2023-2024学年沪科版数学九年级上册21.2二次函数的图像性质【八大考点剖析】
一、二次函数解析式的互化
1．（2022九上·栖霞期中）将二次函数配方为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】直接配方法求即可得出答案。
2．（2021九上·宁波月考）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成顶点式，下列式子正确的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】二次函数的解析式可变形为y=x2-2x+1-3，然后对前三项利用完全平方公式分解即可.
3．将抛物线y=﹣x2+2x﹣5配成y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=﹣（x+3）2﹣6 B．y=﹣（x+3）2﹣8
C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x﹣3）2+4
【答案】C
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：y=﹣x2+2x﹣5
=
=．
故选：C．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，即可把一般式转化为顶点式；
二、二次函数图像的基本性质
4．（2023·延安模拟）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】令x=1，分别求出二次函数对应的值，然后结合图象进行比较.
5．（2017九上·上蔡期末）二次函数y=－(x-1)2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+3，
∴其图象的顶点坐标是：（1，3）；
故答案为：A。
【分析】利用顶点式公式y=a(x-h)2+k的顶点为（h,k)可求出.
6．（2020九上·鄞州期中）下列抛物线中，与抛物线 的形状、大小、开口方向都相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x2﹣3x﹣5，
∴a＝﹣ ，开口向下，
观察四个选项可知，只有选项B的二次项系数是﹣ ，
∴与其形状、大小、开口方向都相等的是只有B.
故答案为：B.
【分析】二次函数的开口方向是由二次项系数a确定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下.当二次项系数的值相同时，两个函数的形状、大小、开口方向都相等，由此和选项比较即可求解.
7．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．当x<1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先化二次函数为顶点式，再根据二次函数的性质依次分析即可。
【解答】
则图象的开口向上；当>1时，随的增大而增大；当<1时，随的增大而减小；图象的对称轴是直线
故选C。
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握。
三、五点作图法求函数解析式
8．（2020九上·北京月考）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 1 0 m …
（1）求这个二次函数的解析式及m的值；
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；
（3）当y<3时，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）把点（0，3）、（1，0）、（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，
得： ，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是y=x2－4x+3；
当x=4时，m=42－4×4+3=3
（2）二次函数的图象如图所示：
（3）0＜x＜4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）由图象可得：当y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4；
故答案为：0＜x＜4．
【分析】（1）从表格中选取图象上的三个点，然后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把x=4代入抛物线的解析式即可求出m；（2）在已知的坐标系中根据二次函数图象的画法解答即可；（3）根据图象，所求的结果是二次函数在直线y=3以下的对应的x的取值范围，据此解答即可．
9．（2020九上·北京月考）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式为 ；
（2）此函数与 轴的交点坐标为 ；
（3）在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象(不用列表)；
（4）直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1）
（2）(-1，0)，(3，0)
（3）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y=x2-2x-3 … 0 -3 -4 -3 0 …
描点、连线．
（4）根据图象可得：
当x=-2时，y=5；顶点坐标为（1，-4）
即函数的最小值为-4，
∴当 时，-4＜y＜5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（1）
故答案为： ；（2）当y=0时，
解得：
∴与x轴的交点坐标为：(-1，0)，(3，0)
故答案为：(-1，0)，(3，0)
【分析】（1）直接配方即可化为顶点式；（2）把y=0代入，解方程即可；（3）通过列表、描点、连线，作图即可；（4）根据函数的图象求解即可．
10．（2020九上·湖北月考）已知二次函数y=-x2+2x+3
（1）将此二次函数化为 的形式；
（2）在所给的坐标系上画出这个二次函数的图象；
（3）观察图象填空；
①方程-x2+2x+3＝0的解为 ；
②y<0时，x的取值范围是 ；
③y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
【答案】（1）解： ；
（2）解：如图所示
（3） ， ； 或 ；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（3）①由图象可知，方程 的解为， ， ;
②由图象可知，当y<0时， 或 ；
③∵ ，
∴函数开口方向向下，
又∵函数对称轴为 ，
∴y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
故答案为：① ， ；② 或 ；③ .
