2014年高中数学 第2章 解三角形单元质量评估 北师大版必修5
文档属性
| 名称 | 2014年高中数学 第2章 解三角形单元质量评估 北师大版必修5 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 178.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-10-22 15:20:24 | ||
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文档简介
第二章 解三角形
(120分钟 150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( )
(A)5 (B) (C)4 (D)3
2.(2011·锦州高二检测）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
(A) (B) (C) (D)
3.（2011·保定高二检测）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形必为( )
（A）等腰三角形
（B）正三角形
（C）直角三角形
（D）等腰直角三角形
4.(2011·天津高考）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2-bc＝a2，且，则角C的值为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.(2011·惠州高二检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( )
(A)1 (B)2sin10°
(C)2cos10° (D)cos20°
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
(A) (B)2 (C) (D)
11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人( )
（A）不能作出这样的三角形
（B）能作出一个锐角三角形
（C）能作出一个直角三角形
（D）能作出一个钝角三角形
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，角B＝ 30°，那么角C等于( )
(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.(2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.
14.在锐角三角形ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是________.
15.在△ABC中，已知sin2A＝sin2C+sin2B+sinCsinB，则角A的值为_______．
16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2+bc，则三内角A、B、C的度数依次是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在△ABC中，若角B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是多少？
18.（12分）在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.
19.（12分）某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？
20.（12分）(2011·山东高考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知
(1)求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长.
21.（12分）在△ABC中，a2=b(b+c)，求A与B满足的关系.
22.（12分）（2011·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求sinA-cos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
答案解析
1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60° ，所以b边最长.由正弦定理得b=所以选B.
2.【解析】选B.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又由c＝2a，∴cosB＝
＝.
3.【解析】选A.∵C=π- (A+B),
∴sinC=sin(A+B),
∴sin(A+B)=2cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0,
可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.
4.【解析】选D.由题意知△ABD是等腰三角形，
故cos∠ADB=，
∴sin∠BDC=sin∠ADB=.
在△BDC中，由正弦定理知：
∴sinC=.
5.【解析】选C.由b2+c2-bc＝a2
得b2+c2-a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
又，∴＝，
∴sinB＝ sinA＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°-A-B＝90°.
6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t和5t（t>0），
根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t×5t×cos60°=142
整理得t2=4,解得t=2
所以另两边长分别为16和10.
三角形面积S= ×16×10×sin60°=40.
7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,
∴a=
==4.
8.【解析】选D.由=cosB结合已知等式得cosB·tanB＝sinB=，
∴B= 或.
9.【解析】选C.如图，
∵∠CBD＝A+∠ACB＝20°，A=10°
∴∠ACB＝10°.
∴AB＝BC＝1千米．由余弦定理，知
AC==2cos10°.
10.【解析】选D.由正弦定理得，
∴sinC＝.又∵c＝<=b,角C为锐角，
∴C＝30°，∴A＝30°，
∴△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.
11.【解析】选D.根据题意，可设三条高所在的边长为5x,8x,10x，又设边长为10x的边所对的角为θ，则cosθ=，∴θ为钝角，
故要制作的三角形为钝角三角形.
12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.
【解析】选A.∵c=a，∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)＝(sinC+cosC)，即sinC＝-cosC.∴tanC＝-.又0°∴C＝120°.
13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，
所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角.
根据余弦定理得
(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)·cos120°
即2x2-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,
∴S△ABC=×10×6×sin120°=15.
答案：15
14.独具【解题提示】由cosC＞0及三角形两边之差小于第三边，求c的范围.
【解析】∵cosC＞0,
∴＞0，∴0＜c＜,
又∵c＞b-a=1，∴1＜c＜.
答案:（1，）
15.【解析】在△ABC中，根据正弦定理＝2R，得：sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∴，
即：a2＝c2+b2+bc，∴cosA＝=-，且角A∈(0，π)，∴A＝.
答案:
16.独具【解题提示】sinA∶sinB=a∶b=∶1,结合余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA，消去a2再利用方程求解.
