初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第7课时：一元二次方程的解法（六）
教学目标：
1、知识教学点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．
2、能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．
3、通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．
教学重点：
熟练掌握用公式法解一元二次方程．
教学难点：
用配方法解一元二次方程．
教学步骤：
解一元二次方程有四种方法，四种方法各有千秋，究竟选择什么方法最适当是本节课的目标．在熟练掌握各种方法的前提下，以针对一元二次方程的特点选择恰当的方法或者说是用简单的方法解一元二次方程是本节课的目的．
一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法．
在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，符合形如（ax＋b）2＝c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的方程均适合用直接开平方法．直接开平方法为配方法奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单．
一、新课引入：
（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）3x2＝x＋4；
（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；
（3）（x＋3）（x-4）＝-6；
（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．
此组练习尽量让学生眼看、心算、口答，使学生练习眼、心、口的配合．
（2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点．
直接开平方法：适合于解形如（ax＋b）2＝c（a、b、c为常数，a≠0 c≥0）的方程，是配方法的基础．
配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法．
公式法：是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．
直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法．
二、新课讲解：
练习1．用直接开平方法解方程．
（1）（x-5）2＝36；（2）（x-a）2＝（a＋b）2；
此组练习，学生板演、笔答、评价．切忌不要犯如下错误
①不是x-a=a+b而是x-a=±（a+b）；
练习2．用配方法解方程．
（1）x2-10x-11=0；（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
配方法是解决代数问题的一大方法，用此法解方程尽管有点麻烦，但由此法推导出的求根公式，则是解一元二次方程最通用也是最常用的方法．
此练习的第2题注意以下两点：
（1）求解过程的严密性和严谨性．
（2）需分b2-4ac≥0及b2-4ac＜0的两种情况的讨论．
此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透．
练习3．用公式法解一元二次方程
练习4．用因式分解法解一元二次方程
（1）x2-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2；
解（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，
∵ （x-1）（3x＋2）＝0，
∴ x-1=0或3x+2=0．
如果将括号展开，重新整理，再用因式分解法则比较麻烦．
练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．
解：由题意得3x2＋6x-8＝2x2-1．
变形为x2＋6x-7=0．
∴ （x＋7）（x-1）＝0．
∴ x＋7＝0或x-1＝0．
即 x1＝-7，x2＝1．
∴ 当x＝-7，x＝1时，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等．
学生笔答、板演、评价，引导，强调书写步骤．
练习6．选择恰当的方法解下列方程
（1）选择直接开平方法比较简单，但也可以选用因式分解法．
（2）选择因式分解法较简单．
学生笔答、板演、老师渗透，点拨．
三、课堂小结：
（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．
（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．
四、作业
1．教材P．23中A3．
2．解关于x的方程．
（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，
（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．
4．（1）解方程
①（3x＋2）2＝3（x＋2）；
（2）方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程．
教学后记：初三数学教案
第十二章：一元二次方程：
第18课时：分式方程（二）
教学目标：
1、本节课使学生在学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之一．——行程问题，使学生正确理解行程问题的有关概念和规律，会列分式方程解有关行程问题的应用题．
2、本节课通过列分式方程解有关行程问题的应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求学生能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
列分式方程解有关行程问题．
教学难点：
如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住时间、路程、速度三者之间的关系，通过三者之间的关系的分析设出未知数和列出方程．
3．疑点：对于列分式方程解应用题，学生往往考虑到所解出的答案是否和题意相吻合，而认为可以不需要检验．通过本节的学习，使学生清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合．
教学过程：
在上一节课，我们已经学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，我们知道，我们现在所学习的理论是先人通过千百年的实践总结，概括出来的，我们学习理论是为了更好地解决实践当中所出现的问题．这一节课所学的内容就是运用上节课所学过的分式方程解法的知识去解决实际问题，关于本节内容，是学生在上节课所学过的分式方程的解法的基础上而学习的，所以点出由实践——理论——实践这一观点，能更加激发学生的求知欲，使得学生能充分地认识到学习理论知识和理论知识的运用同等重要，从而抓住学生的注意力，能使得学生充分地参与到教学活动中去．
为了使学生能充分地利用所学过的理论知识来解决实际问题，首先应对上一节课所学过的分式方程的解法进行复习，同时让学生回忆行程问题中的三个量——速度、路程、时间三者之间的关系，从而将学生的思路调动到本节课的内容中来，这样对于面向全体学生，大面积地提高教学质量大有益处．
一、新课引入：
1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的两种方法是什么？
2．在匀速运动过程中，路程s、速度v、时间t三者之间的关系是什么？
3．以前所学过的列方程解应用题的步骤有哪些？
通过对问题1的复习，使学生对前一节内容得到巩固，对问题2的复习给学生设定一种悬念，以抓住学生的注意力，对问题3的复习，使学生对于问题2的悬念有了一种初步的判断，以便于点题——本节课所学的内容．
通过对前面三个复习问题的设计，学生能充分的认识到本节所要学习的内容，再加上适时点题，完全地将学生的注意力全部地集中到教师身上，充分发挥教师的指导作用，并调动起学生的积极性，发挥学生的主体作用．
二、新课讲解：
例1 甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？
分析：（1）题目中已表明此题是行程问题，实质上是速度、路程、时间三者关系在题中的隐含．
（2）题目中所隐含的等量关系是：甲从张庄到李庄的时间比乙从
（3）如果设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，
解： 设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得
去分母，整理，得
x2+x-30=0．
解这个方程，得
x1=5，x2=-6．
经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根． 但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．
答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．
在本题中，采取的方法应为教师引导学生分析，列出方程以至于解出方程．在分析过程中和解题过程中，教师应强调单位的统一以及检验的位置．
例2 一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共5小时20分．已知水流速度为每小时3千米，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少？
分析：
（1）顺水速度=在静水中速度+水速
逆水速度=在静水中速度-水速
（2）题目中的相等关系：顺流航行时间+逆流航行时间=5小时20分．
（3）设小艇在静水中速度为x千米／小时，则顺流航行速度为x+3（千米／时），逆流航行速度为x-3（千米／时），小艇顺流航行63千
解：设小艇在静水中的航行速度为x千米／时，则顺流航行的速度为（x+3）千米／时，逆流航行的速度为（x-3）千米／时，根据题意，得
去分母，整理得
8x2-189x-72=0．
∴ x=24．
答：小艇在静水中的速度为24千米／时，顺流航行2小时20分，逆流回航3小时．
本题处理的方式应与上题相同．
巩固练习：
教材P.49中6题．
三、课堂小结：
对于本节小结，应该是学生在教师的指导下进行的．
本节内容的小结应从两个方面进行总结：
（1）本节课的内容是什么？
（2）关系到本节课内容的因素是什么？
本节课，我们在学习了分式方程基础上，来解决实际问题的应用之一——行程问题，而解行程问题的关键是将路程、时间、速度三者之间的关系运用到隐含在题目中的相等关系中去，以便列出方程而解决问题．
对于例2，教师应引导学生对同一类问题——在空中飞行问题进行思考和总结．
通过本节课内容的学习，可以充分地发挥教师的主导地位和学生的主体地位，从而可以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
四、作业：
教材P.50中 A4、5．
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第10课时：一元二次方程的根与系数的关系（一）
教学目标：
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2、培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律
教学重点：
根与系数的关系及其推导．
教学难点：
正确理解根与系数的关系．
教学过程：
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
一、新课引入：
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．
（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
二、新课讲解：
推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1
我们就可把它写成
x2+px+q=0．
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．
∴ 原方程可变为5x2-7x-6=0
学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
练习：教材P．34中2．
学习笔答、板书，评价，体会．
三、课堂小结：
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、作业：
1．教材P．35中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系
参考题目：
一、选择题(每题3分，共24分)
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、一元二次方程的两根的和、两根的积是( )
A、-6，2 B、-6，-2 C、-16， 2 D、6，-2
2、下列各组中，是一元二次方程x2-5x-14=0的两根的是( )
A、2，-7 B、2，7 C、-2，7 D、-2，-7
3、一元二次方程3x2-4x-6=0的两根是x1，x2那么的值是( )
A、 B、 C、- D、-
4、满足两实根和为4的方程是( )
A、x2+4x+6=0 B、x2-4x-6=0 C、x2-4x+6=0 D、x2+4x-6=0
5、方程4x2-8x+3=0的根的情况是( )
A、无实数根 B、一个正根一个负根 C、两不等正根 D、两个负根
6、在解一元二次方程时，甲抄错了一元二次方程的常数项，因而得出该方程的两个根是8与2，乙抄错了一元二次方程的一次项系数，因而得出该方程的两个根为-9与-1，那么正确的一元二次方程应该是( )
A、x2-10x+9=0 B、x2+10x+9=0 C、x2-10x+16=0 D、x2-8x-9=0
7、若方程x2+2kx+6=0 的两实根的倒数和是1，则k的值是( )
A、-3 B、 C、3 D、
8、如果x1、x2是方程2x2-4x+1=0的两个根，那么的值为( )
A、 B、3 C、4 D、6
二、填空题(每题3分，共18分)
1、方程x2-10x+20=0的两个根的和是_________，两个根的积是________
2、已知方程2x2-3x-4=0的两个根是α、β，__________, -α-β=_______
3、若方程y2+my+n=0的两个根是，则m=_______,n=______
4、设x1、x2为方程2x2-3x+m=0的两个实数根，且x1x2=-1，则m=_____
5、方程2x2-ax+b=0 的两根之比为3：2，则c的值为_____
6、已知方程4x2-12x+c=0的两根之比为3：2，则c的值为_______
三、设α、β是方程2x2+3x-1=0的两个根，不解方程，求下列各式的值(每题9分，共36分)
1、(α-1)(β-1) 2、α2+β(β-5α)
3、(α2+)(β2+) 4、α3+β3
四、解答下列各题(每题11分，共22分)
1、已知方程3x2+nx=有一个根是-3，求它的另一个根及n的值。
2、当m是什么值时，方程8x2-(m-1)x+m-7=0(1)二根互为倒数？ (2)二根互为相反数？ (3)一根为零？
教学后记：初一代数教案
第十二章：一元二次方程
第2课时：一元二次方程的解法 (1)
教学目标：
1、知道直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程，它的依据是数的开
