6.4.3+余弦定理、正弦定理（3） 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第六章 平面向量及其应用
3.余弦定理、正弦定理应用举例
引 入
余弦定理:
余弦定理推论:
正弦定理:
正弦定理的变形:
在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
引 入
已知三角形中的三个元素解三角形：
（1）已知两边及其夹角（SAS）；
（2）已知三条边（SSS）；
（3）已知两边及一边对角（SSA）；
（4）已知两角和一边（ASA，AAS）；
注：已知两边或三边的用余弦定理求解；
已知两角的用正弦定理求解.
— 用余弦定理求解
— 用余弦定理求解
—用正、余弦定理都可解
— 用正弦定理求解
引 入
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念：
1.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．
如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)
思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
东南方向
探究新知
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况. 需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．
方位角θ的范围是0°≤θ<360°
3.方位角
N
方位角60°
目标方向线
探究新知
一、测量距离
1.两不相通的距离
问题1 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据以下哪组数据？（ ）
A．α，a，b　　B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
解：由余弦定理，可得
C
∴选择a，b，γ可直接求出AB的长度.
小结：A，B两点间不可通或不可视
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
探究新知
2.可到达点与不可到达点之间的距离
问题2 如图，A，B两点分别在河的两边，测量A，B两点间的距离.
解：如图，在A的一侧选取点C，测得
由正弦定理，得
a

小结：A，B两点间可视，但有一点不可达
以点B不可达为例，先测角A，C，AC＝a，再用正弦定理求AB
探究新知
3.两个不可到达点之间距离
问题3(例9) 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离.
解：如图, 在A, B两点的对岸选定两点C, D，测得
a
探究新知
3.两个不可到达点之间距离
问题3(例9) 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离.
a
小结：A，B两点都不可达
测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，
在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB.
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二、测量高度
1.底部可达
问题4 如图，设计一种测量方法，测量塔的高度.
解：如图，在△ABC中，测得
例题讲解
2.底部不可达
问题5(例10) 如图示，AB是底部B点不可到达的一座建筑，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
∴建筑物高度为
解：如图示，选择一条水平基线HG，使H, G, B三点在同一条直线上. 在G, H两点用测角仪器测得A的仰角分别是 ，测角仪器的高是h. 那么，在 ACD中，由正弦定理，得
例题讲解
问题6(例11) 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°) 需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)
北
A
30°
C
20 n mile
B
解: 根据题意, 画出示意图如图示, 由余弦定理, 得
由正弦定理, 得
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+ 30°=76°，大约需要航行24 n mile.
三、测量角度
探究新知
正弦、余弦定理在实际测量中（解三角形）的应用的一般步骤:
(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
课堂练习
1. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗
北
A
20°
S
B
65°
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
∴S到直线AB的距离为
∴这艘船可以继续沿正北方向航行 .
课堂练习
2. 如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ. 求证:
课堂练习
∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里.
3. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少
北
A
75°
C
B
32°
课堂小结
1．解决应用题的思想方法是什么？
2 ．解决应用题的步骤是什么？
实际问题
数学问题（画出图形）
解三角形问题
数学结论
分析转化
把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想．
布置作业
（1）教材
（2）同步作业