【分析】（1）根据配方的形式化简即可；
（2）根据描点、连线画图即可；
（3）①由图象可知，方程 的解就是函数图象与x轴交点的横坐标；②由图象可知，求 y<0时，x的取值范围 ，就是求x轴下方图象上自变量的取值范围，根据函数图象进行判断即可；③由于抛物线的开口向下，对称轴直线是x=1，故可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大，从而即可得出答案.
四、待定系数法求函数解析式
11．（2023·临渭模拟）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 3 4 …
… 6 …
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而增大
C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点
D．点A的坐标是，点B的坐标是
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵当x=1和3时，y=2，
∴抛物线的对称轴是直线x-2，故A选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴是直线x=2，
∴h=2，
将(-1，6)代入得，6=a (-1-2)2-3，解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=(x-2)2-3，
∴当x<2时，y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
将抛物线向上平移1个单位后的解析式为：y=(x -2)2-3+1=(x-2)2-2，
令×=0，得y=2，
∴抛物线经过点(0，2)，故C选项错误，不符合题意；
∵x=0时，y=1，
∴点A (0，1)，
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，∴B点坐标(4，1)，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 利用当x=1和3时，y=-2，得出抛物线的对称轴是直线x=2，判断A选项；根据表格求得解析式，判断B选项；根据平移的规律得出解析式，判断C选项；再利用x=0时，y=1，结合对称轴，即可得出A、B点坐标，判断D选项.
12．（2023·长宁模拟）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-1 B．-3 C．0 D．-4
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，
把（0，-3），（1，-4），（2，-3）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y＝x2-2x-3，
当x＝-1时，y＝0，
当x＝-2时，y＝5，
故答案为：A．
【分析】假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，利用待定系数法求出抛物线解析式，然后验证其他两点即可.
13．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
五、二次函数的平移规律
14．若二次函数配方后为，则、的值分别为（ ）
A．8、－1 B．8、1 C．6、－1 D．6、1
【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】把y=（x+h）2+7化成一般形式，然后和y=x2+2x+c的对应项的系数相同，据此即可求解．
y=(x+h)2+7=x2+2hx+h2+7
则2h=2，h2+7=c
因此：h=1，c=8
故选B.
15．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则（ ）．
A．12 B．9 C． D．10
【答案】A
【知识点】代数式求值；二次函数图象的几何变换；二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先化解析式为顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可.
【解答】把化成顶点式为：，则把抛物线的图象向左平移3个单位， 再向上平移2个单位后的解析式为
所以 故选A.
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
16．（2018九上·花都期中）抛物线 经过平移得到 ，平移方法是
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】
解： 抛物线 得到顶点坐标为 ，
而平移后抛物线 的顶点坐标为 ，
平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
故答案为：D．
【分析】直接根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求解即可。
六、二次函数的对称变化
17．（2017八下·福州期末）抛物线 的对称轴为直线 ．
【答案】x=-2
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由y=2(x 2) +3可知，抛物线的顶点坐标为(2，3)，
∴抛物线对称轴为直线x=2.故答案为：x=-2.
【分析】由抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为(2，3)，得到抛物线对称轴为直线.
18．（2017八下·福州期末）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．
【答案】9
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，∴当 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线 对称。
∴A（ ，n），B（ ，n）。
将A点坐标代入抛物线解析式，得： 。
【分析】由抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，得到对称轴的顶点坐标的函数值是0，即b2=4c；求出n的值.
19．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
20．（2022九上·嘉兴期中）如图，已知抛物线y＝-x2上有A，B两点，其横坐标分别为-1，-2；在y轴上有一动点C，则AC+BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝-1时，y＝-1，
当x＝-2时，y＝-4，
所以，点A′（1，-1），B（-2，-4），
由勾股定理得，A′B＝ ＝3 ．
故答案为：B．
【分析】易得点A关于y轴的对称点A′的横坐标为1，连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，将x=-1与x=-2分别代入抛物线的解析式算出对应的函数值，从而得出点A'与B的坐标，利用两点间的距离公式算出A'B的长度即可.