方；
2、会用直接开平方法解形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程；
3、在把(x－a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的过程中，引导学生体会“换
元”的数学方法。
教学重点：
用直接开平方法解一元二次方程
教学难点：
怎样的一元二次方程适用于直接开平方法
教学过程：
一、新课引入：
要求学生复述平方根的意义。
(1)文字语言表示：如果一个数的平方的等于a，这个数叫a的平方根。
(2)用式子表示：若x 2=a，则x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
求适合等于x 2=4的x 的值。
说明：学生不难看出本题的解(x=2或x=－2)，教学中要注意引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。在求出方程 x2－4 = 0 的解以后，引导学生总结：解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用开平方的方法。这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转化为已知的，最终使问题解决。
二、新课讲解：
问题1 如果一元二次方程：aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？
(1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0
问题2 怎样解方程ax2 = 0？
(可以3x2 = 0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0。应指出3x2 = 0有两个相等的实数根，即x=0，x=0 ；这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的，进而指出：方程ax2 = 0有两个相等的实数根x=x=0)
问题3 怎样解方程ax2 + c = 0 (a≠0)？
可以(1) x2－4 = 0，(2) 2x2－50 = 0，(3) 2x2+50= 0等方程为例，由学生把它们变形为x2=－的形式，用平方根的定义来求解。接着指出：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，其中适合方程(3)的实数x不存在，所以原方程无实数解。
进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况：当a、c异号时，方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax2+c = 0没有实数根。
说明：以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有全面了解；通过对方程ax2 + c = 0 (a≠0)解的情况的讨论，体会分类的思想；最后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。
例题解析：
例1 课本例2
在讲解例1时注意：
1、对于形如“(x－a) 2=b (b≥0)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法
例2 不解方程，说出下列方程根的情况：
(1) 1－3x2 = 2x2；
(2) －4x2+1 = 0；
(3) －0. 5x2－2 = 0.
(通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况)
例2 解下列方程：
(1) (1－x)2 = 1；
(2) (1+x)2－2 = 0；
(3) (2x+1) 2+3 = 0；
(4) x2－2x+1= 4.
(渗透换元思想训练)
三、课堂练习：
教科书第7页练习第1题，第2题
四、课堂小结：
1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x 2=b (b≥0)；(x－a) 2=b (b≥0)。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规定了b≥0。当b﹤0时，方程无解。
2、求解形如x 2=b (b≥0)的方程，实质上是“求一个数x，使它的平方是b”，所以用“直接开平方法”；对于形如(x－a) 2=b (b≥0)的方程，只要把x+a看作一个整体X，就可转化为x 2=b (b≥0)的形式，这就是“换元”的方法
五、作业：
习题12. 1 A组第1、2题
补充题：
一、选择题（每题9分，共18分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
1、解是x=的方程是( )
A、x2+2=0 B、x2-2=0 C、x-2=0 D、(4x)2=2
2、若方程(x-4)2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是（ ）
A、m>6 B、m≥0 C、m≥6 D、m=6
二、填空题（每题9分，共18分）
1、若x=2是方程a2x2-x+1=0的一个解，则a的值是_________.
2、方程(x+2)2=8的根是______________.
三、用直接开平方法解下列方程（每题8分，共64分）
1、3x2-27=0
2、x2-
3、(2x+5)(2x-5)=144
4、2(x-2)2=50
5、(3x-1)2=
6、
7、3(
8、(a-x)2=a2+1
六、教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第22课时：由一个二元二次方程和一个可以分
解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（二）
教学目标：
1、使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
2、通过学习简单的二元二次方程组的解法，提高学生的分析问题、观察问题和综合运用知识解决问题的能力．
教学重点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学难点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组．
教学过程：
我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法．
关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
一、新课引入：
1、解二元二次方程组的基本思想是什么？
2、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？
法来解外，还有没有特殊的解法？应怎样去解？
4．解由一个二元二次方程组和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的二元二次方程组的方法是什么？其步骤怎样？
作为复习提问中的四个题目，对二元二次方程组中的基本内容作了复习，以便使学生能正确地利用这些基本知识解决本节课的实际内容．
二、新课讲解：
1．解下列方程组：
分析与答案：
解二元二次方程组，首先应分析方程组的特征，然后根据方程组的特征来确定解方程组的方法．
对于题目（1），方程②是一个二元一次方程，所以，方程组（1）可以用代入法来解．
对于方程组（2），符合用代入法解题的特点，可以采用代入法解
方程组的特殊解法，所以可以借助于解一元二次方程来解方程组．
既可以用代入法来解，也可以借助于一元二次方程来解，但要注意的是要检验．
对于方程组（4），由于方程①可以化成两个二元一次方程：
x＋y-1＝0，3x-y＋3＝0，它们与方程组中的方程②组合成两个方程组：
分别求解，从而求出原方程组的解．
对于方程组（5），由于方程①可以分解为：
x＋y＝0，x-y-5＝0，它们与方程②组成方程组：
分别求解，从而解出方程组的解．
2．解方程组：
分析：这个方程组是一个分式方程组，如果采用去分母，则很困难，仔细观察两个方程可知，方程中的分母分别为x2或x、y2或y，如果设
从而可解出原方程组的解为
3．解方程组
分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后，就可以得到形如ax2＋bxy＋cy2＝0的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以求出原方程组的解．
解：①-②×4，得
x2-5xy＋4y2＝0．
∴ x-y＝0或x-4y＝0．
∴ 原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为：
三、课堂小结：
这节课我们进一步学习了如何解二元二次方程组．一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法．如果发现方程组中的两个方程都不含有一次项的特征，可以采用消去常数项，依照题3的解法．
对于某些特殊的方程组，如无理方程组，或分式方程组，经过变形换元后，也可以转化为二元二次方程组的形式来解．要注意的是解这类方程组时要进行验根．
四、作业：
求下面两个方程组的解：
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第20课时：由一个二元一次方程和
一个二元二次方程组成的方程组（一）
教学目标：
1、使学生了解二元二次方程概念、二元二次方程的一般形式、二元二次方程组的概念；使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．
2、通过二元二次方程及二元二次方程组的定义的教学，提高学生判断能力；
3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的教学思想，从而提高分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组．
教学难点：
理解解二元二次方程组的基本思想．
教学过程：
由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解；在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次．
由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念，所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组，让学生进行分析和比较，得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法，使学生容易接受和理解新的知识．
关于本节课学习的用消元法解二元二次方程组，用消元法解方程组对学生来说并不陌生，学生在学习二元一次方程组的解法时，就是用消元法来解的．因此在进行本节教学时，通过教师的启发引导，学生分析二元二次方程组的特点，探求消元的方法．从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈，能调动学生学习的积极性，激发学生的学习情趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．
一、新课引入：
（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？
（3）解二元一次方程组有哪几种方法？
问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．
二、新课讲解：
我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．
关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容．
（1）二元二次方程及二元二次方程组
观察方程x2＋2xy＋y2＋x＋y＝6，此方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2．
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．
二元二次方程的一般形式是：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f＝0（a、b、c不同时为零）．其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项．
定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及由两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组．例如：
（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．
我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解．
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法．
例1解方程组
分析：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得y＝2x-1再代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解．
解：由②，得
y＝2x-1 ③
把③代入①，整理，得
15x2-23x＋8＝0．
解这个方程，得
把x1＝1代入③，得y1＝1；
所以原方程的解是
说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生完成解题过程．
巩固练习：
教材 P．64中1、2．
三、课堂小结：
关于本节的小结，教师引导学生共同总结．
本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解．
学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：
1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式．
2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程．
3．解一元二次方程或一元一次方程．
4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数．
5．写出方程组的解．
四、作业
教材P．65中1、2．
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第5课时：一元二次方程的解法 (4)
教学目标：
1、会熟练地运用求根公式解一元二次方程；
2、通过训练继续提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯。
教学重点：
用公式法解一元二次方程
教学难点：
用公式法解一元二次方程
教学过程：
一、新课引入：
1、 写出一元二次方程的一般形式、求根公式
()，
可要求学生说明：一元二次方程的一般形式中，为什么要；应用求根公式，为什么当时方程有解。
2、说出下列方程中、、的值：
(1)； (2)；
(3) ； (4)
这里没有要求先把方程化成的形式，而是直接说出方程中、、的值，以考察学生掌握知识的熟练程度。
二、新课讲解：
例1 课本第13页例7
分析：解一元二次方程，用求根公式的关键是确定、、的值，而在确定、、的值时，容易出错的地方是符号，因此，讲解时及时提醒学生注意。
解：，，
∴
∴
