本册综合测试一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为( )
A． B．－
C． D．－
[答案] B
[解析] 由三角函数的定义知＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.
2．(2014·陕西文，2)函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
[答案] B
[解析] T＝＝π，选B.y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，ω>0，A>0的最小正周期为.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A． B．
C．(3,2) D．(1,3)
[答案] A
[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算．
＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)，
2＝2(x，y－2)＝(2x,2y－4)
∵＝2，
∴，解得，故选A.
4．函数f(x)＝sin(x－)的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
[答案] C
[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题．
函数f(x)＝sin(x－)的图像的对称轴是
x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，x＝－π＋＝－.
要清楚函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx＋φ)＝±1时解出的．
5．设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|等于( )
A．37 B．13
C． D．
[答案] C
[解析] |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos60°＋|b|2＝16＋2×4×3×＋9＝37，|a＋b|＝，故选C.
6．设0≤α<2π，若sinα>cosα，则α的取值范围是( )
A． B．∪
C．∪ D．
[答案] D
[解析] 当α∈[0，)时，由sinα>cosα，得＝tanα>，解得α∈；当α∈[，π]时，cosα≤0，显然原式成立；当α∈时，易得tanα<，解得α∈；当α∈时，sinα<0，cosα≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是.
7．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )
A． B．3
C．6 D．9
[答案] C
[解析] 由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，
∴＝k·(k∈N＋)，
∴ω＝6k(k∈N＋)，∴ω的最小值为6.
8．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·的值为( )
A． B．
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 如图所示，取BC边中点M，
由2＋＋＝0，可得2＝＋＝2，
则点M与点O重合．
又由||＝||＝||＝||＝1，
可得|AC|＝|BC|·sin60°＝2×＝，
则·＝||||·cosC＝||2＝3.
9．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )
A．π B．－π
C．－π D．
[答案] C
[解析] f(x)＝sin(2ωx＋2φ) T＝＝2
∴ω＝，∴f(x)＝sin(πx＋2φ)，当x＝2时，
πx＋2φ＝2π＋2φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.
10．已知f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，则下列结论中不正确的是( )
A．函数y＝f(x)g(x)的最小正周期为π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为
C．函数y＝f(x)g(x)的图像关于点(，0)成中心对称
D．将函数f(x)的图像向右平移个单位后得到函数g(x)的图像
[答案] C
[解析] f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，
y＝f(x)g(x)＝cosxsinx＝sin2x，
∴最小正周期T＝π，最大值为，
∴选项A，B正确．
当x＝时，y＝sin(2×)＝≠0，
∴y＝f(x)g(x)的图像不关于点(，0)对称，选项C错误．
将f(x)的图像向右平移个单位后得y＝cos(x－)，即g(x)的图像，选项D正确．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知α为直线x＋3y＝0的倾斜角，则tan的值为________．
[答案]
[解析] 因为直线x＋3y＝0的斜率为－，
所以tanα＝－，
所以tan＝＝＝.
12．(2014·重庆文，12)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
[答案] 10
[解析] 此题考查向量数量积的运算．
∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝＝2，
∴a·b＝2××cos60°＝10.
13.下图是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像，则其解析式为________．
[答案] y＝3sin(2x＋)
[解析] 由图知T＝＋＝2π，
∴ω＝1且A＝2.
由图像过(－，0)，得1×(－)＋φ＝0，
又0<φ<，∴φ＝.
∴y＝2sin(x＋)．
14．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.
[答案] －
[解析] 由cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，
90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，
所以sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β)
＝－×－×＝－.
15．设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝________.
[答案]
[解析] f(x)＋f(60°－x)
＝＋
＝
＝＝，
∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)
＝[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(29°)＋f(31°)]＋f(30°)＝.
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知<α<，sin(α－)＝m，求tan(－α)的值．
[解析] ∵<α<，
∴－<α－<.
∴cos(α－)＝.
∴tan(α－)＝＝.
∴tan(－α)＝tan[π－(α－)]
＝－tan(α－)＝－.
