6.4.3+余弦定理、正弦定理（1） 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
引 入
A
C
B
150°
b=100km
a=160km
c= km
问题1 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的吗？为什么？你能用数学知识解释一下吗？
引 入
A
C
B
150°
b=100km
a=160km
c= km
已知，在△ABC中AC=100km，BC=160km，C=150°，求AB.
已知三角形的两边及其夹角,求第三边.
特殊
一般
即：已知a、b及C,求c.
问题2 实际问题转化为数学问题怎么表述？
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第六章 平面向量及其应用
1.余弦定理
探究新知
问题3 已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？
向量法
分析：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.
1.余弦定理的推导
设 ，
那么
∴
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
c
b
a
同理可得
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.
探究新知
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：
（余弦定理适用于任何三角形）
2.余弦定理
文字语言：
问题4你能用其他方法证明余弦定理吗？
c
b
a
探究新知
问题3 已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？
分析：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.
1.余弦定理的推导
法1：向量法
法2：建系法
法3：几何法
探究新知
a
b
c
x
y
法2：建系法
探究新知
D
法3：几何法
a
b
c
探究新知
（余弦定理适用于任何三角形）
2.余弦定理
c
b
a
与君初相识，
犹似故人归。
问题5 观察定理，你是否发现与学过的某个定理相似？
追问：勾股定理与余弦定理有何关系？
3.余弦定理再认识
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
问题6 公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.
（方程思想）
——余弦定理与勾股定理的关系
探究新知
4.余弦定理的推论
已知三条边求任意角
（SSS）
余弦定理：
推论：
已知两边夹一角求第三边
（SAS）
问题7 利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例题讲解
应用一：已知两边及其夹角，解三角形（SAS）
例1 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm).
解：
5.余弦定理的应用——解三角形
应用新知
A
C
B
150°
b=100km
a=160km
c= km
1.已知，在△ABC中AC=100km，BC=160km，C=150°，求AB.
c = a +b －2abcosC
= 160 +100 －2×160×100×cos150°
= 51600
例题讲解
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
解：
例题讲解
应用二：已知三条边求任意角（SSS）
5.余弦定理的应用——解三角形
解：由余弦定理得
例3 在△ABC中，a= ，b=2，c= ，解这个三角形.
课堂练习
解：由余弦定理，得
例题讲解
例4 在△ABC中，若c＝ ，b＝5，且cos C＝ ，求a.
问题7 已知两边及一边的对角时，如何来解这个三角形？
方法总结：关键是利用含有已知角的余弦定理，得到一个一元二次方程.
应用三：已知两边及一边对角，解三角形（SSA）
5.余弦定理的应用——（1）解三角形
（不一定有解）
若c＝1，b＝5，且cos C＝ 呢？
a2-9a+24＝0
课堂练习
A
C
B
课堂练习
1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)；
(2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c.
课堂练习
1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)；
(2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c.
课堂练习
2. 在△ABC中，已知 解这个三角形.
课堂练习
3. 在△ABC中，已知b=5，c=2，锐角A满足 求C (精确到1°).
例5 在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则△ABC为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
例题讲解
问题8 如何利用余弦定理判断角的形状
探究新知
例6 在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c= ，则△ABC中最大角的余弦值为____
所以C为△ABC中的最大角，
由余弦定理推论可得，
例题讲解
例7 在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若(a+b+c)(a-b+c)=ac ，（1）求B；（2）若 ，求C.
例题讲解
例8 在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若 ，c=4，
a + b=5，求a，b的值.
【注】余弦定理的三个公式中，每个公式都有四个元素（三边及一角），故在已知一角的情况下常用余弦定理构建和边相关的方程，通过解方程或方程组来求边.
例题讲解
例9 在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=1，A=60°,则c的值为_ ___ . （SSA）
【解析】由余弦定理推论可得，
【注】余弦定理的三个公式中，每个公式都有四个元素（三边及一角），故在已知一角的情况下常用余弦定理构建和边相关的方程，通过解方程或方程组来求边.
例题讲解
课堂小结
1.余弦定理：
2. 余弦定理的推论：
3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型：
(1) 已知两边及一角解三角形．
(2) 已知三边解三角形．
4.利用余弦定理判断角的形状：
布置作业
（1）教材
（2）同步作业