泉州七中2022-2023学年度下学期高二年数学期末考试卷
时间：120分钟
满分：150分
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设全集U={0,1,2,4,6,8,集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN=()
A.{0,2,4,6,8
B.{0,1,4,6,8}
C.{1,2,4,6,8}
D.U
2.若复数z=3-41,
则名
=()
A.+
B.
C.-+
D.--
3.己知函数f(x)=
+1)5,x之1则当0x2+2,x≤1，
A.-270
B.-216
C.216
D.270
4.函数fx)=
2x-cosx的部分图象大致为()
2x+1
"产A
5.某高校有智能餐厅
工餐厅B,甲第
天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A
餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6：如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概
率为0.8.则甲第二天去A餐厅用餐的概率为()
A.0.75
B.0.7
C.0.56
D.0.38
6.已知双曲线C:三-：=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+
(y-3)2=1交于A,B两点，则AB1=()
A晋
B.25
5
c.5
D.45
7.
已知正实数a,b满足a+行=2，则2ab+的最小值是()
A.2
B.3
c.3
D.22+1
8.对于定义在区间D上的函数f(x),若满足：x,x2∈D且x则称函数f(x)为区间D上的“非减函数”，若f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”，且
f(2)=2,f(x)+f(2-x)=2,又当x∈
2].s2-)恒成立下列
题中正确的有()
A.f()=0
B.e2.
fx)<1
ce引
f(x)>1
D.x∈[0，，f(f(x)∈[0，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知5个成对数据(x,y)的散点图如下，若去掉点D(4,3),则下列说法
4
正确的是()
4,2,3
D4,3)
A.变量x与变量y呈负相关B.变量x与变量y的相关性变强
C3,2.5)
C.样本相关系数r变小
D.样本相关系数r变大
E5,)
T放你】An
r
10.已知实数a,b,c满足22=log2b=。则下列关系式中可能成立的是()
A.b=c>a
B.c=a>b
C.b>c>a
D.c>b>a
11.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别为棱AB,BC上的中点，过
E,F的平面α与底面ABCD所成的锐二面角为60°，则正方体被平面a所截的截
面形状可能为()
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
12.已知定义在R上的函数f0x),K,y∈R,fx)0y)=+y)+2=义，且f0x)≠0，则下述
3
结论中正确的是()
A.f0)=1
B.若f1)=1,则f(2024)=2024
C.f(x)是偶函数
D.3x∈R,fx)=-2
三，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上
13.已知向量a=(1,2),6=(3,x),与+6共线，则后-=一
14.某工厂生产一批零件（单位：cm),其尺寸服从正态分布N(山，o2),且PG≤14）=0.1，
P(飞<18)=0.9，则μ=-
15.已知随机事件A,B,P(A)=子P(B)=子P(AB)=子则PA)=泉州七中 2022-2023 学年度下学期高二年数学期末考试卷答案（解析版）
时间：120 分钟 满分：150 分
一 单选题：共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设全集 U = {0,1,2,4,6,8}，集合 M = {0,4,6}，N = {0,1,6}，则 M ∪ UN = ( )
A. {0,2,4,6,8} B. {0,1,4,6,8} C. {1,2,4,6,8} D. U
【答案】A
【解答】M = {0,4,6}， UN = {2,4,8}，M∪ UN = {0,2,4,6,8}，故选 A．
z
2.若复数 z = 3 4i，则 = ( )
|z|
A. 3+ 4 i B. 3 45 5 5 5 i C.
3 + 45 5 i D.
3
5
4
5 i
【答案】A
z 3 4
【解答】复数 z = 3 4i，则z = 3 + 4i，|z| = 32 + ( 4)2 = 5，所以|z| = 5 + 5 i.