17．(本小题满分12分)＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] 设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．
∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝(，)．
∴存在M(2,1)或M(，)满足题意．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(－)的值；
(2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝
＝
＝＝＝2cos2x，
∴f(－)＝2cos(－)＝2cos＝.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)，
∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．
∴当x＝时，gmax(x)＝，
当x＝0时，gmin(x)＝1.
19．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|；②|4a－2b|.
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
[解析] 由已知可得a·b＝4×8×(－)＝－16.
(1)①|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－16)＋64＝48，
所以|a＋b|＝4.
②|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64
＝3×162，
所以|4a－2b|＝16.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则
(a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
16k－16(2k－1)－2×64＝0，
故k＝－7.
20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．
[解析] (1)因f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2，
又因f(x)的图像关于直线x＝对称，所以
2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…，因－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝.
所以sin(α－)＝.
由<α<得0<α－<.
所以cos(α－)＝＝＝.
因此cos(α＋)＝sinα
＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin
＝·＋·
＝.
21．(本小题满分14分)设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)函数y＝f(x)的图像可由函数y＝sinx的图像经过怎样变化得出？
(3)若不等式|f(x)－m|<2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由题意得
f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝2＋cos2x－sin2x
＝2＋sin(2x＋)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故f(x)的单调减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)先将y＝sinx的图像上所有点向左平移个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y＝f(x)的图像．
(3)∵|f(x)－m|<2在x∈[，]上恒成立，
∴f(x)－2∴m>[f(x)]max－2且m<[f(x)]min＋2，
即m>0且m<4－，∴0本册综合测试二
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各项中可能成立的一项是( )
A．sinα＝且cosα＝ B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝－1 D．α在第二象限时，tanα＝－
[答案] B
[解析] 由商数关系知选项D错误；对A选项，由sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝≠1，知选项A错误，对选项C，由tanα＝1且cosα＝－1知sinα＝－1，此时sin2α＋cos2α＝2≠1，知选项C错误；由平方关系知B正确．
2．(2014·全国大纲理，3)设a＝sin35°，b＝cos55°，c＝tan35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] C
[解析] 本题考查了诱导公式、三角函数的单调性与单位圆中的三角函数线，因为c＝tan35°，由单位圆中的三角函数线可知c>b>a.三角函数的值的大小比较，要先运用诱导公式化为同名的同一单调区间上的函数，若存在弦函数和切函数时，用单位圆中的三角函数线比较大小．
3．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．
由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，即φ＝＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝适合．本题也可用偶函数定义求解．
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(－3，－4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
[答案] B
[解析] 因为c＝λ1a＋λ2b，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
所以解得λ1＝1，λ2＝－2.
5．下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A．y＝1－2sin2πx B．y＝sin(2πx＋)
C．y＝tanx D．y＝sinπxcosπx
[答案] D
[解析] 选项A中函数y＝cos2πx为偶函数，排除选项A；
选项B中函数为非奇非偶函数，排除选项B；
选项C中函数的周期为2，排除选项C；
D中函数y＝sin2πx周期为1，且为奇函数．
6．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] y＝sin 2x＋
＝＋sin(2x－)
∴值域为.
7．已知向量＝(cos 75°，sin 75°)，＝(cos 15°，sin 15°)，则||等于( )
A． B．
C． D．1
[答案] D
[解析] ||＝
＝
＝|sin15°－cos15°|
＝(cos15°－sin15°)＝2cos60°＝1.
8．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，设＝λ＋，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．3
[答案] C
[解析] 由＝λ＋，得λ＝－＝，
∴与共线，设C(x，)(x<0)，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°.
∴＝tan30°＝.∴x＝－1.
∴＝(－1,0)．
∵＝(－3,0)，∴λ＝.
9．(2014·新课标Ⅰ文，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos(2x＋)，④y＝tan(2x－)中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
[答案] C
[解析] 本题考查三角函数的奇偶性．
①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝＝π，
②y＝|cosx|由图像可知T＝π，
③y＝cos(2x＋)，T＝＝π，
④y＝tan(2x－)，T＝.