七、二次函数图像的增减性
21．（2023·温州模拟） 已知点，，都在抛物线上，当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的解析式可得：开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），令y=0，求出x的值，得到抛物线与x轴的交点坐标，然后进行比较.
22．（2023·温州模拟）若点，，均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：把代入抛物线得：；
把代入抛物线得：；
把代入抛物线得：；
∴；
故答案为：C.
【分析】分别将x=0、-1、4代入函数解析式中求出a、b、c的值，然后进行比较.
23．（2023·衢江模拟）已知二次函数y=-(x-a)2+1， 当-1≤x≤3时， y的最大值为-8，则a的值为（ ）
A．-4或6 B．0或6 C．-4或2 D．2或6
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=-(x-a)2+1，a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=a时y的最大值为1，
∵当-1≤x≤3时，y的最大值为-8，
当a＜-1时，
y的最大值为-8，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而减小，
∴当x=-1时，有最大值为-8，
∴ -(-1-a)2+1=-8
解之：a1=-4，a2=2（舍去）；
当a＞3时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而增大，
∴当x=3时有最大值为-8，
-8=-（3-a）2+1，
解之：a1=6，a2=0（舍去），
∴a的值为-4或6.
故答案为：A
【分析】利用二次函数的性质可知当x=a时y的最大值为1，再根据当-1≤x≤3时，y的最大值为-8，可知当a＜-1时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而减小，由此可知当x=-1时，有最大值为-8，代入计算，可求出符合题意的a的值；当a＞3时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而增大，可知当x=3时有最大值为-8，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；综上所述可得到a的值.
24．已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是
A．3 B．5 C．7 D．不确定
【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意可得x=2是抛物线的对称轴，令y=0可得2(x+1)(x－a)=0，则x=-1或x=a，再根据抛物线的对称性求解即可.
由题意可得x=2是抛物线的对称轴
令y=0可得2(x+1)(x－a)=0，则x=-1或x=a
所以，解得
故选B.
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
八、二次函数的对称性，最值，含参问题
25．（2022九上·瑞安期末）二次函数，当时，的（ ）
A．最小值是1 B．最小值是0 C．最小值是-1 D．最小值是-2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
对称轴是：，开口往下；
离对称轴越远，取值越小，
当时，取值最小值
故答案为：D.
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，由顶点式可知，该抛物线的对称轴是直线x=-1，二次项的系数a=-1＜0，抛物线的开口向下，故抛物线上离对称轴直线越远的点，其函数值就越小，据此就不难算出答案.
26．（2021九上·温州月考）已知二次函数 的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为 ，最小值为 .
【答案】2；－2.5
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图知：最大值为2，最小值为－2.5.
故答案为：2，－2.5.
【分析】根据二次函数的图象可直接得到最大值、最小值.
27．（2023·陇县模拟）二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点在第四象限，
，，
，
点所在的象限为第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的顶点得到m、n的正负关系，即可得到 点所在的象限.
28．（2022九下·泾阳月考）当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．-1≤m≤0
B．2≤m<
C．2≤m≤4
D． 【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2，1)，与y轴的交点为(0，-3)，
根据对称规律，点(4，-3)也在二次函数图象上，
由函数图象可知，当x=2时，函数取得最大值为1，在x=2的左侧，y随x的增大而增大，在x=2的右侧，y随x的增大而减小，
∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴ 2≤m≤4.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式，画出函数图象可知抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求出m的范围.
