2022 年上学期期末考试参考答案（高二数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. B 2. C 3. A 4. B
5. B 6. C 7.D 8. B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的对 2分，有选错的得 0分。
9. ACD 10.CD 11. BC 12. BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
1
13. 31 14. -1 15. 16. 800π
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B C A A
17.解：（I）由 cos 1 cos A，得 cos( A ) 1 cos A，即 sin 2sin2 ，
2 2 2 2 2
A
∵ sin 0，∴ sin A 1 ， 分
2 2 2
……………………2
A
又 (0,
) A ，∴ ，故 A ． 分
2 2 2 6 3
……………………4
（Ⅱ）由 ABC面积 S 1 bc sin A 1 bc 3 3 3，得bc 12，……………6分
2 2 2
又b c 7 b c ，
∴b 4， c 3，……………………8分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 16 9
1
2 4 3 13，
2
∴ a 13．……………………10分
18.解：（1）由题意，先从余下的 7人中选 4人共有C47 种不同结果，再将这 4人与 A
进行全排列有 A55种不同的排法，故由乘法原理可知共有C
4
7 A
5
5 4200种不同排法；（3分）
（2）从 8人中任选 5人排列共有 A58 种不同排法，A， B，C三人全在内有C2A55 5 种不
同排法，由间接法可得A， B，C三人不全在内共有 A58 C
2A55 5 5520种不同排法；（6
分）
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下 5人中选 2人有C25 种不同结果，A，B必
须相邻，有 A22 种不同排法，由于C与A， B都不相邻，先将选出的 2人进行全排列共
有 A22 种不同排法，再将 A、B这个整体与C插入到选出的 2人所产生的 3各空位中有
A23 种不同排法，由乘法原理可得共有C
2A2A2A25 2 2 3 240种不同排法；（9分）
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（4）分四类：第一类：所选的 5人无 A、B，共有 A56 720种排法；
第二类：所选的 5人有 A、无 B，共有C4C1 46 3A4 1080种排法；
第三类：所选的 5人无 A、有 B，共有C4C1 46 4A4 1440种排法；
第四类：所选的 5人有 A、B，若 A排中间时，有C36A
4
4 种排法，
若A不排中间时，有C3C1C1A3种排法，共有C3(A4 1 1 36 2 3 3 6 4 C2C3A3 ) 1200种排法；
综上，共有 4440 种不同排法.……………………12分
19.解：（1）证明：取 BC的中点O ,连接OA，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，不妨设
AB 2a,AA1 3 ;以O为原点，OB,OA分别为 x轴和 y轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则C a,0,0 , A 0, 3a,0 ,F a,0,1 ,E 0, 3a, 2 ，
CF 2a,0,1 ,CE a, 3a, 2 ,CA a, 3a,0 ,CC 1 0,0,3 ；…………2分
n CF 0 2ax z 0
设平面CEF的一个法向量为 n x, y, z ，则 , ，
n CE 0 ax 3ay 2z 0
取 x= 1，则 y 3, z 2a，即 n 1, 3,2a ；………………3分
ACC A m x , y , z
m CA 0
设平面 1 1的一个法向量为 1 1 1 ，则 ,
m CC1 0
ax1 3ay1 0 即 ，取 y1 1得m 3, 1,0 .………………4分
3z1 0
因为m n 3 3 0，所以平面CEF 平面 ACC1A1；………………6分
（2）因为 AC AE 2，由（1）可得 a 1，即 n 1, 3,2 ，………………7分
易知平面CFC1的一个法向量为OA 0, 3,0 ,………………8分
cos n,OA n O A 3 6
n OA 8 3 4 ；………………10分
二面角 E CF C1的余弦值为
6 .………………12分
4
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20.解：(1)函数 ( ) = 2 2( + 1) + ( , ∈ )，
由不等式 ( ) < 0的解集为(1,2)，得 > 0，………………1分
且 1和 2是方程 2 2( + 1) + = 0的两根；
2( +1) = 1 + 2
则 ，= 1 × 2
解得 = 2， = 4；………………5分
(2) = 4时，不等式为 2 2( + 1) + 4 > 0，可化为( 2)( 2) > 0，则
当 = 0时，不等式为 2( 2) > 0，解得 < 2；………………6分
当 > 0时，不等式化为( 2 )( 2) > 0，令2 = 2，得 = 1，
当 > 1时，2 < 2，解不等式得 < 2或 > 2；………………7分
当 = 1时，不等式为( 2)2 > 0，解得 ≠ 2；………………8分
当 0 < < 1时，2 > 2，解不等式得 < 2或 > 2；………………9分
当 < 0时，不等式化为( 2 )( 2) < 0，且2 < 2，
解不等式得2 < < 2；………………10分
综上知：当 > 1时，不等式的解集为( ∞, 2 ) ∪ (2, +∞)；
当 = 1时，不等式的解集为{ | ≠ 2}；
当 0 < < 1时，不等式的解集为( ∞, 2) ∪ ( 2 , +∞)；
当 = 0时，不等式的解集为( ∞, 2)；
当 < 0时，不等式的解集为( 2 , 2)． ………………12分
12
ui u yi y
21.（1） r i 1
21500 21500
1 0.8612 12
2 2 3125000 200 25000
，
ui u yi y
i 1 i 1
12
xi x vi v
r i 1 14 14 102 0.9112 12 ，
xi x 2 2 770 0.308 77 0.2 11 vi v
i 1 i 1
因为 r1 r2 ，所以从样本相关系数的角度判断，模型 y e x t的拟合效果更
好.……………4分
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（2）（i）先建立 v关于 x的经验回归方程.