【解析】由题意知a＝b，a2＝b2+c2-2bccosA，
得2b2＝b2+c2-2bccosA，
又c2＝b2+bc，
∴cosA＝，A＝45°，sinB＝，B＝30°，∴C＝105°.
答案:45°，30°，105°
17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．
【解析】由正弦定理得，sinC=.
∵AB>AC，∴C＝60°或120°.
当角C＝60°时，S△ABC＝AC·AB·sinA＝×2×2×sin90°＝2；
当角C＝120°时，S△ABC＝AC·AB·sinA＝×2×2×sin30°＝.
所以△ABC的面积是2或.
独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，
所以b（a2-b2）+c（a2-c2）=bc（b+c）,
所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）,
所以a2=b2-bc+c2+bc,所以a2=b2+c2.
所以△ABC是直角三角形.
独具【方法技巧】三角形形状的判断
（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.
（2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.
如asinA+bsinB=csinC?a2+b2=c2?sin2A+sin2B＝sin2C
19.【解析】在△CDB中，212＝202+312-2×20×31×cosB,解得cosB＝，
∴sin∠ACB＝sin(120°-B)＝.
设AD＝x，在△ABC中，由正弦定理
，∴x＝15.
答：这个人还要走15公里才能到达A城．
20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
所以
所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB
即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA
所以=2.
(2)由（1）知=2，所以有=2,即c=2a.
又因为△ABC的周长为5，所以b=5-3a
由余弦定理得：b2=c2+a2-2accosB
即（5-3a）2=(2a)2+a2-4a2×
解得a=1或a=5(舍去）
所以b=2.
21.【解析】由已知a2=b(b+c)
∴a2=b2+bc,移项得：b2-a2=-bc
由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,
移项得：2bccosA=b2-a2+c2
∴2bccosA=-bc+c2,2bcosA=-b+c
由正弦定理：2·2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC
2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B)
=-sinB+sinAcosB+sinBcosA
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
∴B=A-B或B+（A-B）=π（舍去）
即A与B满足的关系为A=2B
独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理.
22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为00.从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=.
（2）由（1）知B=-A.于是
sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+).
因为0从而当A+=,即A=时，
2sin(A+)取最大值2．
综上所述，sinA-cos(B+)的最大值为2，此时A=,B=.
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
(120分钟 150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( )
(A)5 (B) (C)4 (D)3
2.(2011·锦州高二检测）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
(A) (B) (C) (D)
3.（2011·保定高二检测）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形必为( )
（A）等腰三角形
（B）正三角形
（C）直角三角形
（D）等腰直角三角形
4.(2011·天津高考）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2-bc＝a2，且，则角C的值为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.(2011·惠州高二检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( )
(A)1 (B)2sin10°
(C)2cos10° (D)cos20°
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
(A) (B)2 (C) (D)
11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人( )
（A）不能作出这样的三角形
（B）能作出一个锐角三角形
（C）能作出一个直角三角形
（D）能作出一个钝角三角形
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，角B＝ 30°，那么角C等于( )
(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.(2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.
14.在锐角三角形ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是________.
15.在△ABC中，已知sin2A＝sin2C+sin2B+sinCsinB，则角A的值为_______．
16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2+bc，则三内角A、B、C的度数依次是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在△ABC中，若角B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是多少？
18.（12分）在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.
19.（12分）某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？
20.（12分）(2011·山东高考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知
(1)求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长.
21.（12分）在△ABC中，a2=b(b+c)，求A与B满足的关系.
22.（12分）（2011·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求sinA-cos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
答案解析
1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60° ，所以b边最长.由正弦定理得b=所以选B.
2.【解析】选B.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又由c＝2a，∴cosB＝
＝.
3.【解析】选A.∵C=π- (A+B),
∴sinC=sin(A+B),
∴sin(A+B)=2cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0,
可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.
4.【解析】选D.由题意知△ABD是等腰三角形，
故cos∠ADB=，
∴sin∠BDC=sin∠ADB=.
在△BDC中，由正弦定理知：
∴sinC=.
5.【解析】选C.由b2+c2-bc＝a2
得b2+c2-a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
又，∴＝，
∴sinB＝ sinA＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°-A-B＝90°.