1 / 12023-2024学年沪科版数学九年级上册21.2二次函数的图像性质【八大考点剖析】
一、二次函数解析式的互化
1．（2022九上·栖霞期中）将二次函数配方为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·宁波月考）将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成顶点式，下列式子正确的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
3．将抛物线y=﹣x2+2x﹣5配成y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=﹣（x+3）2﹣6 B．y=﹣（x+3）2﹣8
C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x﹣3）2+4
二、二次函数图像的基本性质
4．（2023·延安模拟）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017九上·上蔡期末）二次函数y=－(x-1)2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（-1，-3）
6．（2020九上·鄞州期中）下列抛物线中，与抛物线 的形状、大小、开口方向都相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．当x<1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
三、五点作图法求函数解析式
8．（2020九上·北京月考）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 1 0 m …
（1）求这个二次函数的解析式及m的值；
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；
（3）当y<3时，则x的取值范围是 ．
9．（2020九上·北京月考）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式为 ；
（2）此函数与 轴的交点坐标为 ；
（3）在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象(不用列表)；
（4）直接写出当 时， 的取值范围．
10．（2020九上·湖北月考）已知二次函数y=-x2+2x+3
（1）将此二次函数化为 的形式；
（2）在所给的坐标系上画出这个二次函数的图象；
（3）观察图象填空；
①方程-x2+2x+3＝0的解为 ；
②y<0时，x的取值范围是 ；
③y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
四、待定系数法求函数解析式
11．（2023·临渭模拟）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 3 4 …
… 6 …
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而增大
C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点
D．点A的坐标是，点B的坐标是
12．（2023·长宁模拟）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-1 B．-3 C．0 D．-4
13．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
五、二次函数的平移规律
14．若二次函数配方后为，则、的值分别为（ ）
A．8、－1 B．8、1 C．6、－1 D．6、1
15．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则（ ）．
A．12 B．9 C． D．10
16．（2018九上·花都期中）抛物线 经过平移得到 ，平移方法是
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
六、二次函数的对称变化
17．（2017八下·福州期末）抛物线 的对称轴为直线 ．
18．（2017八下·福州期末）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．
19．（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．
20．（2022九上·嘉兴期中）如图，已知抛物线y＝-x2上有A，B两点，其横坐标分别为-1，-2；在y轴上有一动点C，则AC+BC的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
七、二次函数图像的增减性
21．（2023·温州模拟） 已知点，，都在抛物线上，当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·温州模拟）若点，，均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·衢江模拟）已知二次函数y=-(x-a)2+1， 当-1≤x≤3时， y的最大值为-8，则a的值为（ ）
A．-4或6 B．0或6 C．-4或2 D．2或6
24．已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是
A．3 B．5 C．7 D．不确定
八、二次函数的对称性，最值，含参问题
25．（2022九上·瑞安期末）二次函数，当时，的（ ）
A．最小值是1 B．最小值是0 C．最小值是-1 D．最小值是-2
26．（2021九上·温州月考）已知二次函数 的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为 ，最小值为 .
27．（2023·陇县模拟）二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．（2022九下·泾阳月考）当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．-1≤m≤0
B．2≤m<
C．2≤m≤4
D． 答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】直接配方法求即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】二次函数的解析式可变形为y=x2-2x+1-3，然后对前三项利用完全平方公式分解即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：y=﹣x2+2x﹣5
=
=．
故选：C．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，即可把一般式转化为顶点式；
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】令x=1，分别求出二次函数对应的值，然后结合图象进行比较.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+3，
∴其图象的顶点坐标是：（1，3）；
故答案为：A。
【分析】利用顶点式公式y=a(x-h)2+k的顶点为（h,k)可求出.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x2﹣3x﹣5，
∴a＝﹣ ，开口向下，
观察四个选项可知，只有选项B的二次项系数是﹣ ，
∴与其形状、大小、开口方向都相等的是只有B.
故答案为：B.