5
3.已知函数 f(x) = (x + 1) , x > 1,2 则当 0 < x < 1 时，f(f(x))的展开式中x
4的系数为( )
x + 2, x ≤ 1,
A. 270 B. 216 C. 216 D. 270
【答案】D
【解答】当 0 < x < 1 时，f x = x2 + 2 ∈ 2,3 ，所以 f(f(x)) = f x2 + 2 = x2 + 3 5，
二项式 x2 + 3 5展开式的通项公式为T = Cr x2 5 r3r = Crx10 2rr+1 5 5 3r，
由 10 2r = 4，得 r = 3，所以 f(f(x))的展开式中x4的系数为C3335 = 270．故选：D．
x
4. 函数 f(x) = 2 +12x 1 cos x的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】B
x x
【解答】函数的定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，因为 f( x) = 2 +1 1+22 x 1 cos( x) = 1 2x
x
cosx = 2 +12x 1 cosx = f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除选项 A和 D；
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
令 f(x) = 0，则 x = π2 + kπ，k ∈ Z
π
，所以在 y轴右侧，函数 f(x)的第一个零点为 x = 2，
2+1
不妨取 x = 1，则 f(1) = 2 1 cos1 > 0，即选项 B正确，选项 C错误．故选 B．
5. 某高校有智能餐厅 A、人工餐厅 B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去 A
餐厅，那么第二天去 A餐厅的概率为 0.6；如果第一天去 B餐厅，那么第二天去 A餐厅的概
率为 0.8.则甲第二天去 A餐厅用餐的概率为( )
A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38
【答案】B
【解答】设A1 =“第 1天去 A餐厅用餐”，B1 =“第 1天去 B餐厅用餐”，A2 =“第
2天去 A餐厅用餐”，则Ω = A1 ∪ B1，且A1与B1互斥．
根据题意得：P(A1) = P(B1) = 0.5，P(A2|A1) = 0.6，P(A2|B1) = 0.8，
由全概率公式，得：P(A2) = P(A1)P(A2|A1) + P(B1)P(A2|B1) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.8 =
0.7．故答案选：B．
2 2
6. x y已知双曲线 C： 2 2 = 1 (a > 0, b > 0)的离心率为 5，其中一条渐近线与圆(x 2)2 +a b
(y 3)2 = 1 交于 A，B两点，则|AB| = ( )
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5
5 5 5 5
【答案】D
c
【解答】由题知 e = a = 5，即 c = 5a，故 b = 2a，∴双曲线 C的渐近线为 y =± 2x，
圆心 2,3 到直线 y = 2x的距离 d = 4+3 = 7 5 > 1，故直线 y = 2x与圆相离，5 5
圆心 2,3 到直线 y = 2x d = |4 3|的距离 5 =
5 < 1，满足题意，5 ∴ AB = 2 1 d
2 =
4 5．
5
故选 D．
7. 已知正实数 a，b满足 a + 1b = 2
1
，则 2ab + a的最小值是( )
A. 52 B. 3 C.
9
2 D. 2 2 + 1
【答案】A
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
∵ a b a + 1【解答】 正实数 ， 满足 b = 2，∴ ab + 1 = 2b，∴ ab = 2b 1，∴ 2ab +
1
a = 4b +
1 2 = (4b + 1 )(a + 1a a b ) ×
1
2 2 = (4ab +
1 1
ab+ 5) × 2 2 ≥ (2 4 + 5) ×
1
2 2 =
9
2
2 = 5 2 3 1 52，当且仅当 a = 3，b = 4时，取等号，∴ 2ab + a的最小值是2，故选：A.
8. 对于定义在区间 D 上的函数 f x ，若满足: x1，x2 D且 x1 x2，都有 f x1 f x2 ，
则称函数 f x 为区间 D 上的“非减函数”，若 f x 为区间 0,2 上的“非减函数”，且
f 2 2， f x f 2 x 2 3 ，又当 x , 2 时， f x 2 x 1 恒成立，下列命 2
题中正确的有( )
A. f 1 0 B. x 3 0 , 2 ， f x0 1 2
C. 3 x 0 1, ， f x0 1 D. x 0,1 ， f f x 0,1 2
【答案】D
f x f 2 x 2
【解答】对于 A，由 ，令 x 1 f 1 f 1 2 f 1 1，则有 ，故 A
不正确；
3 f 3 3 3x
3
对于 B，当 0 时，2 2
2 1 1，又 f f 1 1，所以 f 1，由题意
2 2 2
x 3 ,2 f x f 3 2 4 ，
1，故 B不正确；B． f f2 2 3 3
2，
3 3
由 B知， f 1 1， f 1，由题意可知当1 x 时， f x 1，故 C不正确；
2 2
对于 D，当 x 0时，f 0 f 2 2 f 0 0，又 f 1 1，所以 0 x 1时，0 f x 1，
所以 f f x 0,1 ，故 D正确；
综上，选 D．
二 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 5个成对数据(x, y)的散点图如下，若去掉点 D(4,3)，则下列说法
正确的是( )
A. 变量 x与变量 y呈负相关 B. 变量 x与变量 y的相关性变强
C. 样本相关系数 r变小 D. 样本相关系数 r变大
【答案】ABC
【解答】因为从散点图可分析得出：变量 x与变量 y呈负相关，故 A正确;
只有 D点偏离直线远，去掉 D点，变量 x与变量 y的线性负相关性变强，所以相关系
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
数的绝对值变大，样本相关系数变小，故 BC正确，D错误.
