2014年高中数学 第3章 不等式单元质量评估 北师大版必修5

第三章 不等式
(120分钟 150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（2011·北京高考）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}，若P∪M=P，则a的取值范围是( )
(A)(-∞，-1] (B)[1，+∞)
(C)[-1，1] (D)(-∞，-1］∪[1，+∞)
2.函数y=的定义域为( )
（A）［－，－1)∪(1，］
（B）(－，－1)∪(1，］
（C）［－2，－1)∪(1,2］
（D）(－2，－1)∪(1,2)
3.a，b为正实数，且a，b的等差中项为A；，的等差中项为；a，b的等比中项为G(G>0)，则( )
（A）G≤H≤A （B）H≤G≤A
（C）G≤A≤H （D）H≤A≤G
4.若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值是( )
（A） （B） （C） （D）2
5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），则对于函数f(x)=ax2+bx+c，下列不等式成立的是( )
(A)f(4)>f(0)>f(1)
(B)f(4)>f(1)>f(0)
(C)f(0)>f(1)>f(4)
(D)f(0)>f(4)>f(1)
6.（2011·成都高二检测）下列不等式的证明过程正确的是( )
（A）若a、b∈R，则≥2=2
（B）若a<0，则a+≥-2=-4
（C）若a、b>0，则lga+lgb≥2
（D）若a∈R，则2a+2-a≥2 =2
7.不等式>0的解集为( )
（A）{x|x<-2或x>3}
（B）{x|x<-2或1（C）{x|-23}
（D）{x|-28.不等式＜x的解集是( )
（A）(1，＋∞)
（B）(－∞，－1)∪(1，＋∞)
（C）(－1,0)∪(1，＋∞)
（D）(－∞，－1)∪(0,1)
9.已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)·x＜0的解集为( )
（A）(－1，0)∪(0,1)
（B）(－1，0)∪ (1，3)
（C）(－3，－1)∪(0,1)
（D）(－3，－1)∪ (1,3)
10.若x,y∈R，且则z=x+2y的最小值等于( )
(A)2 (B)3 (C)5 (D)9
11.（2011·上海高二检测）设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，则的最大值为( )
（A）1 （B）2 （C） （D）
12.若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|0（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.已知集合A={x∈R|x2-x-2≤0},B={x∈R|a14.(2011·淮南高二检测)已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．
15.不等式≥1的解集为________.
16.已知非负数x、y满足，则z=()x·()y的最小值为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）解不等式018.（12分）已知a＞0,b＞0,且a+b=1,求证：
(a+ )(b+)≥.
19.（12分）（2011·泰安高二检测）设关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R.求a的取值范围.
20.（12分）（2011·天津模拟）已知=（-1，x2+m）,=(m+1, )，当m>0时，求使>0成立的x的取值范围.
21.（12分）某企业生产A，B两种产品，每生产一吨产品所需要的劳动力、煤、电如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤（吨）
电（度）
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知每吨A产品的利润是7万元，每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200度，问该企业生产A，B两种产品各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润为多少？
22.（12分）设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于m∈［－2,2］，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围．
答案解析
1.【解析】选C.由P∪M=P，可知M?P，而集合P={x|-1≤x≤1}，所以-1≤a≤1,故选C.
2.独具【解题提示】由题可知x2-1>0,同时log(x2-1)≥0,因此要两方面均考虑到.
【解析】选A.由已知得：03.【解析】选B.由题意知A＝，H＝，G＝,易知≥≥，∴A≥G≥H.
4.【解析】选B.由已知x，y∈R＋.又∵lgx＋lgy＝2，
∴xy＝102，∴＋≥2＝，故选B.
5.【解析】选A.依题意，-1，3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a>0，
∴∴
∴f(x)=a(x2-2x-3),f(4)=5a,
f(0)=-3a,f(1)=-4a,
∴f(4)>f(0)>f(1).
6.【解析】选D.对于A，>0即ab>0时才能成立，而a，b∈R，故A不正确；
对于B，a+≤-4;
对于C，当a，b>0时，lga、lgb不能确定一定是正数；
对于D，a∈R时，2a>0，2-a>0.∴D正确.
