6.4.1+平面几何中的向量方法 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
引 入
共线向量定理
平面向量基本定理
∥
A、P、B三点共线
线性运算
且方向相同
数量积
坐标运算
有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.
引 入
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．
6.4.1 平面几何中的向量方法
第六章 平面向量及其应用
引 入
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．
问题1：你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？
几何元素及其表示 向量及其运算
点A
线段AB ，AB两点距离
夹角∠AOB
例题讲解
1.平行问题
例1 如图示，DE是 ABC的中位线，证明：
问题2：回忆初中的证明过程
F
证：延长DE至点F，使DE=EF，连结CF．
∵E为AC中点，∴AE=EC．
又∵DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS）．
∴AD=CF，∠ADE=∠F．
∴AB∥CF，即BD∥CF．
又∵AD=BD，∴BD=CF．
∴四边形DBCF为平行四边形．
∴BC=DF=2DE，且DE∥BC．
例题讲解
1.平行问题
例1 如图示，DE是 ABC的中位线，用向量方法证明：
追问：如何利用向量推导三角形内线段长度关系？
（1）平面几何中求线段的长度问题就是在向量中
求向量的模的问题
选择基底
（2）解题的关键是　　　　 ．
例题讲解
1.平行问题
例1 如图示，DE是 ABC的中位线，用向量方法证明：
转化
运算
翻译
三步曲
探究新知
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
基底法
坐标法
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
转化
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
课堂练习
2.垂直问题
例题讲解
3.长度问题
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和
例题讲解
3.长度问题
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和
问题3：还可以选择其他基底吗？
问题3：还可以用什么方法解决以下问题？
如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
x
y
课堂练习
如图所示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
2. 证明: 等腰三角形的两个底角相等.
4.角度问题
课堂练习
2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值.
x
y
探究新知
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
基底法
坐标法
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
转化
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
课堂练习
4. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.
课堂练习
∵
∴
5.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，CD=AD=1，若点M在线段BD上，则求 的最小值.
解：建立如图所示平面直角坐标系：
设 , M(x,y)则
(x-2,y)=λ(-2,1)
∴
的最小值为
∴当 时，
课堂练习
证明：建立如图直角坐标系，设F(x,y)且设AB长为2
探究新知
1. 三角形的四心概念
（1）重心：
三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；
（2）垂心：
三角形三条高线的交点；
（3）内心：
即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；
（4）外心：
即三角形外接圆的圆心，是三条边的中垂线的交点，外心到三个顶点距离相等；
点G是重心
点H是垂心
点I是内心
点O是外心
三角形的四心与向量的结合：
探究新知
2. 四心对应的向量式
外心
垂心
内心
重心
下面证明四心的向量式.
探究新知
证明：
D
E
A
B
C
G
探究新知
若点G是△ABC 的重心，则
(1) 点G是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；
三角形重心的性质：
探究新知
证明：
课堂练习
C
点G是重心
课堂小结
平面几何中的向量方法:
1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.
布置作业
（1）教材
（2）同步作业