故选 ABC.
10. 已知实数 a，b，c满足2a = log2 b =
1
c，则下列关系式中可能成立的是( )
A. b = c > a B. c = a > b C. b > c > a D. c > b > a
【答案】ACD
【解答】因为2a = log2b =
1
c，令y1 = 2
x，y2 = log
1
2x，y3 = x，
记y1 = 2x
1
与y3 = x交点纵坐标为 m，y2 = log2x
1
与y3 = x交点纵坐
标为 t，
当 y = t时，A正确；当 y = m时，B错误；
当 t < y < m时，C正确;当 0 < y < t时，D正确．
故选 ACD．
11.已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F分别为棱 AB，BC上的中点，过
E，F的平面α与底面 ABCD所成的锐二面角为 60°，则正方体被平面α所截的截
面形状可能为( )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】AD
【解答】设正方体的棱长为 1，若平面α所截的截面与棱 BB1相交，设交点为 G，如图 1
所示：连接 BD，交 EF于 H，连接 GH，根据正方体的结构特征知，
EF ⊥平面 BGH，BH, GH 平面 BGH，所以 EF ⊥ BH，EF ⊥ GH，∠BHG
是过 E，F的平面α与底面 ABCD所成的锐二面角的平面角，
在 Rt △ BHG中，∠BHG = 60°，BH = 14BD =
2，
4
所以 BG = BHtan60° = 2 64 × 3 = 4 < 1，可见 G确实在棱 BB1
上，这时截面为三角形；
若平面α所截的截面与棱 DD1所在直线相交，设交点为 G，如图 2所示：
与上面同理可知，DG = DHtan60° = 3 24 × 3 =
3 6
4 > 1，
这时 G在线段 DD1的延长线上，根据正方体的结构特征以及平面平行
的性质，知：这时平面α与棱 CC1，C1D1，D1A1，AA1的交点是它们各
自的中点，分别为 M，P，Q，N，这时截面 EFMPQN为正六边形．
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
故选 AD．
12.已知定义在 R上的函数 f(x) x y ∈ R f(x+y)+2f(x y)， ， ，f(x)f(y) = 3 ，且 f(x) ≠ 0，则下述
结论中正确的是( )
A. f(0) = 1 B. 若 f(1) = 1，则 f(2024) = 2024
C. f(x)是偶函数 D. x ∈ R，f(x) = 2
【答案】AC
f(0)+2f(0)
【解答】令 x = 0，y = 0，则f2(0) = 3 = f(0)，因为 f(x) ≠ 0，所以 f(0) = 1，
A正确;
y = x f2(x) = f(2x)+2f(0)令 ，则 3 ，所以 f(2x) = 3f
2(x) 2f(0) = 3f2(x) 2，
所以 f(2x) 1 = 3[f2(x) 1] = 3[f(x) 1] [f(x) + 1]，
若 f(1) = 1，则 f(2) = 1，f(4) = 1，f(8) = 1， ，f(2024) = 1，B错误;
x = 0 f(0)f(y) = f(y)+2f( y)令 ，则 3 ，即 3f(y) = f(y) + 2f( y)，
所以 f(y) = f( y)，f(x)是偶函数，C正确;
因为 f(x) ≠ 0，所以 f(2x) = 3f2(x) 2 > 2，所以 x ∈ R，f(x) > 2，D错误．
故选 AC．
三 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量 a = (1,2)， b = (3, x)， a 与 a + b 共线，则| a b | = ．
【答案】2 5
【解答】由题意知， a + b = (4,2 + x)又因为 a //( a + b )，所以 1 × (2 + x) = 2 × 4，所
以 x = 6，所以 b = (3,6)，所以 a b = ( 2, 4)，所以| a b | = ( 2)2 + ( 4)2 =
2 5．
14.某工厂生产一批零件(单位：cm)，其尺寸ξ服从正态分布 N(μ, σ2)，且 P(ξ ≤ 14) = 0.1，
P ξ < 18 = 0.9，则μ = ．
【答案】16
【解答】∵ ξ N(μ, σ2)，P(ξ ≤ 14) + P(ξ < 18) = 0.1 + 0.9 = 1，∴ P(ξ ≤ 14) = 1
P(ξ < 18) = P(ξ ≥ 18) ∴ μ = 14+18， 2 = 16．
15. 已知随机事件 A，B，P(A) = 13，P(B) =
1 3
4，P(A|B) = 4，则 P(B|A) =_________.