说明：这个方程有两个两个相等的实数根。对此，学生可能不易理解，可从解过程中加以说明：，
则；
可见这个方程有两个相等的实数根，都是；还可指出：如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么，从而为后续根与系数关系的教学做铺垫。
例2 课本第13页例8
解：，，
∴ ∵
∴，
例3 用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
说明：在已经学习的解一元二次方程的三种方法：——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便。因此，这里选用的方法主要是指直接开平方法和公式法。
解：(1)将原方程变形为：
∴
∴ ，
(2) 将原方程变形为
，，
∴
∴，
例4 解关于的方程：
说明：此例是解关于的方程。因此除了外，其他字母看作已知数，解这个方程。首先应先将原方程加以整理，化成关于的一元二次方程的一般形式，然后在的情况下，用求根公式计算。
解：展开，整理，得
，，
∴
∴，
三、课堂练习：
1、 课本第14页第1 (2)、(4)、(6)题，第2题
四、课堂小结：
1、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解决任何一个一元二次方程。
2、用公式法解一元二次方程，首先要把原方程化成一般形式，从而正确地确定、、的值；其次，通常应先计算的值。
五、作业：
课本习题12. 1A组第4题(5)、(6)小题，第5题
选作B组题第2(2)题
参考题目：
一、选择题（每题5分，共10分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
1、一元二次方程x2-px+q=0的两个根是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、当a≠0时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（ ）
A、ax2+bx+c=0 B、ax2-bx+c=0
C、ax2+bx=c D、ax2=bx+c
二、填空题（10分）
解方程（精确到0.01, ）
解:去分母，整理，得________________.
∵a=_______,b=______，c=________,b2-4ac=___________,
∴x=_______________.
∵ ∴______,_______
三、用公式法解下列方程，并且计算根的近似值（精确到0.01, ）(每题10分，共20分)
1、2x2-8x+5=0
2、x2-
四、解下列关于x的方程（每题5分，共20分）
1、3x2-5mx-2m2=0
2、(a2-b2)x2-4abx=a2-b2(a2-b2≠0)
3、x2+2ax+a2-b2=0
4、(x+a)(x-b)+(x-a)(x+b)=2a(ax-b)
五、选用适当方法解下列方程（每题5分，共20分）
1、(3x-)2=27
2、36x2+12x+1=0
3、4x2+4x-1=0
4、x(x+8)=16
六、解答下列各题（每题10分，共20分）
1、当x取何值时，代数式x2+3x-9的值与5-2x的值相等？
2、关于x的方程(2x-m)(mx+1)=(3x+1)(mx-1)有一个根为零，求m的值并求出另一个根。
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第23课时：小结与复习（一）
教学目标：
1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．
2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．
3、进一步培养学生快速准确的计算能力．
4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
一元二次方程的解法及判别式．
教学难点：
配方法．
教学过程：
本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式．
1．熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点，解法有四种，一种是直接开平方法，它以平方根的概念为基础．适合于形如（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0）类型的方程．第二种方法是配方法，用配方法推导求根公式，由此产生了第三种方法即公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法．第四种方法是因式分解法，适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程．由此可归纳出解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．
一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知值的取值范围．由此可以启发学生运用数学知识，提高分析问题和解决问题的能力．
一、知识点：
复习提问，总结12．1-12．3的内容．
启发引导，总结12．1-12．3节所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用．培养学生归纳、总结的能力．
二、课堂练习：
练习1．下列方程中，哪些是一元二次方程？
（2）（x＋3）（x-3）＝0；
（4）2x2-y＋2＝0；
（5）（2x-1）（x＋3）＝2x2＋1；
（6）（m-1）x2＋3mx-m＝0（m≠1的常数）．
学生口答，相互评价，强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整式方程．在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2．
练习2．写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）（3x-1）（x＋1）＝6-（x-2）2，
（2）关于x的方程kx2＋2kx＝x2-k-3（k≠1）．
学生笔答、板书、评价．
注意以下两点：
（1）必须将一元二次方程化成一般形式．
（2）二次项系数通常化为正数，各项系数包括它的符号．
练习3．解下列方程
（1）3x2-48＝0 （直接开平方法）；
（2）（x＋a）2＝225 （直接开平方法）；
（3）2x2＋7x-4＝0 （配方法）；
（4）2x2-x＝5 （公式法）；
（5）（3x-1）2＝6x-2 （因式分解法）；
（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0 （因式分解法）；
学生板书、笔答，教师点拨．
和学生一起回忆配方法和公式法的步骤，直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了“转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和因式分解达到“降次”．
练习4．选择适当方法解下列方程
（2）5x2-7x＋1＝0；
（3）4x2-5x＋1＝0；
（4）4（x＋2）2-9（x-3）2＝0．
分析：
用什么方法解方程，主要依据方程的特点．
（1）可用直接开平方法，也可用因式分解法．
（2）可用公式法和配方法．
（3）可采用因式分解法．
（4）可采用直接开平方法和因式分解法．
分析完毕，学生板书，笔答，评价．最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．
练习5．
1．求m为什么实数时，方程（m-1）x2-6x＋3＝0．
①有实数根；②没有实数根．
引导学生分析：由于二次项系数是m-1，当m-1＝0时，方程为一元一次方程；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论．
解：（1）当m-1＝0，即m＝1时，原方程为-6x+3＝0，
即当m=1时，方程有实数根．
当m-1≠0，即m≠1时，原方程的根的判别式为
Δ=（-6）2-4×3（m-1）＝48-12m，
由Δ=48-12 m≥0，得m≤4．
∴ 当m≤4且m≠1时原方程有两个实数根．
综上所述，当m≤4时，原方程有实数根．
（2）当Δ=48-12 m＜O，即m＞4时，原方程没有实数根．
2．求证：关于x的方程x2-（k＋4）x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根．
分析：利用“Δ”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，写出根的判别式的代数式，然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数k都有Δ＞0即可．
分析完毕，学生板书、笔答，评价．
三、课堂小结：
1．本节课复习的主要内容
2．通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法．
四、作业：
1、教材P．75中A11；A12（1）、（2）．
2、（1）已知：关于x的方程kx2+2（k-3）x+k+2＝0有两个实数根，求k的取值范围．（2）已知：a，b，c为一个三角形的三条边，且方程b（x2-1）-2ax＋c（x2+1）＝0有两个相等的实数根，求证这个三角形是直角三角形初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第13课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（二）
教学目标：
1、熟练地运用公式法在实数范围内将二次三项式因式分解．
2、通过本节课的教学，提高学生研究问题、解决问题的能力．
教学重点：
用公式法将二次三项式因式分解．
教学难点：
一元二次方程的根和二次三项因式分解的关系．
教学过程：
对于含有一个字母在实数范围内可分解的二次三项式，学生利用十字相乘法或用公式法可以解决．对于含有两个字母的二次三项式如何用公式法进行因式分解是我们本节课研究的目标．
本节课是上节课的继续和深化，上节课主要练习了利用公式法将含有一个字母的二次三项式因式分解，这节课研究含有两个字母的二次三项式的因式分解，实际上可设二次三项式为零，把一个字母看成是未知数，其它看成已知数，求出方程的两个根，然后利用公式法将问题解决．本节课较上节课有一定的难度．
通过本节课，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．上节课是本节课的基础，本节课是上节课的加深和巩固．
一、新课引入：
（1）如果x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c如何因式分解？
（2）将下列各式因式分解？
①4x2+8x-1；②6x2-9x-21．
二、新课讲解：
例1 把2x2-8xy+5y2分解因式．
解：∵ 关于x的方程2x2-8xy+5y2=0的根是
引导、板书，学生回答．
注意以下两个问题：
（1）把x看成未知数，其它看成已知数．
（2）结果不能漏掉字母y．
练习：在实数范围内分解下列各式．
（1）6x2-11xy-7y；（2）3x2+4xy-y2．
学生板书、笔答，评价．
注意（1）可有两种方法，学生体会应选用较简单的方法．
例2 把（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）分解因式．
分析：此题有两种方法，
方法（一）∵ 关于x的方程
（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0
∴ （m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]
=（mx-x-m）（mx-m-1）．
方法（二）用十字相乘法．
（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]
=（mx-x-m）（mx-m-1）．
方法（二）比方法（一）简单．
由此可以得出：遇见二次三项式的因式分解：
（1）首先考虑能否提取公因式．
（2）能否运用十字相乘法．
（3）最后考虑用公式法．
以上教师引导，学生板书、笔答，学生总结结论．
练习：把下列各式因式分解：
（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；
（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3．
解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=[mx-（m+1）][（m-1）x-m]
=（mx-m-1）[（m-1）x-m）]．（因式分解法）
（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3…第一步
=（x2+x-3）（x2+x+1）…第二步
（1）题用十字相乘法较简单．
（2）题第一步到第二步用十字相乘法，由第二步到第三步用公式法．注意以下几点：
（1）因式分解一定进行到底．
（2）当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解．当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可分解．
三、课堂小结：
启发引导、小结本节课内容．
1．遇见二次三项式因式分解．
（1）首先考虑能否提取公因式．
（2）其次考虑能否选用十字相乘法．
（3）最后考虑公式法．
2．通过本节课的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．注意以下几点；
（1）在进行2x2-8xy+5y2分解因式时，千万不要漏掉字母y．
（2）因式分解一定进行到不能再分解为止．
（3）对二次三项式ax2+bx+c的因式分解，当b2-4ac≥0时，它在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
四、作业：
1．教材P.39中A2（8）．
2．教材P.39中B1．
3．把下列各式分解因式：
（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；
（2）（x2+x）2-3x（x+1）-4．
参考题目：
一、选择题(20分)
将下题中唯一正确答案的序号填在题后括号内
在实数范围内把2x2+5xy-6y2分解因式的结果是
A、2(x+y)(x+y) B、2(x-y)(x-y)
C、 (x-y)(x-y) D、2(x－)(x-)
二、填空题(每题20分，共40分)
1、在实数范围内把x2-5xy+3y2分解因式的结果是_________
2、在实数范围内把2x2-4xy-5y2分解因式的结果是__________
三、把下列各式在实数范围内分解因式(每题20分，共40分)
1、-3x2-4xy+y2
2、2x2+7y(x-y)
选作题(每题10分，共20分，不记入总分)
把下列各式在实数范围内分解因式：
1、(x2+x)2-2x(x+1)-8
2、3x2(x2-x+1)-2x2+2x-2
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第11课时：一元二次方程的根与系数的关系（二）
教学目标：
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
教学重点：
一元二次方程根与系数关系的应用．
教学难点：
某些代数式的变形．
教学过程：
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用，本节课将学习如下两个问题中的应用：（1）不解方程，求某些代数式的值；（2）已知两个数，求作以这两个数为根的新的一元二次方程．