【分析】二次函数的开口方向是由二次项系数a确定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下.当二次项系数的值相同时，两个函数的形状、大小、开口方向都相等，由此和选项比较即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先化二次函数为顶点式，再根据二次函数的性质依次分析即可。
【解答】
则图象的开口向上；当>1时，随的增大而增大；当<1时，随的增大而减小；图象的对称轴是直线
故选C。
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握。
8．【答案】（1）把点（0，3）、（1，0）、（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，
得： ，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是y=x2－4x+3；
当x=4时，m=42－4×4+3=3
（2）二次函数的图象如图所示：
（3）0＜x＜4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）由图象可得：当y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4；
故答案为：0＜x＜4．
【分析】（1）从表格中选取图象上的三个点，然后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把x=4代入抛物线的解析式即可求出m；（2）在已知的坐标系中根据二次函数图象的画法解答即可；（3）根据图象，所求的结果是二次函数在直线y=3以下的对应的x的取值范围，据此解答即可．
9．【答案】（1）
（2）(-1，0)，(3，0)
（3）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y=x2-2x-3 … 0 -3 -4 -3 0 …
描点、连线．
（4）根据图象可得：
当x=-2时，y=5；顶点坐标为（1，-4）
即函数的最小值为-4，
∴当 时，-4＜y＜5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（1）
故答案为： ；（2）当y=0时，
解得：
∴与x轴的交点坐标为：(-1，0)，(3，0)
故答案为：(-1，0)，(3，0)
【分析】（1）直接配方即可化为顶点式；（2）把y=0代入，解方程即可；（3）通过列表、描点、连线，作图即可；（4）根据函数的图象求解即可．
10．【答案】（1）解： ；
（2）解：如图所示
（3） ， ； 或 ；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（3）①由图象可知，方程 的解为， ， ;
②由图象可知，当y<0时， 或 ；
③∵ ，
∴函数开口方向向下，
又∵函数对称轴为 ，
∴y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .
故答案为：① ， ；② 或 ；③ .
【分析】（1）根据配方的形式化简即可；
（2）根据描点、连线画图即可；
（3）①由图象可知，方程 的解就是函数图象与x轴交点的横坐标；②由图象可知，求 y<0时，x的取值范围 ，就是求x轴下方图象上自变量的取值范围，根据函数图象进行判断即可；③由于抛物线的开口向下，对称轴直线是x=1，故可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大，从而即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵当x=1和3时，y=2，
∴抛物线的对称轴是直线x-2，故A选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴是直线x=2，
∴h=2，
将(-1，6)代入得，6=a (-1-2)2-3，解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=(x-2)2-3，
∴当x<2时，y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
将抛物线向上平移1个单位后的解析式为：y=(x -2)2-3+1=(x-2)2-2，
令×=0，得y=2，
∴抛物线经过点(0，2)，故C选项错误，不符合题意；
∵x=0时，y=1，
∴点A (0，1)，
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，∴B点坐标(4，1)，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 利用当x=1和3时，y=-2，得出抛物线的对称轴是直线x=2，判断A选项；根据表格求得解析式，判断B选项；根据平移的规律得出解析式，判断C选项；再利用x=0时，y=1，结合对称轴，即可得出A、B点坐标，判断D选项.
12．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，
把（0，-3），（1，-4），（2，-3）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y＝x2-2x-3，
当x＝-1时，y＝0，
当x＝-2时，y＝5，
故答案为：A．
【分析】假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，利用待定系数法求出抛物线解析式，然后验证其他两点即可.
13．【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
14．【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】把y=（x+h）2+7化成一般形式，然后和y=x2+2x+c的对应项的系数相同，据此即可求解．
y=(x+h)2+7=x2+2hx+h2+7
则2h=2，h2+7=c
因此：h=1，c=8
故选B.
15．【答案】A
【知识点】代数式求值；二次函数图象的几何变换；二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先化解析式为顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可.
【解答】把化成顶点式为：，则把抛物线的图象向左平移3个单位， 再向上平移2个单位后的解析式为
所以 故选A.
