2022—2023 学年第二学期联片办学期末考试
高二年级 数学学科试卷 C. D.
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中只有一个
符合题目要求）
l 7.已知 f x = x
2 + 2xf′ 1 ，则f′ 0 =（ ）
1.已知直线 1: ax + 2y + 1 = 0，直线l2: 2x + ay + 1 = 0，若l1 ⊥ l2，则 a =（ ）
A.0 B.2 C.±2 D.4 A.0 B. 2 C. 4 D.2
2.在等比数列 an 中，a2a4 = 64, a3 + a5 = 40，则a1 =（ ） → → →
8. 如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，已知AB = a，AD = b，AA1 = c，则
A.2 B.±2 C.2 4 4或 D.±
3 3 → → → →
用向量a，b，c可表示向量BD1 = （ ）
3.在△ ABC 中，A 4, 0 ，B 4, 0 ，△ ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是
（ ）
x2 + y
2
= 1 y
2
+ x
2
A. B. = 1 y ≠ 0
25 9 25 9
x2 2 2 2
C. + y = 1 y ≠ 0 xD. + y = 1 y ≠ 0
16 9 25 9
2 6
→ → → → → → → → → → → →
4. x + 的展开式中的常数项为（ ） A.a + b+ c B.a b+ c C.a + b c D. a+ b+ c
x
A.15 B.60 C.80 D.160 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分，在每个小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错选得 0 分）
x2
5.已知双曲线 2 y2 = 1 a > 0 的渐近线与圆x2 + y 2 2 = 1 相切，则 a =（ ） y2 x2a 9.关于双曲线 = 1，下列说法正确的是（ ）
16 4
1 3
A. B. C.3 D. 3
3 3 5A.实轴长为 8 B.焦距为 4 3 C.顶点坐标为 ±4,0 D.离心率为
2
6.已知函数 f x = xcosx sinx，g x 是函数 f x 的导函数，则函数 y = g x 的部分
10.若Cn = C2n 3图象大致为（ ） 12 12 ，则 n 等于（ ）
A.3 B.5 C.7 D.15
→ → →
A. B. 11.已知直线l1，l2的方向向量分别是AB = 2,4, x ，CD = 2, y, 2 ，若 AB = 6 且
l1 ⊥ l2，则 x + y 的值可以是（ ）
A. 3 B. 1 C.1 D.3
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{#{QQABIYYAogCAAAIAAQACEwFwCEOQkhCCCKgGwFAcsEAAyANABCA=}#}
12.已知函数 y = f x 18.用 0、1、2、3、4 这五个数字组数．的导函数f′ x 的图象如下图，则下列判断正确的是（ ）
（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？
A.函数 y = f x 1在区间 3, 上单调递增
2 （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
B.当 x = 2 时，函数 y = f x 取得极小值 （3）可以组成多少个无重复数字的三位数的偶数？
C.函数 y = f x 在区间 2,2 上单调递增 → → → → → → →
19. 已知向量 = , 1, 2 ， = 1, , 2 ， = 3, 1, ， // ， ⊥ ．
D.当 x = 3 时，函数 y = f x 有极小值
→ → →
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分） （1）求向量 ， ， ；
13.关于空间向量的命题： → → → →
（2）求向量 + 与 + 所成角的余弦值．
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
20.已知函数 = 3 3 的图象在点 2, 2 处的切线 与直线：
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
→ → → →
④若a ≠ b，则 a ≠ b ． 9 6 = 0 平行．
1 求切线 的方程； 2 若函数 = 有 3 个零点，求实数 的取值范围．
其中所有真命题的序号有________．
→ →
x2 y2 21.已知向量 = 1, 2, 4 ，向量 满足以下三个条件：
14.双曲线 2 2 = 1 a > 0, b > 0 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这a b
→ → → → → →
个双曲线的渐近线方程为________． ① = 0；② = 10；③ 与向量 = 1, 0, 0 垂直；求向量 ．
15.已知函数 f x = 1，g x = x2，则函数 f x 与 g x 的交点坐标为________， 22.母亲园广场有一个直径 为 20 米的半圆形花园，现在在花园中设计一条观光线
x 路（如图所示）.在点 与圆弧上的一点 C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘
在交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积为________． 种植绿化带，从点 到点 设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：
5 小路及绿化带的宽度忽略不计）.16.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这 名应届大学毕业生安排到
该市 4 所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不
同的安排方法种数是________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其他题目 12 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知抛物线y2 = 2px p > 0 的焦点为 F 2, 0 ． 1 设∠ = (弧度)，将绿化带总长度表示为 的函数 ；
1 求 p； 2 试确定 的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式： = ，其中 为弧所对的
2 斜率为 1 的直线过点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． 圆心角)
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{#{QQABIYYAogCAAAIAAQACEwFwCEOQkhCCCKgGwFAcsEAAyANABCA=}#}兰州市教育局第四片区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学学科答案
单选题（本大题共8小题，共40分，在每个小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
A 2. A 3. D 4. B
5. B 6. A 7. C 8. D
二、多选题（本大题共4小题，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. A,D 10. A,B 11. A,C 12. B,C
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. ② 14. 15. . 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其他题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知抛物线的焦点为．
求；
斜率为的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长．
解：由焦点的坐标可得， ……1分
所以. ……2分
由可得抛物线的方程为， ……3分
直线的方程为：， ……4分
设，，
联立直线与抛物线的方程可得：
整理可得：， ……6分
所以， ……8分
所以弦长． ……10分
18. 用、、、、这五个数字组数．
（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位数的偶数？
解：（1）根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有种情况，
则有个允许数字重复的三位数， ……4分
（2）根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
在剩下的个数字中任选个，安排在十位和个位，有种情况，
则有个无重复数字的三位数， ……8分
（3）根据题意，分种情况讨论：
若在个位，有个偶数，
若不在个位，则数字，作个位，有个偶数，
所以共有个偶数． ……12分
19.已知向量，，，，．
（1）求向量，，；
（2）求向量与所成角的余弦值．
解：（1）∵ 向量，，，
且，，
∴ ， ……2分
解得，，； ……4分
∴ 向量，，； ……6分
（2）∵ 向量，， ……7分
∴ ， ……8分
， ……9分
； ……10分
∴ 与所成角的余弦值为
． ……12分
20. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
求切线的方程；若函数有个零点，求实数的取值范围．
解：由题意，函数，
则， ……1分
又的图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得， ……3分
即，
所以，
所以切点的坐标为
则切线方程为，即. ……5分
由可知，令，则，
列表如下：
极大值 极小值
所以当时， 有极大值，
当时， 有极小值，
且当时， ，
当时， ， ……10分
因为有个零点，
所以有个实数根，即与的图象有个交点，
所以实数的取值范围为. ……12分
21. 已知向量，向量满足以下三个条件：
①； ②； ③与向量垂直； 求向量．
解：设，∵ ，，，与向量垂直；
∴ ，，
， ……6分
解得，，．
或，，． ……10分
∴ ． ……12分
22. 母亲园广场有一个直径为米的半圆形花园，现在在花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带，从点到点设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.
设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；
试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)
解:如图，连接，
在直角三角形中，，
所以， ……2分
由于,
则弧的长为， ……4分
； ……6分
由知， ……7分
令，解得， ……8分
当时，,单调递增，
当，单调递减， ……10分
所以当时，有最大值. ……12分