本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．
一、新课引入：
提问：什么是一元二次方程根与系数的关系？
二、新课讲解：
本节课我们继续学习它的应用
（1）不解方程，求某些代数式的值．
例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．
解： 设方程的两个根是x1，x2，那么
（1）∵ （x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．
教师板书，引导，学生回答，体会．
启发学生，总结以下两点：
1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
2．格式、步骤要求规范
第一步：求出x1+x2，x1x2的值．
第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．
第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．
练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；
（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．
学生板书、笔答、评价．
（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，
∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．
∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
解：所求方程是
教师引导、板书，学生回答．
练习：教材P.34中4．
学生笔答、板书、评价．
例 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：此题可以通过列方程求得．
但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．
解这个方程，得
教师板书，学生回答，评价，体会．
以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．
练习：教材P.34中5．
学生板书、笔答、体会、评价，教师引导．
通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．
三、课堂小结：
1．本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……
2．通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力．
四、作业：
教材P.35中A2、3、4；B1．
教材P.34中B2（学有余力的同学做）．
参考题目：
一、选择题(每题3分，共18分)
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
1、方程x2+2x+a=0的两根之差的平方等于16，那么a的值为( )
A、-3 B、-6 C、3 D、以上答案都不对
2、如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2：3，那么a、b、c之间的关系式应为( )
A、3b2-8ac B、a+b=c C、6b2=25ac D、5a2=9b2
3、已知方程2x2+mx-2m+1=0有一个正实根和一个负实根，那么m的取值是( )
A、m> B、m> C、m< D、m<0
4、已知方程2x2+kx-2k+1=0的两根平方和为4，则k的值是( )
A、2 B、-10 C、-10, 2 D、10, -2
5、两个根分别是(2+)(2-)的一元二次方程是( )
A、x2+4x+1=0 B、x2-4x+1=0 C、x2-4x-1=0 D、x2+4x-1=0
6、方程组 的解，即x、y的值恰是一个一元二次方程的两个根，则
这个一元二次方程为( )
A、x2+5x+6=0 B、x2-5x-6=0 C、x2+5x-6=0 D、x2-5x+6=0
二、填空题(每题3分，共18分)
1、若矩形的长和宽是方程4x2-12x+3=0的两根，则矩形的周长为_______,面积为________。
2、已知一矩形的周长为70，面积是300，则此长方形的长为______,宽为_______
3、以2、-5为根的一元二次方程是___________
4、两个根的和是4，两个根的积是-的方程是___________
5、若α+β=3，αβ=-9， 则以α、β为根的方程是___________。
6、两个数的和是7，积是8，则这两个数是___________和___________。
三、解答题(第1题20分，第2题32分，第3题12分，共64分)
1、求作一元二次方程，使它的两根分别是
(1)- (2) (3)- (4)
2、已知两个数满足下列条件，求出这两个数。
(1)两个数的和与积都是-4；
(2)两个数的和是6，积是-2；
(3)两个数互为倒数，它们的和是-2
(4)两个数的和是，积是
3、利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程3x2-x-10=0各根的(1)3倍；(2)负倒数。
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第17课时：分式方程（一）
教学目标：
1、本节课使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根．
2、使学生掌握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程；使学生理解转化的数学基本思想；
3、使学生能够利用最简公分母进行验根．
教学重点：
可化为一元二次方程的分式方程的解法．
教学难点：
教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．
教学过程：
在初二我们已经学过分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道了解可化为一元一次方程的分式方程的解题步骤以及验根的目的，了解了转化的思想方法的基本运用．今天，我们将在此基础上，来学习可化为一元二次方程的分式方程的解法．“12.7节”是在学生已经掌握的同类型的方程的解法，直接点出可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法相类同，及产生增根的原因，以激发学生归纳总结的欲望，使学生理解类比方法在数学解题中的重要性，使学生进一步加深对“转化”这一基本数学思想的理解，抓住学生的注意力，同时可以激起学生探索知识的欲望．
为了使学生能进一步加深对“类比”、“转化”的理解，可以通过回忆复习可化为一元一次方程的分式方程的解法，探求解可化为一元二次方程的分式方程的解法，同时通过对产生增根的分析，来达到学生对“类比”的方法及“转化”的基本数学思想在数学学习中的重要性的理解，从而调动学生能积极主动地参与到教学活动中去．
一、新课引入：
1．什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分化方程的方法与步骤是什么？
2．解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
3、产生增根的原因是什么？．
二、新课讲解：
通过新课引入，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程及其解法，类比地提出可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法相同．
点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量．
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力．
例1、解方程：
对于此方程的解法，不是教师讲解如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，雷同原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正．
解：两边都乘以x（x-1），得
4（x-1）-x=x（x-1）．
去括号，得
4x-4-x=x2-x．
整理，得
x2-4x+4=0．
解这个方程，得
x1=x2=2．
检验：把x=2代入x（x-1）=2x（2-1）≠0，所以x=2是原方程的根．
∴ 原方程的根是x=2．
虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中，需强调方程两边同时乘以最简公分母．另外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．
分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按x的降幂排列，所以将方程的分母作一转化，均为按字母x进行降幂排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
解：原方程就是
方程两边都乘以（x+2）（x-2），约去分母，得
（x-2）+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）．
整理后，得
x2-3x+2=0．
解这个方程，得
x1=1，x2=2．
检验：把x=1代入（x+2）（x-2），它不等于0，所以x=1是原方程的根，把x=2代入（x+2）（x-2）它等于0，所以x=2是增根．
∴ 原方程的根是x=1．
师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．
例3、解方程：
分析：此题也可象前面例1、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便
通过求出y后，再求原方程的未知数的值．
两边都乘以y，得
2y2-7y+6=0．
解得
当y=2时， ，去分母得：
x2-2x-1=0．
2x2+3x-1=0，
解得：
把代入原方程分母，各分母都不等于0，它们都是原方程的解。
∴ 原方程的根是
此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验．
巩固练习：教材P.49中1（2）、2引导学生笔答．
三、课堂小结：
对于小结，教师应引导学生做出．
本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行．
本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法．
此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．
四、作业：
1．教材P.50中 A1、2、3．
2．教材P.51中B1、2．
参考题目：
一、选择题(每题13分，共26分)将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、若方程有增根，则增根是( )
A、-2 B、2 C、±2 D、0
2、若解分式方程产生增根，则m的值是( )
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或2 D、1或-2
二、填空题(每题13分，共26分)
1、方程的最简公分母是________________。
2、解方程时，把它化为整式方程为___________。
三、解下列方程(每题24分，共48分)
1、 2、
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第21课时：由一个二元二次方程和一个可以分解为
两个二元一次方程的方程组成的方程组（一）
教学目标：
1、使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
2、解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，其基本思想仍是“消元”和“降次”，通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组．
教学难点：
正确地判断出可以分解的二元二次方程．
教学过程：
我们已经学习了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．由于这类方程组比较复杂，解法变化也很多，并且不是都可以化成一元二次方程来解．因而我们只学习其中一种较为特殊的方程组的解法．
由于由两个二元二次方程组成的方程组，形式复杂，解法变化也较多，并且并不是都可以转化为一元二次方程来解，所以通过直接点题，明确本节课的目标，让学生立即清楚本节的目标，使学生的注意力被吸引过来，有利于新内容的学习．
由于解由两个二元二次方程所组成的一类方程组的解法的基本思路仍是“消元”和“降次”，因此通过分析和例题的讲解，学生可以比较熟练地掌握这种类型的方程组的解法，同时，通过学生的练习，可以进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．
一、新课引入：
1、我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？
2、解二元二次方程组的基本思想是什么？
3、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？
5、把下列各式分解因式：
（1）x2-5xy＋6y2；（2）x2+2xy+y2-1．
（3）（x＋y）2-3（x＋2）＋2
关于问题设计的说明：
由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接受了第二种类型研究的要求．关于问题2的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题2让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题3、4是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题5的设计是为本节课的学习内容做准备的．
二、新课讲解：
例1 解方程组
分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元．我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组②的右边是0，左边x2-5xy+6y2是一个二次齐次式，并且可以分解为（x-2y）（x-3y），因此方程②可转化为（x-2y）（x-3y）＝0，即x-2y=0或x-3y＝0，从而可分别和方程①组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．
解：由②得
（x-2y）（x-3y）＝0，
x-2y＝0，或x-3y＝0．
因此，原方程组可化为两个方程组
解方程组，得原方程组的解为
说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．
例2 解方程组
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以发现方程②的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方数，因此将右边 16移到左边后可利用平方差公式进行分解，（x-y）2-42＝（x-y＋4）（x-y-4），即x-y＋4＝0或x-y-4＝0，从而可仿例1的解法进行．
解：由②得
（x-y）2-42＝0．