由 y e x t，得 ln y x t，即 v λx t .
12
xi x vi v
i 1 14 12 0.018，
2x x 770i
i 1
t v x 4.2 0.018 20 3.84，
所以 v关于 x的经验回归方程为 v 0.018x 3.84，
所以 ln y 0.018x 3.84，即 y e0.018x 3.84 .………………8分
（ii）若下一年销售额 y需达到 90亿元，则由 y e0.018x 3.84，得90 e0.018x 3.84，
又 e4.4998 90，所以 4.4998 0.018x 3.84，所以 x
4.4998 3.84
36.66，
0.018
所以预测下一年的研发资金投入量约为 36.66 亿元.………………12分
22.（1）提出假设H0：“理工迷”与性别无关.
则K 2 100(24 28 12 36)
2 25
1.04，而1.04 6.635，
60 40 36 64 24
根据 0.010的独立性检验，可以推断H0成立，所以认为理工迷与性别无关.…3分
P(AB)
L B | A P(B | A) P(A) P(AB) n(AB) 36 9（2）因为 P(B | A) P(AB) P(AB) n(AB) 28 7，
P(A)
所以估计 L B | A 9的值为 .………………7分
7
24 12
（3）按照分层抽样，男生抽取 6 4人，女生抽取 6 2人，
36 36
随机变量 X 的所有可能取值为1， 2，3，……………8分
1 2 2 1 3 0
所以 P X C C 1 4 2 13 ， P X 2
C C 3 C
4 2 ， P X 3 4C2 13 ，……11分C6 5 C6 5 C36 5
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
E X 1 1 3 1则 2 3 2 .………………12分
5 5 5
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{#{QQABCYQEoggAABIAAABCEwXQCEMQkhECCCgGBFAYsEIACANABCA=}#}2023 年上学期期末考试试卷
高二数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。
1.已知集合 = { |1 < ≤ 3}， = { 1,1,2,3}，则 ∩ 等于( )
A. {1,2} B. {2,3} C. {1,2,3} D. { 1,1,2,3}
z 2 i2.已知复数 i，其中 i为虚数单位，则复数 z的实部与虚部之和为（ ）
2 i
1
1 2 3A． B． C． D．
5 5 5 5
3．若向量 a ，b 满足 a 4,3 ，b 5,12 ，则向量b 在向量 a 上的投影向量为（ ）
64 , 48 64 48 64 48 64 48A． B． ,
C． , D． ,
25 25 65 65 25 25 65 65
4.若不等式 2 + 4 < 2 2 + 2 1对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2,2) B. ( 10,2] C. ( ∞, 2) ∪ [2，+∞) D. ( ∞, 2]
5.今天是星期四，经过62023天后是星期( )
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
6. x y 2 x 2y 4的展开式中 x2 y4的系数为（ ）
A．88 B．104 C． 24 D． 40
7.设随机变量 X ~ N 3, 2 ，若 P(X m) 0.3，则 P(X 6 m) （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略
需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，
“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 3门，大一
到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的对 2分，有选错的得 0分。
9．特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化
的方法，例如：若 g x 是定义域为R的奇函数，且 g x π 是偶函数， g π 1，则可
以选择 g x sin x，由此计算出结果．已知函数 f x 是定义域为R的偶函数，且 f 0 1，
2
f x 3 是奇函数，则（ ）
A． f 9 0 B． f 6 0 C． f 18 1 D． f 24 1
2 2 2 2
10．双曲线 x y y x2 2 1的离心率为 ea b 1
，双曲线 e e e
b2
2 1的离心率为a 2
，则 1 2的值不可
能是（ ）
14 5
A．3 B． 2 2 C． D．5 2
11.若3 3 < 4 4 ，则下列结论正确的是( )
A. < B. < C. 2 < 2 D. 3 > 3
12．有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 6%，第 2，3台加工的次
品率均为 5%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1，2，3台车床的零件数分别占总数
的 30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第 1台生产出来的次品概率为 0.06
B．任取一个零件是次品的概率为 0.053
15
C．如果取到的零件是次品，且是第 2台车床加工的概率为
53
20
D．如果取到的零件是次品，且是第 3台车床加工的概率为
53
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13. 计算： 17 3 2 + 13+ =
14．已知 (2 mx)5 a0 a x a x
2
1 2 a3x