6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t和5t（t>0），
根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t×5t×cos60°=142
整理得t2=4,解得t=2
所以另两边长分别为16和10.
三角形面积S= ×16×10×sin60°=40.
7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,
∴a=
==4.
8.【解析】选D.由=cosB结合已知等式得cosB·tanB＝sinB=，
∴B= 或.
9.【解析】选C.如图，
∵∠CBD＝A+∠ACB＝20°，A=10°
∴∠ACB＝10°.
∴AB＝BC＝1千米．由余弦定理，知
AC==2cos10°.
10.【解析】选D.由正弦定理得，
∴sinC＝.又∵c＝<=b,角C为锐角，
∴C＝30°，∴A＝30°，
∴△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.
11.【解析】选D.根据题意，可设三条高所在的边长为5x,8x,10x，又设边长为10x的边所对的角为θ，则cosθ=，∴θ为钝角，
故要制作的三角形为钝角三角形.
12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.
【解析】选A.∵c=a，∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)＝(sinC+cosC)，即sinC＝-cosC.∴tanC＝-.又0°
13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，
所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角.
根据余弦定理得
(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)·cos120°
即2x2-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,
∴S△ABC=×10×6×sin120°=15.
答案：15
14.独具【解题提示】由cosC＞0及三角形两边之差小于第三边，求c的范围.
【解析】∵cosC＞0,
∴＞0，∴0＜c＜,
又∵c＞b-a=1，∴1＜c＜.
答案:（1，）
15.【解析】在△ABC中，根据正弦定理＝2R，得：sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∴，
即：a2＝c2+b2+bc，∴cosA＝=-，且角A∈(0，π)，∴A＝.
答案:
16.独具【解题提示】sinA∶sinB=a∶b=∶1,结合余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA，消去a2再利用方程求解.
【解析】由题意知a＝b，a2＝b2+c2-2bccosA，
得2b2＝b2+c2-2bccosA，
又c2＝b2+bc，
∴cosA＝，A＝45°，sinB＝，B＝30°，∴C＝105°.
答案:45°，30°，105°
17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．
【解析】由正弦定理得，sinC=.
∵AB>AC，∴C＝60°或120°.
当角C＝60°时，S△ABC＝AC·AB·sinA＝×2×2×sin90°＝2；
当角C＝120°时，S△ABC＝AC·AB·sinA＝×2×2×sin30°＝.
所以△ABC的面积是2或.
独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，
所以b（a2-b2）+c（a2-c2）=bc（b+c）,
所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）,
所以a2=b2-bc+c2+bc,所以a2=b2+c2.
所以△ABC是直角三角形.
独具【方法技巧】三角形形状的判断
（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.
（2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.
如asinA+bsinB=csinC?a2+b2=c2?sin2A+sin2B＝sin2C
19.【解析】在△CDB中，212＝202+312-2×20×31×cosB,解得cosB＝，
∴sin∠ACB＝sin(120°-B)＝.
设AD＝x，在△ABC中，由正弦定理
，∴x＝15.
答：这个人还要走15公里才能到达A城．
20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
所以
所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB
即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA
所以=2.
(2)由（1）知=2，所以有=2,即c=2a.
又因为△ABC的周长为5，所以b=5-3a
由余弦定理得：b2=c2+a2-2accosB
即（5-3a）2=(2a)2+a2-4a2×
解得a=1或a=5(舍去）
所以b=2.
21.【解析】由已知a2=b(b+c)
∴a2=b2+bc,移项得：b2-a2=-bc
由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,
移项得：2bccosA=b2-a2+c2
∴2bccosA=-bc+c2,2bcosA=-b+c
由正弦定理：2·2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC
2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B)
=-sinB+sinAcosB+sinBcosA
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
∴B=A-B或B+（A-B）=π（舍去）
即A与B满足的关系为A=2B
独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理.
22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为0
（2）由（1）知B=-A.于是
sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+).
因为0
2sin(A+)取最大值2．
综上所述，sinA-cos(B+)的最大值为2，此时A=,B=.
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排