2023-2024学年沪科版数学九年级上册21.1二次函数【五大考点剖析】
一、二次函数的概念
1．（2022·安阳模拟）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】C
【知识点】二次函数的定义；矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，
∴
∴S与x的函数关系为二次函数关系，
故答案为：C.
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，然后根据矩形的面积=长×宽可得S与x的关系，据此判断.
2．（2021九上·龙凤期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x
D．正方形的面积y与边长x
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，是一次函数，不符合题意；
B、s=vt，v一定，是一次函数，不符合题意；
C、y=hx，h一定，是一次函数，不符合题意
D、y=x2，是二次函数，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先分别求出各选项的解析式，再判断即可。
3．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
4．已知方程 ，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
【答案】；a、c均不为0；二次
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】(1). ， ，(2)a、c均不为0， (3)是二次函数.
【分析】将方程转化为y是x的函数解析式，再根据二次项的系数≠0.即可解答。
二、二次函数的一般形式
5．（2021九上·绥棱期中）对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：、当，时．它是一次函数，故此选不符合题意；
B、当，时．它是二次函数，故此选项不符合题意；
C、当，时，它是二次函数，故此选项不符合题意；
D、以上说法都不对，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一次函数和二次函数的定义逐项判断即可。
6．（2021九上·普陀期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. ，是一次函数，不合题意；
B. ，是二次函数，符合题意；
C. ，没有说明a≠0，不一定是二次函数，不合题意；
D. ，等号右边不是整式，不是二次函数，不合题意．
故答案为：B
【分析】利用二次函数的定义对每个选项一一判断即可。
7．（2020九上·太湖期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y=1 x2= x2+1，是二次函数；
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x(1 x)= x2+x，是二次函数；
④y=(1 2x)(1+2x)= 4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案为：C.
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可。
8．（2022九上·南湖期中）有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
三、根据二次函数求特定字母值
9．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
10．（2022九上·鄞州月考）如果函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 。
【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数 ，
∴k-2≠0，k2-2k+2=2
解之：k≠2，k1=0，k2=2，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】利用二次函数的定义：最高项的次数是2，二次项系数不等于0，可得到关于k的方程和不等式，然后求出不等式的解和方程的解，即可得到k的值.
11．（2021九上·尧都期中）若y=(a+1)xla+3l-x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．-5 C．-1 D．-5或-1
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ y=(a+1)xla+3l-x+3是关于x的二次函数，
∴，
∴a=-5.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义得出，即可得出a的值.
四、列实际问题的二次函数表达式
12．（2023九上·杭州期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的面积公式可得挖去的面积为x2，然后根据剩余的面积=边长为1的正方形的面积-挖去的面积进行解答.
13．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
14．（2018九上·沙洋期中）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ．
【答案】y=﹣2x2+40x；11≤x＜20
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=40-2x，
∴y=x（40-2x），
∵0＜40-2x≤18，
∴11≤x＜20．
故答案是：y=x（40-2x），11≤x＜20．
【分析】先用含x的代数式表示出与墙平行的边长，再由矩形的面积公式即可得出结论。
五、动态几何问题中的二次函数表达式
15．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
【答案】y=16-x2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
16．（2018·博野模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF= ×（a+4a）×4a=10a2= x2，
故答案为：C．
【分析】将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把DE，AC，DF用含x的式子表示，表示四边形ABCD的面积.