7.【解析】选C.对比选项，令x=0，不等式>0成立，解集含有0，排除A，B；令x=2，则不等式不成立，排除D，选C.
8.【解析】选C. ＜x?＞0.
用穿针引线法(如图)可知－1＜x＜0或x＞1.
9.【解析】选A.由图像可知，当0＜x＜1时，f(x)＜0；则f(x)x<0.再由f(x)是奇函数，知当－1＜x＜0时，f(x)＞0；则f(x)x＜0. 所以不等式的解集为
(－1，0)∪(0,1)，故选A.
10.【解析】选B.不等式组所表示的平面区域如图中阴影所示：作l0:x+2y=0,平移l0至A（1，1）点位置时，z取得最小值，∴zmin=3.
11.【解析】选A.因为ax=by=3，x=loga3，y=logb3，=log3ab≤log3()2=1当且仅当a=b=，x=y=2时，等号成立，∴的最大值为1.
12.【解析】选A.因为－x2＋2x>mx的解集是{x|00的解集为(0,2)，则关于x的方程－x2＋(2－m)x＝0的两根为x＝0或x＝2，当x＝0时，－x2＋(2－m)x＝0，等式恒成立；当x＝2时，解得m＝1.故选A.
13.【解析】A={x|-1≤x≤2}.
∵A∩B=?,∴a≥2或a+3≤-1,
即a≥2或a≤-4.
答案:{a|a≥2或a≤-4}
14.【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为.
答案:
15.【解析】由≥1，可得≥0，得x(x+1)≤0且x≠-1，解得-1答案：{x|-116.【解析】由图易得2x+y的最大值为4，从而z=()2x·()y=()2x+y的最小值为.
答案:
17.独具【解题提示】把原不等式转化为不等式组求解.
【解析】原不等式等价于???
如图所示,原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或218.【证明】（a+）(b+)=ab++
=(-)2++2.
∵a＞0,b＞0,∴≥2.
又a+b=1,∴1=a+b≥2,
∴≥2,-≥-,
∴-≥,∴(-)2≥,
∴(a+)(b+)≥+2+2=(当且仅当a=b=时，等号成立).
19.【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,
原不等式可化简为-4<0恒成立.
∴a=2可取.
(2)当a-2≠0,即a≠2时,
若保证x∈R,则有??-2综上,-220.独具【解题提示】根据向量数量积的运算，把>0转化为关于x的不等式，再对m的值进行分类讨论.
【解析】∵=-(m+1)+==>0
上式可转化为x(x-1)(x-m)> 0.
∴当0当m=1时，x∈（0,1）∪（1，+∞），
当m>1，x∈（0,1）∪（m，+∞）.
21.【解析】设生产A，B两种产品各为x吨，y吨，利润为z万元.由题意得z=7x+12y.画出不等式组表示的平面区域（如图）.
将目标函数z=7x+12y转化为直线l:y=-x+.这是一条斜率为-，在y轴上的截距为的直线，当z变化时，可以得到一组平行直线.直线与阴影部分的交点满足不等式组，且当截距最大时，目标函数取得最大值.由图可知，当直线l经过M点时，在y轴上的截距最大，此时z取最大值.
由，得，即M点的坐标为（20，24），故zmax=7×20+12×24=428(万元).
答：该企业生产A产品20吨，B产品24吨时，可以获得最大利润，为428万元.
22.【解析】(1)要求mx2－mx－1<0恒成立．
当m＝0时，f(x)＝－1<0，显然成立；
当m≠0时，应有m<0，Δ＝m2＋4m<0，
解得－4综上，m的取值范围是－4(2)将f(x)<－m＋5变换成关于m的不等式
m(x2－x＋1)－6<0，
则命题等价于m∈［－2，2］时，
g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在［－2,2］上单调递增，
∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，
即x2－x－2<0，
∴－1独具【方法技巧】有关不等式的恒成立问题的求解策略
恒成立问题涉及知识面广,综合性强,能很好地考查创新能力和数学素养,是历年高考命题的热点和重点.其求解策略有:
1.判别式法:一元二次不等式恒成立问题常用到判别式,如不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立等价于或;ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立等价于或；
2.参变量分离法:f(a)f(a)>g(x)恒成立?f(a)>g(x)max.
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排