
( i )试与中的线性回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为,相关指数
,
参考答案
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A 2、B 3、C 4、C 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、A 11、B 12、D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 14、
15、4 16、
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17、(1)因为,所以由幂函数的性质得,,解得,
因为,所以或,
当时,它不是偶函数；
当时,是偶函数；
所以,；
(2)由(1)知,
设,,则,
此时在上的值域,就是函数,的值域.
当时,在区间上是增函数,所以；
当时,在区间上是减函数,所以;
综上当时,函数的值域为,
当时,的值域为.
解析
18、（1）
平均车速超过 人数 平均车速不超过 人数 合计
男性驾驶员人数 40 15 55
女性驾驶员人数 20 25 45
合计 60 40 100
,
所以有99.5%的把握认为平均车速超过与性别有关．
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．
X可取值是0，1，2，3，，
有，，
，，
分布列为
X 0 1 2 3
P
．
解析
19、（1）依题意，,
故当时，，当时，.
单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）因为，是方程的两个不同的实数根．
两式相减得，解得.
要证，即证，即证，
即证，
不妨设，令．只需证．
设，
；
令，∴，
在上单调递减，
，，在为减函数，
．即在恒成立，
原不等式成立，即．
解析
20、1.由曲线的参数方程为 (为参数),消去参数得到曲线的普通方程为;
∵,曲线在极坐标系下的方程为,
∴曲线的直角坐标方程为
2.曲线可化为,表示圆心在,半径的圆,
则圆心到直线的距离为,所以.
解析
21、 1.设恰好有两支球队被人选择为事件
由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有种不同选择,每种选择可能性相等,
故恰好有两支球队被人选择有种不同选择,
所以.
2.由题知,
且,
,
,
∴的分布列为
0 1 2 3
解析
22、1.由题意得,,,
,
所以
,
∴关于的线性回归方程为
2.( i )由所给数据求得的线性回归方程为,又,故得相关指数为,
因为,所以回归方程
比线性回归方程拟合效果更好.
( ii )由( i )得当时, .
即当温度时,该种药用昆虫的产卵数估计为个
解析