6.3.1+平面向量基本定理 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
第六章 平面向量及其应用
引 入
向量的数乘
问题1 已知非零向量a，所有与a共线的b向量，都能用a表示吗？如何表示？
能，b=λa，λ∈R
几何意义：把非零向量a同向或反向放缩.
引 入
问题2 可以只用这个非零向量a来表示这一平面上的任意一个向量吗？
不能，只能表示与a共线的向量
问题3 要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？
两个
l
a+λ2b
a
b
λ1a+λ2b
λ1a+b
a+λ2b
引 入
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。
启发：可以逆用平行四边形法则，尝试将一个向量分解成两个向量的和的形式.
力的分解是向量分解的物理模型，分解过程运用了平行四边形法则.
探究新知
探究1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？
O
M
N
思考1 再给出另一个向量a，还能这样表示吗？
思考2 与e1或e2共线的向量，能这样表示吗？
思考3 零向量，也能这样表示吗？
结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：
a=λ1e1+λ2e2
能，取λ1=λ2=0. 即0=0e1+0e2
探究新知
探究2 如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？
不能，此时λ1e1+λ2e2与e1，e2共线，当向量a与它们不共线时，则无法表示.
结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.
探究新知
探究3 现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？
结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.
探究新知
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.
不共线　
任一　
有且只有一对　
λ1e1＋λ2e2　
问题4 想一想，你能把上述探究发现的结果，用数学语言描述出来吗？
结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2
结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.
结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.
1.平面向量基本定理
例题讲解
例1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量
探究新知
若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底.
不共线　
所有　
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.
不共线　
任一　
有且只有一对　
λ1e1＋λ2e2　
1.平面向量基本定理
2.基底
探究新知
思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
一组不共线的向量可以作为基底.
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
思考2 一组平面向量的基底有多少对？
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
思考3 若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？
e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？
2.基底
探究新知
思考4 若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
O
C
F
M
N
E
以 为基底
以 为基底
探究新知
3.平面向量相等的充要条件
如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么
【练习】已知e1，e2不共线，且a= e1+ 2e2，b=ke1-e2，若a//b ,则实数k的值
为： .
例题讲解
已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.
例2
平面向量基本定理唯一性的应用：设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a+y1b=x2a+y2b，则
归纳提升
例题讲解
题型一、对基底概念的理解
例3 设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}
B
练习1 已知平行四边形ABCD，两条对角线交于点O，则下列各组向量中，可以作为该平面内所有向量基底的是(　　)
CD
练习2 已知e1与e2不共线，a=e1+2e2，b=λe1+e2，且{a，b}是一组基底，则实数λ的取值范围是________.
①基底不共线
②基底不唯一
例题讲解
练习3 （多选）如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(　　)
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
E．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
F．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的
ADF　
例题讲解
题型二、三点共线
所以
例4 如图， 不共线，且 ，用 表示 .
因为
解法二：
若A，B，P三点共线，O为直线外一点
归纳提升
课堂练习
题型二、三点共线
练习3 如图，在△OAB中，OC为中线，点D为线段OB靠近O点的三等分点，AD交OC于点M，若 ，求x的值.
O
A
B
D
C
M
例题讲解
题型三、用基底表示向量
如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ，用a，b表示
C
A
B
E
D
F
例5（课本P27 T1）
课堂练习
题型三、用基底表示向量
练习4 已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，请用a，b表示c.
变式 已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，试以a，b为基底表示c.
例题讲解
题型四、综合应用
例5 如图CD是△ABC的中线， ，用向量方法证明 △ABC是直角三角形.
1、筑基分解
2、转化条件
3、向量运算
4、还原答案
【证明】如图，设
所以
因为 ，所以CD＝DA．
所以 ．
因此CA⊥CB．结论成立．
则
因为
课堂练习
已知e1，e2不共线，且a= e1+ 2e2，b=ke1-e2，若a//b ,求实数k的值.
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=xAB+yAD，
则x2+y2 = .
课堂小结
1.知识点：
(1)平面向量基本定理.
(2)用基底表示向量.
(3)平面向量基本定理的应用.
2.方法归纳：数形结合法.
3.易错点：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
布置作业
（1）教材
（2）同步作业