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
7
【答案】16
P(A|B) = P(AB) = 3 P(AB) = 3 P(B) = 3 × 1 = 3【解答】依题意得 P(B) 4，所以 4 4 4 16
3
P(AB) 9 7
故 P(B|A) = 16P(A) = 1 = 16，所以 P(B|A) = 1 P(B|A) = 16 .
3
7
故答案为16 .
16.已知函数 f(x)定义域为(0, + ∞)，f(1) = e，对任意的x1，x2 ∈ (0, + ∞)，当x2 > x1时，
f(x ) f(x ) ex2 ex
有 1 2
1
x x > x x (e是自然对数的底).若 f(lna) > 2e alna，则实数 a的取值范围1 2 1 2
是 ．
【答案】 1, e
【解答】令 F x = f x + xex，因为函数 f(x)定义域为(0, + ∞)，且对任意的x1，x2 ∈ (0, +
∞) x > x f(x1) f(x )
x x
，当 22 1时，有 x x >
e 2 e 1x x ，1 2 1 2
所以对任意的x1，x2 ∈ (0, + ∞)，当x2 > x1时，有 f(x1) + x ex1 > f(x ) + x ex1 2 2 2，
即为 F x1 > F x2 ，所以函数 F x 是(0, + ∞)上的减函数，
由 f(lna) > 2e alna，得 f lna + alna > 2e，且 f(1) = e，则 F(1) = 2e，
所以 F lna > F 1 ，因此由函数 F x 是(0, + ∞)上的减函数得 0 < lna < 1，解得 1 <
a < e，则实数 a的取值范围是 1, e ．故答案为： 1, e ．
四 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 10 分） 已知函数 f(x) = ax a x(a > 0,且 a ≠ 1)，且 f(1) = 32 .
