6.2.3向量的数乘运算（2） 课件（20张PPT）

6.2.3 向量的数乘运算（2）
第六章 平面向量及其应用
引 入
向量的数乘
定义
长度和方向
几何意义
向量数乘运算的运算律
λ(μa)=(λμ)a
λ(a+b)=λa+λb
探究新知
问题1 向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量? 与 ( ≠0，?是实数)之间的位置关系吗？
共线向量(或平行向量)
?
同向
反向
令
令
令
令
不存在
所以当 时,
探究新知
问题1 向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量? 与 ( ≠0，?是实数)之间的位置关系吗？对于向量 ， 及实数?，
　　（1）如果 =? ( ≠0)，向量 与 是否共线？
　　（2）如果向量 与非零向量 共线， =? 成立吗？
事实上，对于向量 如果有一个实数λ，使 那么由向量数乘的定义可知共线.
反过来，已知向量 共线，且向量 的长度是向量 的长度的μ倍，即 ，那么当 同方向时，有 ；当 反方向时，有
引 入
4.向量共线定理
数学符号表示：
思考：
时，
b＝λa　
（1）为何要求a是非零向量？
（2）b可以是零向量吗？
（3）对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b共线，对吗？
对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b方向相同或相反，对吗？
（4）对任意向量a，b，若a与b共线，那么一定有b＝λa吗？
可以.
对.
×，λ=0，b=0
×，a=0
若a=0，b≠0，a与b共线但此时λa=0，不存在实数λ，使得b＝λa.
根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数λ，使________.也就是说，位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
l
b＝λa　
a
b
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
例题讲解
题型三、共线向量定理及其应用
A
B
C
解：
所求作如图示，
由所作图猜想A,B,C三点共线. 证明如下：
例4 如图，已知任意两个非零向量 ，试作
. 猜想A, B, C
三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
O
探究新知
归纳提升
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
有公共点B
A
C
B
A、B、C三点共线
例题讲解
若将向量a，b， a+λ2b的起点移到一起的话，向量a+λ2b的终点在过向量a的终点且与向量????所在的直线平行的直线l上．
?
l
几何意义：
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量????+????????????（其中????????∈R）终点轨迹有什么规律吗？
?
a+λ2b
a
b
λ1a+b （????????∈R）？
?
例题讲解
例5 设e1，e2不共线，判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
判断e1，e2系数之比是否相等.
归纳提升
练习1 设e1，e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2，b=2e1+ke2. 若a与b是共线向量，求实数k的值为 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
-4
例题讲解
例6 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与 a- b共线，求实数t.
解：
例题讲解
例7 如图，已知A，B，P三点共线，且满足 ，
求证： .
证明或判断三点共线的方法
利用结论：若A，B，P三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使

归纳提升
利用向量共线定理证明：
探究新知
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
探究新知
追问2：如图，若P为AB的中点，则 与 ， 的关系如何？
O
A
B
P
4.在△ABC中，D是AB边上的一点，若 ，则λ=_______.
3.试利用
练习
探究新知
题型二、用已知向量表示其他向量
例8
如图所示，在平行四边形ABCD中， ,M是BC的中点.若 ，则 λ+μ =_______.
A
B
C
M
D
N
探究新知
题型二、用已知向量表示其他向量
探究新知
A.B、C、D B.A、B、C
C.A、B、D D.A、C、D
∴A、B、D三点共线.
C
练习5
例题讲解
练习6
例题讲解
5.向量共线定理应用
（1） 证明向量共线：向量a与b共线 b=λa
（3） 证明两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
（2） 证明三点共线: A,B,C三点共线 AB=λBC
AB与BC有公共点B
证明两直线平行
课堂小结
1.数乘向量的定义及运算律
2.向量共线定理及应用
布置作业
（1）教材
（2）同步作业