即x-y＋4＝0，或x-y-4＝0．
因此，原方程组可转化为两个方程组
解这两个方程组，得原方程组的解为
巩固练习：
1．教材P．67中（1）．此练习可让学生口答．
2．教材P．67中（2）．此题让学生独立完成．
三、课堂小结：
本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？
这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解．
关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法．
四、作业：
1、教材P．68中A1、2、3．
2、有能力的学生可做B1、2．初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第14课时：一元二次方程的应用（一）
教学目标：
1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．
2、通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题．
教学难点：
根据数与数字关系找等量关系．
教学过程：
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题．
本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性与必要性．
从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多．
通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去．
例1是已知两个连续奇数求这两个数的问题，讲清这个问题的关键是搞清楚“两连续奇数”的意义，能用代数式分别表示出两个连续奇数，问题就可以解决，启发学生用不同的方法去解，并加以对比，从而开拓思路．
一、新课引入：
列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．
（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）．
二、新课讲解：
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1．
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法．
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323．
整理后，得x2+2x-323=0．
解这个方程，得x1=17，x2=-19．
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17．
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1．
据题意，得（x-1）（x+1）=323．
整理后，得x2=324．
解这个方程，得x1=18，x2=-18．
当x=18时，18-1=17，18+1=19．
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17．
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1．
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323．
整理后，得4x2= 324．
解得，2x=18，或2x=-18．
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17．
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．
练习
1．两个连续整数的积是210，求这两个数．
2．三个连续奇数的和是321，求这三个数．
3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数．
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字．
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x．
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24．
答：这个两位数是24．
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价．
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验．
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．（35，53）
2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数．
引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会．
三、课堂小结
1．列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
2．奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数．
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字．
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字．
……
3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．
四、作业：
教材P.43中A1、2、3．初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一）
教学目标：
1、使学生理解二次三项式的意义；
2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；
3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。
教学重点：
用公式法将二次三项式因式分解．
教学难点：
一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．
教学过程：
二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．
公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．
一、新课引入：
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．
①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．
由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．
二、新课讲解：
．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．
①x2-2x+1=0；
解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．
∴ x1=x2=1，
②x2-5x+6=0；
解原方程可变为
（x-2）（x-3）=0
∴ x1=2，x2=3．
③6x2+x-2=0
解：原方程可变为
（2x-1）（3x+2）=0．
观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．
②推导出公式
=a（x-x1）（x-x2）．
这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．
③公式的应用
例1 把4x2+8x-1分解因式
解：∵ 方程4x2+8x-1=0的根是
教师板书，学生回答．
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．
练习：将下列各式在实数范围因式分解．
（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3
学生板书、笔答，评价．
解2 用两种方程把4x2-5分解因式．
方法二，解：∵ 4x2-5=0，
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．
练习：将下列各式因式分解．
（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；
（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．
（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
三、课堂小结：
（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．
（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．
四、作业
教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．
参考题目：
一、选择题(15分)
将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
在实数范围内把-4y2+8y-1分解因式的结果是( )
A、 B、
C、 D、
二、填空题(第1题10分，第2题15分，共25分)
1、在实数范围内把x2-6x+4分解因式的结果是__________
2、在实数范围内把6y2－2y-3分解因式的结果是________
三、把下列各式在实数范围内分解因式(每题15分，共60分)
1、-3x2+5x+1 2、2x2-4x+1
3、4x2+8x-3 4、3x2-2x-2
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第8课时：一元二次方程的根的判别式（一）
教学目标：
1、了解根的判别式的概念；
2、能用判别式判别根的情况．
3、进一步渗透转化和分类的思想方法．
教学重点：
会用判别式判定根的情况．
教学难点：
正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
教学过程：
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
一、新课引入：
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
二、新课讲解：
任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）∵ △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
∵ △＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
∴ 原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
∵ △＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
∴ 原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
学生板演、笔答、评价．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．
又∵ 不论k取何实数，△≥0，
∴ 原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
∵ 不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．
∴ 方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
三、课堂小结：
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、作业：
教材P．29中 A1—6．初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第4课时：一元二次方程的解法 (3)
教学目标：
1、知道求根公式与配方法、开平方法的联系；
2、会运用求根公式法解一元二次方程；
3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良
好的运算习惯。
教学重点：
求根公式的推导及用公式法解一元二次方程
教学难点：
对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解
教学过程：
一、新课引入：
用配方法解下列方程：
(1) x2 + ax = 1 (a≠0)
(2) x2 + 2bx + 4ac = 0
说明：由(1)配方得，开平方得。
引导学生对化简时的符号问题进行讨论，得出±，作为下面导出求根公式的铺垫之一。由(2)配方得，引导学生能否用开平方法求出x进行讨论；根据平方根的性质，只有在时才可以用开平方法求出x，作为下面导出求根公式的铺垫之二。
(设计以上问题可以分散难点，为顺利导出求根公式作准备)
二、新课讲解：
问题1 用配方法解方程
说明：复习提问的目的不只是求出方程的解，还在于使学生熟悉并掌握配方法解一元二次方程的过程。
移项，得
配方，得
解这个方程，得 即，
问题2 用配方法解方程 ()
因为，所以可以把方程的两边都除以二次项系数，
得
移项，得
配方，得 即
接着让学生讨论：此时可以用开平方法求解吗？
让学生充分发表意见后，教师指出：因为，所以，当时，可以用开平方法得
再让学生讨论吗？
(学生讨论，教师讲解：,但因为式子前面已有符号“±”，所以无论还是，最终结果总是)
所以 ，
这样我们就得到了一元二次方程 ()的求根公式：
说明：(1)用公式法解一元二次方程，实际上就是给出、、的数值，然后求代数式： 进行求值的运算。由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时注意、、的符号，讲究计算的正确性。
(2)在运用求根公式求解时，应先计算的值；当≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数根；当<0时，方程没有实数根。
例题解析：
例1 课本12页例5
说明：此例即问题1，前面已经用配方法解出：，下面再用求根公式求解。
解：，，
∴ ，
例2 课本13页例6
说明：用求根公式解一元二次方程，应先将方程化成一般形式，以避免计算时发生错误。
例3 解方程：
三、课堂练习：
1、 课本第14页第1(1)、(3)、(5)题
2、 解下列方程：(1)
(2)
四、课堂小结：
1、求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于，≥0，以及由，知等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。
2、应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成、、的数值以及计算的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。
五、作业：
课本习题12. 1第4题(1)、(2)、(3)、(4)小题，第7题
参考题目：
一、填空题（20分）
解方程5-3x2=2。
解：经移项，把方程化为一元二次方程的一般形式，并使二次项系数为正数得_____.