(1)求 a；
(2)若 f(2t) + f(t 1) < 0，求 t的取值范围．
解：(1)因为 f(1) = 3，所以 a 1 = 3，即 2a22 a 2 3a 2 = 0，…………2分
a = 1所以 2，或 a = 2，又因为 a > 0，且 a ≠ 1，所以 a = 2.…………4分
(2) 1由(1)得 a = 2，所以 f(x) = 2x 2x，
1
因为 y = 2x和 y = 2x在 R上是增函数，所以 f(x)在 R上是增函数，…………5分
f( x) = 2 x 1 = (2x 1又因为 2x 2x ) = f(x)，所以 f(x)为奇函数，…………6分
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
因为 f(2t) + f(t 1) < 0，所以 f(2t) < f(t 1) = f(1 t)，…………8分
所以 2t < 1 t，所以 t < 13，即 t的取值范围是( ∞,
1
3 ). …………10分
18.（本题满分 12 分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它
是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10个相互独立的程序题目组成．规
则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从 10个不同的题目中随机选择 3
个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知
10个程序中，甲只能正确完成其中 6个，乙正确完成每个程序的概率为 0.6，每位选手每次
编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数 X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
解：(1)记事件 A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为 0.6，
则 P(A) = C23 × 0. 62 × (1 0.6) + (0.6)3 = 0.648；…………4分
(2)甲编写程序正确的个数 X的可能取值为 0，1，2，3，
3 2 1 1 2 3
P(X = 0) = C4 = 1 P(X = 1) = C4C6 = 33 ， 3 ，P(X = 2) =
C4C6 = 1 P(X = 3) = C 13 ， 63 = ，C10 30 C10 10 C10 2 C10 6
…………7分
故 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 3 1 1
30 10 2 6
…………9分
故 E(X) = 0 × 1 3 1 1 930 + 1 × 10 + 2 × 2 + 3 × 6 = 5，…………11分
1 1 2
甲闯关成功的概率 P = 2 + 6 = 3 > 0.648，故甲比乙闯关成功的概率要大． ……12分
19.（本题满分 12 分）已知数列 an 满足an + an+2 = 2an+1，n ∈ N 且a1 = 1，a2 = 3．
(1)求数列 an 的通项公式；
1
(2)若数列 bn 的前 n项和为Sn，b1 = 1，且满足 3Sn = bn+1 1，记cn = an log2bn+3 ，
求数列 cn 的前 n项和Tn．
解：(1)因为an + a n+2 = 2an+1，n ∈ N ，所以 an 为等差数列，…………2分
又a1 = 1，a2 = 3，所以 d = 2．所以an = 1 + 2 n 1 = 2n 1．…………4分
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
(2)因为 3Sn = bn+1 1，则 3Sn 1 = bn 1 n ≥ 2 ，…………5分
b
两式相减得b n + 1n+1 = 4bn即 b = 4 n ≥ 2 ，…………6分n
又 3S1 = b2 1，b1 = 1，所以b2 = 4．
b
所以 2b = 4．所以 bn 为以 1为首项 4为公比的等比数列，所以b = 4
n 1
n ．……8分1
所以c =
1 1 1 1 1
n 2n 1 log24n
=
1+3 2n 1 2n+1
= 2 ( 2n 1 2n+1 )，…………10分
所以T 1n = 2 1
1 + 1 13 3 5+ … +
1 1 n
2n 1 2n+1 = 2n+1． …………12分
20.（本题满分 12 分）已知函数 f(x) = x2 ex．
(Ⅰ)求 f(x)的极值；
(Ⅱ)若函数 y = f(x) ax在定义域内有三个零点，求实数 a的取值范围．
解：由题意可知函数 f(x)的定义域为 R．
(Ⅰ)因为 f(x) = x2 ex．所以 f'(x) = ex(x2 + 2x)，…………1分
由 f'(x) = 0，得x1 = 2，x2 = 0，
当 x < 2时，f'(x) > 0，函数单调递增，当 2 < x < 0 时，f'(x) < 0，函数单调递减，
当 x > 0 时，f'(x) > 0，函数单调递增，…………3分
因此，当 x = 2时，f(x) 4有极大值，并且极大值为 f( 2) = e2；…………4分
当 x = 0 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(0) = 0．…………5分
(Ⅱ)因为 y = f(x) ax = x2 ex ax，所以 x = 0为一个零点．…………6分
所以“函数 y = x2 ex ax，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程 a = xex有两
个非零实根”．…………7分
令 h(x) = xex，则 h'(x) = (x + 1)ex，
所以，当 x < 1时，h'(x) < 0，h(x)在( ∞, 1)上单调递减；
当 x > 1时，h'(x) > 0，h(x)在( 1, + ∞)上单调递增；
当 x = 1时，h(x)有最小值 h( 1) = 1e．…………9分
若方程 a = xex 1 1有两个非零实根，则 h( 1) = e < a，即 a > e．…………10分
若 a ≥ 0，方程 a = xex 1只有一个非零实根，所以 a < 0．综上， e < a < 0．……12分
21.（本题满分 12 分）.受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周
进行一次线上测评，连续测评 5周，得到均分数据见图．
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
优秀数非优秀数合计
某校 46 54 100
联谊校 56 44 100
合计 102 98 200
(1)请你根据数据利用相关系数判定均分 y与线上教学周数 x是否具有显著相关关系，
若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；
(2)为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别
随机抽取 100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据α = 0.100的独立性检验，
分析优秀学生数与线上学习是否有关联？
nr = i=1 xi x yi y附：相关系数：
n xi x 2i=1
n
i=1 yi y 2
n
b = i=1 xiyi nxy
n
= i=1 (xi x)(yi y) n(ad bc)2
回归系数： n 2 2 ni=1 xi n(x) i=1 (xi x)2 , χ2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a = y bx.