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
16．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】
解： 抛物线 得到顶点坐标为 ，
而平移后抛物线 的顶点坐标为 ，
平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
故答案为：D．
【分析】直接根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求解即可。
17．【答案】x=-2
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由y=2(x 2) +3可知，抛物线的顶点坐标为(2，3)，
∴抛物线对称轴为直线x=2.故答案为：x=-2.
【分析】由抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为(2，3)，得到抛物线对称轴为直线.
18．【答案】9
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，∴当 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线 对称。
∴A（ ，n），B（ ，n）。
将A点坐标代入抛物线解析式，得： 。
【分析】由抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，得到对称轴的顶点坐标的函数值是0，即b2=4c；求出n的值.
19．【答案】8
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数与的图象关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
正方形的边长为4，
．
故答案为：8．
【分析】先求出图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再根据正方形的边长为4，求解即可。
20．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝-1时，y＝-1，
当x＝-2时，y＝-4，
所以，点A′（1，-1），B（-2，-4），
由勾股定理得，A′B＝ ＝3 ．
故答案为：B．
【分析】易得点A关于y轴的对称点A′的横坐标为1，连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，将x=-1与x=-2分别代入抛物线的解析式算出对应的函数值，从而得出点A'与B的坐标，利用两点间的距离公式算出A'B的长度即可.
21．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的解析式可得：开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），令y=0，求出x的值，得到抛物线与x轴的交点坐标，然后进行比较.
22．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：把代入抛物线得：；
把代入抛物线得：；
把代入抛物线得：；
∴；
故答案为：C.
【分析】分别将x=0、-1、4代入函数解析式中求出a、b、c的值，然后进行比较.
23．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=-(x-a)2+1，a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=a时y的最大值为1，
∵当-1≤x≤3时，y的最大值为-8，
当a＜-1时，
y的最大值为-8，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而减小，
∴当x=-1时，有最大值为-8，
∴ -(-1-a)2+1=-8
解之：a1=-4，a2=2（舍去）；
当a＞3时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而增大，
∴当x=3时有最大值为-8，
-8=-（3-a）2+1，
解之：a1=6，a2=0（舍去），
∴a的值为-4或6.
故答案为：A
【分析】利用二次函数的性质可知当x=a时y的最大值为1，再根据当-1≤x≤3时，y的最大值为-8，可知当a＜-1时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而减小，由此可知当x=-1时，有最大值为-8，代入计算，可求出符合题意的a的值；当a＞3时，二次函数在-1≤x≤3上y随x的增大而增大，可知当x=3时有最大值为-8，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；综上所述可得到a的值.
24．【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意可得x=2是抛物线的对称轴，令y=0可得2(x+1)(x－a)=0，则x=-1或x=a，再根据抛物线的对称性求解即可.
由题意可得x=2是抛物线的对称轴
令y=0可得2(x+1)(x－a)=0，则x=-1或x=a
所以，解得
故选B.
【点评】二次函数的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
25．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
对称轴是：，开口往下；
离对称轴越远，取值越小，
当时，取值最小值
故答案为：D.
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，由顶点式可知，该抛物线的对称轴是直线x=-1，二次项的系数a=-1＜0，抛物线的开口向下，故抛物线上离对称轴直线越远的点，其函数值就越小，据此就不难算出答案.
26．【答案】2；－2.5
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图知：最大值为2，最小值为－2.5.
故答案为：2，－2.5.
【分析】根据二次函数的图象可直接得到最大值、最小值.
27．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点在第四象限，
，，
，
点所在的象限为第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的顶点得到m、n的正负关系，即可得到 点所在的象限.
28．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2，1)，与y轴的交点为(0，-3)，
根据对称规律，点(4，-3)也在二次函数图象上，
由函数图象可知，当x=2时，函数取得最大值为1，在x=2的左侧，y随x的增大而增大，在x=2的右侧，y随x的增大而减小，
∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴ 2≤m≤4.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式，画出函数图象可知抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求出m的范围.
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