6.4.3余弦定理、正弦定理（2）课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第六章 平面向量及其应用
2.正弦定理
引 入
发射卫星的过程中如何确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系!(播放视频)
引 入
1.余弦定理：
2. 余弦定理的推论：
引 入
3. 用余弦定理可以解决三种解三角形的题型：
(1) 已知三边解三角形．
(2) 已知两边及夹一角,解三角形．
(3) 已知两边及一边对角,解三角形．
三角形全等
（SSS）
（SAS）
问题1 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
（ASA）
（AAS）
？定理
解三角形
（SSA）解不确定
探究新知
在初中，我们知道三角形中等边对 的结论. 实际上，三角形中还有
的边角关系. 我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
在 ABC中, 如何确定A, B, a, b间的定量关系.
为方便，不妨假设 ABC为直角三角形.
如图示，在Rt△ABC中，
对锐角三角形和钝角三角形，这个关系是否任然成立？
等角
大边对大角，小边对小角
从而解决：“在△ABC中，已知A, B, a, 求b”的问题.
探究新知
问题2 采用向量何种运算来研究呢？
追问 向量数量积出现的是角的余弦,而我们需要角的正弦，如何实现转化？
(与长度、角度有关，可用向量的数量积来探究.)
探究新知
1.正弦定理的推导
(1)锐角三角形：
因此
向量法
探究新知
(2)钝角三角形：
请同学们完成后面证明!
探究新知
2.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
符号语言：
文字语言：
问题3 有没有其他的方法证明正弦定理？
探究新知
如图，在△ABC中，有
所以
同理可得
∴在三角形中有
法2：几何法
探究新知
证明：
作外接圆O,
过B作直径BC′,连AC′,
O
C′
c
b
a
C
B
A
A′
法3：外接圆法
例题讲解
O
y
解:如图建立直角坐标系.
过C点作CD AB于D.
D
则点C的坐标(bcosA,bsinA)
(bcosA,bsinA)
于是△ABC的面积
同理可得
S△=
A
B
C
b
a
c
法4：面积法
x
同除以 ，
探究新知
3.正弦定理的再认识
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
符号语言：
文字语言：
问题5 正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？
有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）.
问题4 公式的结构特征怎样？
和谐美，对称美
问题6 利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形.
（方程思想）
=2R
探究新知
3.正弦定理的再认识——变形
=2R
其中，R是△ABC的外接圆半径
“边角互化”
sinA > sinB > sinC
6.
1.
7.
例题讲解
4.正弦定理的应用
例1 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形.
由正弦定理，得
解1：由三角形内角和定理，得 C=120°.
(ASA, AAS):已知两角和任意一边, 解三角形, 解唯一.
例题讲解
4.正弦定理的应用
例1 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形.
设△ABC的外接圆半径为R，则有
解2：由三角形内角和定理，得 C=120°.
(ASA, AAS):已知两角和任意一边, 解三角形, 解唯一.
例题讲解
例2 在△ABC中，已知 解这个三角形.
4.正弦定理的应用
(SSA):已知两边和其中一边的对角,解三角形
探究新知
解:∵sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB
例3 △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2C－sin2A－sin2B=
sinAsinB，求C.
∴由正弦定理，得c2－a2－b2=ab
∴由余弦定理，得
∵C∈（0，π）
∴C=
课堂练习
1.在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
2.在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
探究新知
解:(1)由正弦定理:
∴Ｂ＝60°,
或B＝120°
当 时,
Ｂ=60°
C=90°
C=30°
练习 (1) 已知a=16，b= ，A=30 .解三角形.
当Ｂ=120°时,
B
16
300
A
B
C
16
3
16
注意:已知SSA, 解三角形, 有一解, 两解, 或无解3种情况.
(2) 已知a=16，b= ，A=60 .解三角形.
解:(2)
∴B为锐角
课堂练习
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 absin A 两解
a＝bsin A 一解
a探究: 在△ABC中已知a，b，A，求B时解的个数情况.
总结: (1) 所求角为小边对角，必为一解
(2) 所求角为大边对角，已知角必须锐角，
解的个数算了再说.
用正弦定理判定(SSA) 解的个数: 先求另一对角正弦值是否在(0, 1)内, 再看它是大角还是小角.
探究新知
练习 (1) 已知a=16，b= ，A=30 .解三角形.
(2) 已知a=16，b= ，A=60 .解三角形.
注意:已知SSA, 可用正弦定理求对角,
也可用余弦定理求第三边.
舍去负根
三角形有两解.
三角形有一解.
课堂小结
（1）已知两角和任意一边解三角形.
（2）已知两边和其中一边的对角,解三角形
3.正弦定理变形：　　
注意：①余弦定理也可解，②(SSA)解的个数
1.正弦定理的推导
2.正弦定理：
4.正弦定理应用：
布置作业
（1）教材
P48 练习：1,2,3
P52 习题6.4：7
（2）同步作业
课后思考
1. 在△ABC中已知a，b，A，求B时解的个数情况.