∵a=_______,b=______,c=_______, b2-4ac=__________,
∴x=_______________.∴x1=____________,x2=____________.
二、下列各方程的解法是否正确？错误的请指出错处，并改正过来（每题15分，共30分）
1、解方程3x2-7x-2=0
解：∵a=3，b=7，c=2，
b2-4ac=72-4×3×2=25，
∴x=
∴x1=-，x2=-2
2、解方程10y2-12y+1=0
解：∵a=10，b=-12，c=1
b2-4ac=(-12)2-4×10×1=104
∴y=
∴y1=，y2=
三、用公式法解下列方程（每题15分，共30分）
1、9x2+10x-4=0
2、
四、如果关于x的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a-2的各项系数之和等于3，求a的值并解此方程。（20分）
教学反馈：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第9课时：一元二次方程的根的判别式（二）
教学目标：
1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．
2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
3、通过例题教学，渗透分类的思想．
教学重点：
运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．
教学难点：
教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．
教学过程：
上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．
本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．
一、新课引入：
（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．
（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？
二、新课讲解：
将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：
例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（1）方程无实数根．
解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，
∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．
本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．
练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．
教师评价，纠正不精练的步骤．
假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？
练习2．已知：关于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．
和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．
解：∵ △＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有两个实数根．
学生板书、笔答，教师点拨、评价．
例 求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．
分析：将△算出，论证△＜0即可得证．
证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
∵ 不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．
∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．
∴ （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．
本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．
本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
此种题型的步骤可归纳如下：
（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；
（3）判断△的符号；（4）结论．
练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
学生板书、笔答、评价、教师点拨．
三、课堂小结：
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．
（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．
四、作业：
1．教材P．29中B1，2，3．
2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
参考题目：
一、选择题（每题4分，共24分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A、x2-9x+100=0 B、5x2+7x+5=0
C、16x2-24x+9=0 D、2x2+3x-4=0
2、下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A、4(x-1)2-49=0 B、(x-2)(x-3)+(3-x)=0
C、x2+(2+1)x+2=0 D、x(x-)+1=0
3、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、2x2-3x+5=0 B、3x2+4x=5
C、2x2-5x+2=0 D、4x2+25=20x
4、当4q>p2时，方程x2-px+q=0的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、不能确定有没有实数根
5、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程的个数是（ ）
(1)0.5x2-0.3=x (2)4x2-4x+5=0
(3)3x2-mx-1=0 (4)5x2-x+2=0
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、已知方程x2-x+=0，则它的根的情况是（ ）
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、无法确定实数根的个数
二、填空题（每题5分，共20分）
1、当△_______时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根；反之，当方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根时，必有________.
2、一元二次方程2x2-3x+4=0的根的判别式△的值是______,方程的根的情况是_________.
3、一元二次方程的根的判别式△的值是______,方程的根的情况是______.
4、一元二次方程4(x-2)2-4(x-2)+1=0 的根的判别式的值是________, 方程根的情况是_______.
三、不解方程，判断下列方程根的情况（每题7分，共56分）
1、x2+12x-14=0 2、4x2+13x+9=0
3、(2x-1)2+x(x+2)=0 4、3(x-2)=x2
5、4x2-3x=(x+1)2 6、(2x+5)2=x-1
7、 8、5y(y-3)=-1
选作题（每题10分，共20分，不计入总分）
1、当m为何值时，方程8mx2+(8m+1)x+2m=0，
(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
2、求证方程(k-1)x2+3kx+k+1=0(k≠1)必有两个不相等的实数。
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第24课时：小结与复习（二）
教学目标：
1、会列出一元二次方程解应用问题，
2、掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它解一些简单的问题．
3、结合复习，进一步提高学生的逻辑思维能力，进一步提高学生用数学的意识．
教学重点：
一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用．
教学难点：
根与系数关系的灵活应用．
教学过程：
本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程根与系数的关系及应用．
一元二次方程的根与系数的关系是指一元二次方程两根和与两根积和系数的关系，它在下面几方面有着广泛的应用．
1、已知方程的一根，求方程的另一根及k的值．
2、不解方程，求某些代数式的值．
3、已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
4、已知两数的和与两数的积，求这两个数．
5、二次三项式的因式分解．
……
运用根与系数的关系，还大大缩简了复杂的运算量，它的应用，启发学生领会数学知识，并能运用数学知识提高分析问题、解决问题的能力．
列一元二次方程解应用题，是一元二次方程解法的应用．在实际生活中，大量地存在着有关数字问题，体积面积问题，增长率、行程、浓度等问题，需要通过列一元二次方程来解决．一元二次方程的应用的学习，锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的能力，进一步提高了学生用数学的意识．由此培养了学生学习数学的兴趣．
一、知识点：
复习提问，小结12．4-12．6所学的知识点
二、课堂练习：
选择题
（1）以两数-2，5为根的一元二次方程是 [ ]
A．x2-3x-10＝0 B．x2-10x＋3＝0
C．x2＋3x-10＝0 D．x2-10x-3＝0
（2）方程x2-mx+m-2＝0有一个根为0，则m的值为 [ ]
A．m＝0 B．m＝1
C．m＝2 D．m＝3
那么k的值为 [ ]
解：（1）A，（2）C，（3）B．
练习2
根及k值．
（2）设x1，x2是方程4x2-8x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
由学生板书、笔答、评价，体会根与系数关系的应用．
练习3
1．已知：方程x2＋3x-2＝0，不解出这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．
分析：如果原方程的两个根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2．
则所求方程为y2-（2x1＋2x2）y＋2x1·2x2＝0只要求出x1＋x2，x1x2便可解出．
解：设原方程的两根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2．
又 ∵ x1+x2=-3，x1·x2＝-2．
∴ 2x1+2x2=-6，2x1·2x2=-8
∴ 所以所求作的方程．
y2-（2x1+2x2）y＋2x1·2x2＝0．
即 y2＋6y-8＝0．
教师板书，启发引导学生回答，规范书写步骤．
练习4
已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程
x2-（2m-1）x＋4（m-1）＝0的两个根，求m的值．
解：由根与系数的关系，得
a＋b＝2m-1，ab＝4（m-1）．
由题意，得a2＋b2＝52，即（a＋b）2-2ab=25，
∴ （2m-1）2-2×4（m-1）＝25．
m2-3m-4＝0．
解得m1＝4，m2＝-1．
当m2＝-1时，ab＜0不合题意舍去．
∴ m＝4．
引导学生回答，教师板书，注意以下两个问题．
（1）此题由根与系数的关系、勾股定理建立了一个关于m的一元二次方程，由此求得m的值．
（2）求得的m值，不但要保证方程有实数根，同时要保证题目有意义，即要保证a、b为正数．
练习3，练习4是在新授课中没有接触到的类型题，所以在此复习课中，教师可做例题讲解，它是根与系数关系与其它知识的综合运用．
练习5
将下列各式因式分解：
（1）4x2-8x-1；（2）2abx2＋（a2＋2b2）x＋ab．
学生练习，板书，评价．
学习了无理数之后，因式分解的范围就扩大到实数范围，用求根法因式分解，是分解二次三项式最基本方法．
三、课堂小结：
（1）本节课复习的基本的知识点
2．通过本节课的学习，进一步提高学生综合分析问题、解决问题的能力．通过数学知识的应用，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣．
四、作业：
1、教材 P．35B2 P．96A14、15、16．
2、教材P．78B2．
3、（1）不解方程2x2＋3x-1＝0，求作一个一元二次方程，使它的根是已知方程各根的平方的倒数．
（2）已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m4＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．
（2、3学有余力的同学做．）初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第19课时：分式方程（三）
教学目标：
1、本节课是在学生学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之二——解有关工作问题的应用题．
2、本节课的内容是列分式方程解有关工作问题的应用题，其解题思路、方法和解题步骤与前面学过的完全相同．本节内容通过对实际问题的剖析，可以进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
列分式方程解决工作问题．
教学难点：