3 a x4 a x54 5 ，若 a3 40，则m ______．
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15．为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有 4名男生，
6名女生，从 10 人中任选 3人，则恰有 1名男生 2名女生的概率为 ．
16．埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整
体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某
座金字塔是棱长均为 20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为____m2．（注：
球壳厚度不计）.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B C
17．(本小题 10分)已知 ABC的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且 cos 1 cos A．
2
（Ⅰ）求角A的值．
（Ⅱ）若 ABC的面积为3 3，且b c 7 b c ，求 a的值．
18．(本小题 12分)从 A，B，C等 8人中选出 5人排成一排.
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A,B,C 三人不全在内，有多少种排法？
（3）A,B,C 都在内，且 A，B必须相邻，C与 A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
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19．(本小题 12分)如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1中， E,F 分别是棱 AA1,BB1上的点，
A1E
1
BF AA1 .3
(1)证明：平面CEF 平面 ACC1A1；
(2)若 AC AE 2，求二面角 E CF C1的余弦值.
20. (本小题 12分)设函数 ( ) = 2 2( + 1) + ( , ∈ )．
(1)若不等式 ( ) < 0的解集为(1,2)，求 ， 的值；
(2)若 = 4，求不等式 ( ) > 0的解集．
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21．(本小题 12分)某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量 x
（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，
建立了两个函数模型：① y x2，② y e x t，其中 ， ， ， t均为常数， e为自然
对数的底数.现该公司对收集的近 12 年的年研发资金投入量 xi和年销售额 y（i i 1,2, ,12）
的数据作了初步处理，令u x2， v ln y，经计算得到如下数据：
12 12
x y 2 2xi x yi y u v
i 1 i 1
20 66 770 200 460 4.2
12
2
12 12 12
ui u ui u yi y
2
vi v xi x vi v
i 1 i 1 i 1 i 1
3125000 21500 0.308 14
（1）设u和 y的样本相关系数为 r1， x和 v的样本相关系数为 r2，请从样本相关系数（精确
到 0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 y关于 x的非线性经验回归方程；
（ii）若下一年销售额 y需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x约为多少亿元？
参考数据为308 4 77， 90 9.4868， e4.4998 90 .
n n
xt x yi y xi yi nxy
相关系数 r i 1 i 1n n n n ；
2xi x
2 2 2
yi y x 2i nx y 2i ny
i 1 i 1 i 1 i 1
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22.(本小题 12分)某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程
超过 6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取 100 人
进行分析，得到数据如表所示：
理工迷 非理工迷 总计
男 24 36 60
女 12 28 40
总计 36 64 100
(1)根据 0.010的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
P(B | A)
(2)在人工智能中常用 L B | A P(B | A) 表示在事件A发生的条件下事件 B发生的优势，在
统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选
到的学生是男生”请利用样本数据，估计 L B | A 的值.
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出 6人组成一个小组，从抽取的 6人里
再随机抽取 3人参加理工科知识竞赛，求这 3人中，男生人数 X 的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：
K 2 n(ad bc)
2
，其中a b c d a c b d n a b c d .
0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
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