临界值表：
α 0.1000.0500.0100.001
xα 2.7063.8416.63510.828
解：(1)y = 15 (86 + 84 + 85 + 82 + 83) = 84, x =
1
5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3，……1分
5i=1 xi x yi yr =
5i=1 xi x
2 5i=1 yi y
2
(1 3)(86 84)+ (2 3)(84 84)+ (3 3)(85 84) + (4 3)(82 84) + (5 3)(83 84)
=
(1 3)2 + (2 3)2 + (3 3)2 + (4 3)2 + (5 3)2 (86 84)2 + (84 84)2 + (85 84)2 + (82 84)2 + (83 84)2
= 0.8 ∈ 1, 0.75 ，…………3分
则均分 y与线上教学周数 x负相关很强．…………4分
5^ i=1(xi x)(yi y)
b = =
5 i=1(xi x)2
(1 3)(86 84)+(2 3)(84 84)+(3 3)(85 84)+(4 3)(82 84)+(5 3)(83 84)
(1 3)2+(2 3)2+(3 3)2+(4 3)2+(5 3)2 = 0.8，………6分
则a = y b x = 84 3 × ( 0.8) = 86.4，…………7分
则线性回归方程为y = 0.8x + 86.4;…………8分
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
(2)零假设为H0:优秀数与线上学习相互独立，即优秀数与线上学习之间无关联.……9分
n(ad bc)2 200(46×44 56×54)2χ2 = = = 5000(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 102×98×100×100 ≈ 2.001 < 2.706，…………11分2499
依据小概率值α = 0.100的独立性检验,没有充分证据推断零假设H0不成立
因此可以认为H0成立，即认为优秀数与线上学习之间无关联．…………12分
22.（本题满分 12 分）已知圆 O: x2 + y2 = 4，点 F(1,0),以线段 EF为直径的圆内切与圆 O，
点 E的集合记为曲线 C
（1）求曲线 C的方程；
（2）若 A，B是曲线 C上关于坐标原点 O对称的两点，点 D(4,0)，连结 DA并延长交曲线 C
S 3
于点 M，连结 DB交曲线 C于点 N．设△ DMN，△ DAB的面积分别为S 11，S2，若S = ，求2 7
线段 OA的长．
解：(1)设 EF的中点为 P，切点为 Q，连接 O, P,Q，取 F关于 y轴的对称点F1,
则 FF1 =2,连接 EF1，故
EF + EF1 =2 OP + 2 PF =2 OP + 2 PQ =2 OP + PQ =4> F1F =2…………2分
所以点 E的轨迹是以F1，F为焦点，长轴长为 4的椭圆。………3分
2 2
其中 a = 2, c = 1, b = 3,则曲线 C x y的方程为 + =1…………4分
4 3
（2）设 A(x0, y0)，则 B( x0, y0)，
y = y0x (x 4) , 0 4 x = 8 5x联立 0x2 y2 解得 M .…………6分
4 + 3 = 1 ,
5 2x0
x = 8+5x同理 0N 5+2x ．…………7分0
S1 = |DM| |DN|所以 S |DB| |DA|…………8分2
(4 8 5x0)(4 8+5x0) 12 3x0 12+3x0
= 5 2x0 5+2x0 5 2x
0 5+2x0 9 3 ，…………10分
(4 x0)(4+x0)
= (4 x0)(4+x
= =
0) 25 4x20 7
所以 x20 = 1 , y2
9
0 = 4 .………11分
所以 OA = 13 .…………12分2
{#{QQABIYwEggiIABBAAAACAwlgCkAQkgACCAgGQEAQoEIAiBFABCA=}#}