17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE的面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=﹣x2+4x B． C． D．y=x2﹣4x
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH=90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH= ∠DCH=45°，
∵∠H=90°，
∴∠ECH=∠CEH=45°，
∴EH=CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B=∠H=∠APE=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，
∴∠BAP=∠EPH，
∵∠B=∠H=90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴ = ，
∴ = ，
∴EH=x，
∴y= ×CP×EH= （4﹣x） x，
∴y=﹣ x2+2x．
故选C．
【分析】过E作EH⊥BC于H，求出EH=CH，求出△BAP∽△HPE，得出 = ，求出EH=x，代入y= ×CP×EH求出即可．
1 / 12023-2024学年沪科版数学九年级上册21.1二次函数【五大考点剖析】
一、二次函数的概念
1．（2022·安阳模拟）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
2．（2021九上·龙凤期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x
D．正方形的面积y与边长x
3．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
4．已知方程 ，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
二、二次函数的一般形式
5．（2021九上·绥棱期中）对于函数，以下四种说法中正确的是（ ）
A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数
C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对
6．（2021九上·普陀期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020九上·太湖期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022九上·南湖期中）有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
三、根据二次函数求特定字母值
9．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
10．（2022九上·鄞州月考）如果函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 。
11．（2021九上·尧都期中）若y=(a+1)xla+3l-x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．-5 C．-1 D．-5或-1
四、列实际问题的二次函数表达式
12．（2023九上·杭州期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
14．（2018九上·沙洋期中）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ．
五、动态几何问题中的二次函数表达式
15．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
16．（2018·博野模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE的面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=﹣x2+4x B． C． D．y=x2﹣4x
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义；矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，
∴
∴S与x的函数关系为二次函数关系，
故答案为：C.
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，然后根据矩形的面积=长×宽可得S与x的关系，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，是一次函数，不符合题意；
B、s=vt，v一定，是一次函数，不符合题意；
C、y=hx，h一定，是一次函数，不符合题意
D、y=x2，是二次函数，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先分别求出各选项的解析式，再判断即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
4．【答案】；a、c均不为0；二次
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】(1). ， ，(2)a、c均不为0， (3)是二次函数.
【分析】将方程转化为y是x的函数解析式，再根据二次项的系数≠0.即可解答。
5．【答案】D
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：、当，时．它是一次函数，故此选不符合题意；
B、当，时．它是二次函数，故此选项不符合题意；
C、当，时，它是二次函数，故此选项不符合题意；
D、以上说法都不对，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一次函数和二次函数的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. ，是一次函数，不合题意；
B. ，是二次函数，符合题意；
C. ，没有说明a≠0，不一定是二次函数，不合题意；
D. ，等号右边不是整式，不是二次函数，不合题意．
故答案为：B
【分析】利用二次函数的定义对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y=1 x2= x2+1，是二次函数；
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x(1 x)= x2+x，是二次函数；
④y=(1 2x)(1+2x)= 4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案为：C.
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可。
8．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
10．【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数 ，
∴k-2≠0，k2-2k+2=2
解之：k≠2，k1=0，k2=2，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】利用二次函数的定义：最高项的次数是2，二次项系数不等于0，可得到关于k的方程和不等式，然后求出不等式的解和方程的解，即可得到k的值.
11．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ y=(a+1)xla+3l-x+3是关于x的二次函数，
∴，
∴a=-5.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义得出，即可得出a的值.
12．【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的面积公式可得挖去的面积为x2，然后根据剩余的面积=边长为1的正方形的面积-挖去的面积进行解答.
13．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
14．【答案】y=﹣2x2+40x；11≤x＜20
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=40-2x，
∴y=x（40-2x），
∵0＜40-2x≤18，
∴11≤x＜20．
故答案是：y=x（40-2x），11≤x＜20．
【分析】先用含x的代数式表示出与墙平行的边长，再由矩形的面积公式即可得出结论。
15．【答案】y=16-x2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
16．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF= ×（a+4a）×4a=10a2= x2，
故答案为：C．
【分析】将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把DE，AC，DF用含x的式子表示，表示四边形ABCD的面积.
17．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH=90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH= ∠DCH=45°，
∵∠H=90°，
∴∠ECH=∠CEH=45°，
∴EH=CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B=∠H=∠APE=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，
∴∠BAP=∠EPH，
∵∠B=∠H=90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴ = ，
∴ = ，
∴EH=x，
∴y= ×CP×EH= （4﹣x） x，
∴y=﹣ x2+2x．
故选C．
【分析】过E作EH⊥BC于H，求出EH=CH，求出△BAP∽△HPE，得出 = ，求出EH=x，代入y= ×CP×EH求出即可．
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