在复杂的数量关系中，通过对题目的分析与综合，找出相等关系．为了解决教学难点，本节课应抓住工作量、工作时间和工作效率三者之间的关系，根据对这三者之间的关系的分析找出已知量和未知量，列出方程．
教学过程：
上一节课我们学习了分式方程的应用之一——行程问题，这一节课我们将进一步学习分式方程的应用之二——工作问题．关于工作问题，是我们所学过的理论更加直接地运用于是实践，解决实际方面的问题．对于本节课的内容，由于上一节课学生已经学习了分式方程的应用之一——行程问题，所以直接点出本节课所要学习的内容，能将学生的思路一下子拉回到本节的内容上，从而能激发出学生的求知欲，吸引学生的注意力，使学生完全地参与到用理论知识解决实际问题中去．
为了使学生比较自如地解决本节课的内容，首先应对上一节课所解决的实际问题进行简单的复习，使学生在解决有关行程问题时，抓住的关键有了进一步的认识，然后让学生回忆工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，这样立即就可以将学生的思路从上节课的行程问题引到本节课的工作问题中来，以便更好发挥学生的主体作用．
一、新课引入：
1．解决行程问题的关键是什么？应抓住哪些量的关系？
2．列分式方程解应用题，应如何看待所求出的解？
3．在工作问题中，工作量、工作时间、工作效率三者间的关系是什么？
4．（1）要挖960米长的渠道，如果每天挖x米，则几天可以挖完？
（2）对于某项工作，甲需8天完成，乙需6天完成，甲、乙合作两天，可完成多少工作量？
对于问题1的设计，主要目的是为了学生对上节课所学过的知识进一步巩固；问题2的设计为了纠正学生在解分式方程应用所经常出现的错误①检验的位置，②和实际相结合．问题3的设计为了设定一个悬念，以便学生的注意力更加集中，问题4的设计目的有两个，其一是解决学生悬念，另一方面使学生对工作问题有一个初步的了解；通过本节的例题分解，减小题目的难度．
通过对上面问题的设计，学生在课堂上可以比较轻松地完成教学任务，分散难点，抓住重点．
二、新课引入：
例1 某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务．原计划每天挖多少米？
分析：（1）本题中给出了三个量，分别是工作量，工作时间，工
（2）寻找题目中的相等关系，本题的相等关系比较明显
实际工作时间=原计划工作时间-4．（或其它表示相等关系式的等式）
（3）如果设原计划每天挖x米，那么实际开工后每天挖（x+20）
解： 设原计划每天挖x米，那么开工后每天挖（x+20）米，根据题意，得
去分母，整理得
x2+20x-4800=0．
解得：
x1=60，x2=-80．
经检验x1=60，x2=-80都是原方程的根．由于负数不合题意，舍去
∴ x=60．
答：原计划每天挖60米．
例2 一个水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池少用10小时；两管同时开放，12小时可把水池注满．若单独开放一个水管，各需多少小时能把水池注满？
分析：此题也是工作问题的应用题，对于水池中的水的多少，没有一个明确的量，在这种情况下，往往设总量为1．如果设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲管注满水池需（x-10）小时，单开
题的相等关系是：甲管注水12小时的水量+乙管注水12小时的水量=1．
解： 设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲管注满水池需（x-10）小时，根据题意，得
去分母，整理得
x2-34x+120=0．
解得
x1=30，x2=4．
经检验 x1=30， x2=4都是原方程的根．
当x=30时，x-10=20，
当x=4时，x-10=-6不合题意，舍去
∴ x=30，x-10=20．
答：单独开放一个水管注满水池，甲管需要20小时，乙管需要30小时．
这两个例题所采用的方法是：教师引导学生进行分析，找出相等关系列出方程，剩下的工作应由学生自行完成．在例2中，如果将问题改为只求单独开放乙管需多少时间，学生解出的方程的两个解均为方程的解，学生易产生两种答案的错误，这一点教师应给以强调．
巩固练习：
教材P.49中3、4、5．
三、课堂小结：
对于本节内容的总结，教师可以指导学生进行总结，总结的内容是分式方程在哪一方面的运用．
本节课学习的主要内容是分式方程的应用之二——工作问题，在解决工作问题时，要抓住“工作量、工作效率及工作时间”这三要素和它们之间的关系，如果问题中没有明确的工作量，一般应设总工作量为1．
通过本节课内容的学习，学生将所学过的知识用于解决实际问题，从而进一步地提高了学生分析问题和解决问题的能力．
四、作业
教材 P.51中 6、7．
参考题目：
一、A、B两地相距87千为米，甲骑车由A地出发向B地驶去。30分钟后，乙骑车由B地出发，以每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，在距B地45千米的C地与甲相遇。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？(14分)
二、甲、乙两组工人合并某项工作，4天以后，因乙组另有任务，剩下的工作由甲组独做，2天后才完成。已知独做这项工作甲组比乙组快3天完成，求各组独做这项工作所需的天数。(14分)
三、有一河流，其水流时速为1千米。现在有一船在河中往返于1.75千米的一段距离需用100分钟, 问此船在静水中的速度是多少 (14分)
四、校办工厂原计划用6立方米木材制作课桌椅若干套，由于改进了设计，每套课桌椅可节约立方米木材，因此就能多做3套，原计划做多少套？(14分)
五、一项工程，甲独做比乙独做少用5天，若甲乙两人合作，6天可以完成。问甲、乙单独去做，各需几天完成？(14分)
六、列车要在一定时间行840千米，但行驶到中点时被阻30分钟，为了按时到达，必须将原每小时的行驶速度增加2千米，问全程共用多少时间？(15分)
七、社区艺术节需用红纸花3000朵，某班集体同学自愿承担这批红纸花的制作任务。但在实际制作时，有10名同学因排练节目没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵。这个班级共有多少名同学？(15分)
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第25课时：小结与复习（三）
教育目标：
1、使学生进一步掌握用去分母法或换元法解可化为一元二次方程的分式方程，会验根，并会列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题；
2、使学生进一步掌握简单的二元二次方程组的解法．
教学重点：
简单的二元二次方程组，可化为一元二次方程的分式方程和无理方程的解法．
教学难点：
理解方程和方程组的基本思想，灵活地根据方程或方程组的特点选择解法，解分式方程和无理方程时能正确地验根．
教学过程：
我们已经学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，无理方程的解法，简单的二元二次方程组的解法，这一节课，我们将进一步复习、巩固这些知识．关于第二、第三单元内容的复习，由于内容较多，因此直接明确目标，使学生在头脑中有一个大概的内容，在复习过程中，精力更加容易集中．
本节课是在前面已学过可化为一元二次方程的分式方程的解法，可化为一元一次、一元二次方程的无理方程和简单的二元二次方程组的解法的基础上的小结复习课，因此通过对这些知识的复习、归纳、整理的同时，通过练习、指导、讲解相结合，学生能更加熟练、灵活地解可化为一元二次方程的分式方程、无理方程和简单的二元二次方程组，并能解相关的应用题，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
一、知识点：
复习提问：
1、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是什么？常见的解法有几种？应注意什么事项？
2、我们要掌握的二元二次方程组有几种类型？
3、解简单的二元二次方程组的基本思想是什么？我们学过哪些类型的二元二次方程组的解法？
4、列方程或方程组解应用题的步骤是什么？
关于复习提问中的五个问题，概括了第二单元、第三单元的基本内容，通过学生的回忆和解答，使学生进一步巩固了基础知识，为运用基础知识解决问题奠定了良好的基础．
二、例题和练习：
整理得2y2-3y＋1＝0．
x2＋x-6＝0．
解得x1＝-3，x2＝2．
3x2+2x-6＝0，
经检验：x1、x2、x3、x4都是原方程的根．
2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后，乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？
分析：如果设乙每小时走x千米，那么相遇前、后甲每小时分别走x千米、（x+1）千米，由于甲、乙所走过的路程相同，而时间差30分钟，另外，相遇前甲、乙的速度相同，且同时出发，所以相遇前甲、乙各走了路程的一半，而在各自剩下的一半路程中时间相差30分钟．
解：设乙每小时走x千米，则相遇前后甲每小时走x千米、（x+1）千米，由题意，得
去分母整理，得
x2+x-20=0．
解得x1=-4，x2=5．
经检验x1=-4，x2=5都是原方程的根．但x1=-4不合题意，舍去．所以x=5．
答：乙每小时走5千米．
对于3个题目，应在教师引导学生分析以后，学生独立完成．
巩固练习：
1、解下列方程：
2、解下列方程组：
三、作业
教材P76 12（3）、13（4）、23初一代数教案
第十二章 ：一元二次方程
第3课时：一元二次方程的解法 (2)
教学目标：
1、能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方”是一种常用
的数学方法；
2、会用配方法解数字系数的一元二次方程；
3、用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想
方法。
教学重点：
用配方法解一元二次方程
教学难点：
用配方法解一元二次方程
教学过程：
一、新课引入：
解下列方程：
(1) x 2 = 2； (用直接开平方法解)
(2) (x－2) 2 = 2； (只要把x－2看作X，直接开平方)
(3) x2－4x + 4 = 2； (把左边分解因式为(x－2) 2 )
(4) x2－4x + 2 = 0； (把等式左右两边都加2化归为(3)的形式)
(5) 3x2－12x + 12 = 2； (把等式左右两边都除以3化归为(3)的形式)
二、新课讲解：
问题1 如果把方程(x + 3) 2 = 2展开，就是x2 + 6x + 9 = 2或x2 + 6x =－7，x2 + 6x + 7 = 0，反过来，你能把这些方程化成(x + 3) 2 = 2吗？
说明：可设计如下流程：
(x + 3) 2 = 2
x2 + 6x + 9 = 2
x2 + 6x + 7 = 0
x2 + 2·x·3 =－7
x2 + 2·x·3 + 32 =－7 + 32
(x + 3) 2 = 2
从上面的程序可以看出，为了使x2 + 2·x·3成为完全平方式，在方程两边都加上32 ( 即一次项系数6的一半的平方)
问题2 如何把方程x2－3x－3 = 0变形，使它的左边是一个含有x的式子的平方、右边是一个非负数？
说明：由于x的一次项系数是奇数，因此“配方”时学生会感到困难。教师可引导学生观察问题1中方程两边加上一个数与一次项系数的关系——方程两边各加上一次项系数的一半的平方，然后让学生尝试把方程x2－3x－3 = 0配方，并与公式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2进行比较，从而使学生在知识发生的探索过程中，发现规律。
问题3 (1)用配方法解方程2x2 + 2. 5x－0. 5 = 0；
(2)尝试将方程2x2 + 5x－1 = 0的左边配方
说明：以上两个问题有着紧密的联系：第1题既是进行配方法的技能训练，又为解决第2题作铺垫。引导学生找到通过“配方”解方程2x2 + 5x－1 = 0的方法，从而总结出配方法解方程的一般步骤：
(1) 先将已知方程化为一般形式，再将左边的二次项系数化成1的形式，并把常数项移到方程的右边；
(2) 要在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(3) 当方程右边的常数是非负数时，用直接开平方法求解。
例题解析：
例1 课本例3
例2 课本例4
例1、例2讲解，不仅要会利用“配方法”求出一元二次方程的解，更要引导学生掌握“配方的方法。同时对学生易犯的错误应有针对性评讲。
例3 解下列方程：
(1) 4x2 + 4x + 1 = 0 ；
(2) x2 －2x－5 = 0 ；
(3) －x2 + 2x－5 = 0
(设计本例，是为了强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识)
三、课堂练习：
P第10页练习第1题，第2题(1)、(4)
四、课堂小结：
1、配方法的基本步骤：一、先将已知方程化为一般形式，再将左边的二次项系数化成1的形式，并把常数项移到方程的右边；二、要在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式；三、当方程右边的常数是非负数时，用直接开平方法求解。这里第二步是关键也是难点。
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法。但是由于配方的过程常常要进行繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际很少运用。
五、作业：
习题12. 1 A组第3题
参考题目：
一、选择题（每题10分，共20分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、把方程x2-6x+5=0化成(x+m)2=n 的形式，m、n的值是（ ）
A、m=3，n=4 B、m=-3，n=-4
C、m=4，n=3 D、m=-3，n=4
2、把方程化成(x+m)2=n的形式得（ ）
A、(x2-)2= B、(x2-)2=
C、(x2-)2= D、(x2-)2=
二、填空题（每题5分，共20分）
1、x2-5x+_______=(x-_____)2
2、x2+4x+______=(x+_____)2
3、x2+_______=(x+____)2
