6.2.4+平面向量的数量积（1） 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
6.2.4 平面向量的数量积（1）
第六章 平面向量及其应用
引 入
实数
加法
减法
向量
加法
减法
数乘
向量＋向量=向量
向量－向量=向量
实数×向量=向量
向量与向量能否相乘？
乘法
线性运算
类比
类比
类比
类比
问题1 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
引 入
问题2 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？
物理模型
性质
运算律
应用
路径：
概念
向量的加法
位移合成
力的合成
向量的数量积

引 入
问题3 ①在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ，其中θ是F与s的夹角．
功是一个_____，它由力和位移两个向量来确定.
问题3 ②功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？
这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
标量
探究新知
问题4 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.
探究新知
1.向量的夹角
已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作
则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角．
O
A
B
θ
显然，当θ=0时， 同向.
当 时， 垂直，记作 .
当θ=π时， 反向.
记作:
< >
θ∈[0，π]
范围：
0≤θ≤π
课堂练习
50°
A
B
C
45°
85°
1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角：
(1)
45°
130°
85°
45°
130°
85°
(2)
(3)
问题5 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？
向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π],
注意: 必须共起点.
两直线夹角的范围 是不一样的(向量有方向).
可以平移实现.
探究新知
2.平面向量数量积的定义
已知非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫作
与 的数量积（或内积），记作 ，即规定
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
向量的数量积是一个数量
②一种新的运算.
①“·”不能省略不写，也不能写成“×”.
③数量积a·b的结果为实数，不是向量.（数量积运算是非线性运算）
注意:
例题讲解
例1 已知
解：
例2
解：
由 ，得
∵ ∴ .
知三求一
课堂练习
B
C
C
>
4.已知|a|=6，|b|=8,a与b平行，求a b .
探究新知
问题6 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
0°≤θ＜90°
=90°
④两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定：
注意:
当 a·b=0时，夹角θ_______.
当 a·b>0时，夹角θ范围是_______________；
当 a·b<0时，夹角θ范围是_______________;
90°＜θ ≤180°

是非零向量
⑤
探究新知
3.投影向量
设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量．
我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量
探究新知
问题7 如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，那么 与 ， ，θ之间有怎样的关系？
显然 与 共线，于是
所以
当θ为直角时，λ=0，所以
当θ为锐角时，与 方向相同，
探究新知
所以
当θ为钝角时，与 方向相反，
当θ=0时，λ= ，所以
当θ= 时，λ= ，所以
综上可知，对任意的 都有:
例题讲解
例题讲解
例5
课堂练习
【练习】
1．已知a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于____．
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为 .
3．已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为120°，则a在e方向上的投影向量为 ．
探究新知
4.数量积的性质
(3) 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 　 ．
（由|cosθ|≤1得到）
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
a a常记为a
可用于求向量的模.
(5)cosθ= .
实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.
课堂小结
1.知识点：
(1)向量的夹角.
(2)向量数量积的定义.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的性质.
2.方法归纳：数形结合.
3.易错点：向量夹角共起点；
a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角.
课堂小结
向量数量积
向量
布置作业
（1）教材
（2）同步作业