4、x2-______=(x-_____)2
三、用配方法解下列方程（每题15分，共30分）
1、2x2-6x+3=0
2、x2-5ax+6a2=0
四、已知y=-x2+5x-4，当x取何值时y=0 当y=2时x取何值 (30分)
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第1课时：一元二次方程
教学目标：
1、知道整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；
2、知道一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )，能熟练的
把一元二次方程整理成一般形式；
3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型
教学重点：
一元二次方程的意义及一般形式。
教学难点：
正确识别一般式中的“项”及“系数”
教学过程：
一、新课引入：
1、 提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：
(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长。
(2)一个数比另一个数小，且两数之积为0，求这个数。
(3)一个数的平方的－倍与－2的和等于2，求这个数。
(4)一个矩形的长比宽多5 cm，面积为150 cm2，求这个矩形的宽。
设所求的量或数为 x ，可得如下方程：
(1) 2x2 = 31 (2) x ( x +) = 0
(3) －x2 －2 = 2 (4) x ( x + 5 ) = 150
然后将上述方程改写成：
(1) 2x2－31 = 0 (2) x2 + x = 0
(3) － x2 －4 = 0 (4) x2 + 5x－150 = 0
2、 什么叫整式方程？怎样的方程叫一元一次方程？试举例说明。
( 方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫作一元一次方程)
二、新课讲解：
问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？
( 学生分组讨论，然后各组交流 )
(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式：
aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )
问题2 下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？
(1) 3x + 2 = 5x－3 (2) x2 = 4
(3) ( x－1 )( x－2 ) = x2+ 8 (4) ( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2
(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程)
说明：通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。
问题3 为什么在一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0中，二次项系数不为0呢？
说明：方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件。如果所研究的问题中，明确指出方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0。若没有特别说明，方程aX2 + bX + c = 0既可能是一元二次方程( 当a≠0时) ，也有可能是一元一次方程( 当a = 0且b≠0时)。
例题解析：
例1 把方程( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
解： 2x2 + x－16 = 0
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是－16。
一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
例2 当 a、b、c 满足什么条件时，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？当a、b、c 满足什么条件时，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元一次方程？
本题供学有余力的同学讨论。当a = 1时是一元二次方程；当a=1，b≠0时是一元一次方程；
三、课堂练习：
教科书第5页练习第1题，第2(2)题
四、课堂小结：
1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”，
2、一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
作业：
课本第5页练习第2(2) 题
补充题：
一、选择题(40分)
将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
下列方程是一元二次方程的是( )
A、 B、(x+2)(x-3)x=3x2+
C、(x+1)(x2-x+1)=x3-x2 D、(2x2-1)2-1=0
二、解答题(每题30分，共60分)
1、把下列各题化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项、一次项及常数项；
(1)()()=(y-2)2；
(2)(x+a)2+2(x+a)(2x+c)=b2
2、对于方程x2-mx(2x-m-1)=0，当m为何值时，是一元二次方程？
教学后记：初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第15课时：一元二次方程的应用（二）
教学目标：
1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．
教学重点：
会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
教学难点：
找等量关系．
教学过程：
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关面积和体积方面的实际问题．
本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．
从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节课的内容是关于面积、体积的实际问题．
通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想．
一、新课引入：
（1）列方程解应用题的步骤？
（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？
二、新课讲解：
例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，
据题意：（19-2x）（15-2x）=77．
整理后，得x2-17x+52=0，
解得x1=4，x2=13．
∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．）
答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子．
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．
（1）因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．
（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去．
（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．
练习1．章节前引例．
学生笔答、板书、评价．
练习2．教材P.42中4．
学生笔答、板书、评价．
注意：全面积=各部分面积之和．
剩余面积=原面积-截取面积．
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？
分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程．
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
据题意，6x（x+5）=750，
整理后，得x2+5x-125=0．
解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）．
当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0．
答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮．
引导，学生板书，笔答，评价．
三、课堂小结：
1、有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系．
2、要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负．
3、进一步体会数字在实践中的应用，培养分析问题、解决问题的能力．
四、作业：
教材P.43中A4、5、6、7．
教材P.43中B1．初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第16课时：一元二次方程的应用（三）
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关增长率问题．
教学难点：
有关增长率之间的数量关系．
教学过程：
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是本节课要研究的一元二次方程的应用——有关增长率的应用题．
本小节是一元一次方程的应用的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．
从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；日常生活及生产实际中经常遇到增长率，下降率及求百分率问题，列一元二次方程就可以解决这方面的问题．
通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想，方程的思想．
一、新课引入：
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
二、新课讲解：
例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x．
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）．
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（吨）．
解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
取x=0.2=20％．
教师引导，点拨、板书，学生回答．
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
练习1．教材P.42中5．
学生分析题意，板书，笔答，评价．
练习2．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1．）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（a（1+x）2=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1．）
以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n．
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力．
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x
=600（1-x）2（元）．
解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降价为20％．
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结．
引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．
四、作业
教材P.43中A8；B2．
参考题目：
一、选择题(每题15分，共30分)
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( )
A、9% B、10％ C、11％ D、12％
2、一工厂计划1999年的成本比1997年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15%
C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%
二、填空题(每题15分，共30分)
1、某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设它们每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
2、某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_____________
三、列方程解应用题(40分)
某公司向银行贷款20万资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%。该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余6.4万元，若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
教学后记：