故选C.
10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在(0，)单调递减 B．f(x)在(，)单调递减
C．f(x)在(0，)单调递增 D．f(x)在(，)单调递增
[答案] A
[解析] 本题主要考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．
依题意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝sin(ωx＋φ＋)，
又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ＋)
又f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋.
又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x.
又y＝cosx在x∈[0，π)单调递减，则由0<2x<π得0即f(x)＝cos2x在(0，)单调递减，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.
[答案] 0
[解析] a－c＝(3－k，－1)，
∵(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0.
∴(3－k)－3＝0，解得k＝0.
12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
[答案]
[解析] 由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，设∠BAD＝θ，
∵AB＝4BD，∴sinθ＝，
故cos∠BAC＝cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×()2＝.
13．已知0[答案] 0
[解析] 原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(sinx＋cosx)2＝0.
14．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a，已知当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.
[答案] －2
[解析] f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＋a
＝2sin(2x＋)＋a＋1.
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．
∴sin(2x＋)∈[－，1]，
∴f(x)min＝2×(－)＋a＋1＝a，∴a＝－2.
15．已知函数f(x)＝cos＋sin(x∈R)，给出以下命题：
①函数f(x)的最大值是2；
②周期是；
③函数f(x)的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是；
④对任意x∈R，均有f(5π－x)＝f(x)成立；
⑤点(，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心．
其中正确命题的序号是________．
[答案] ③⑤
[解析] f(x)＝cos＋sin＝sin(＋)，则函数f(x)的最大值是，所以①不正确；周期T＝＝5π，所以②不正确；函数f(x)的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是T＝，所以③正确；令＋＝＋kπ(k∈Z)，不能得函数f(x)的图像中有一条对称轴是直线x＝，则对任意x∈R，均有f(5π－x)＝f(x)不成立，所以④不正确；f()＝sin(×＋)＝sinπ＝0，所以⑤正确．
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知sinx＝，x∈(，π)，求cos2x和tan(x＋)的值．
[解析] cos2x＝1－2sin2x＝1－2×()2＝.
因为sinx＝，x∈(，π)，
所以cosx＝－＝－.
tanx＝＝－.
所以tan(x＋)＝＝.
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解析] (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，∴由(－t)·＝0得t＝－.
18．(本小题满分12分)已知向量m＝(2sin，1)，n＝(cos，1)，设函数f(x)＝m·n－1.
(1)求函数y＝f(x)的值域；
(2)已知△ABC为锐角三角形，A为△ABC的内角，若f(A)＝，求f(2A－)的值．
[解析] (1)由f(x)＝m·n－1，
得f(x)＝2sincos＋1－1＝sinx，
所以y＝f(x)的值域为[－1,1]．
(2)由已知得A为锐角，f(A)＝sinA＝，
则cosA＝＝，
得sin2A＝2sinAcosA＝2××＝，
cos2A＝1－2sin2A＝1－2×()2＝，
所以f(2A－)＝sin(2A－)
＝sin2Acos－cos2Asin
＝×－×＝.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．
(1)当a与b共线时，求2cos2x－sin2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
[解析] (1)向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)，
当a与b共线时，－sinx＝cosx，
即tanx＝－.
2cos2x－sin2x＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b
＝(sinx＋cosx，)·(cosx，－1)
＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．
因为－≤x≤0，
所以－≤2x＋≤，
所以f(x)在[－，0]上的值域为[－，]．
20．(本小题满分13分)(2014·山东理，16)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，设函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点(，)和(，－2)．
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
[解析] (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.
因为y＝f(x)的图像过点(，)和(，－2)，
所以
即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x，
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.
21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos(x－)＋2sin(－x)．
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
(3)若f(x)＝，求cos(2x－)的值．
[解析] f(x)＝2cosxcos＋2sinxsin－2cosx
＝cosx＋sinx－2cosx＝sinx－cosx
＝2sin(x－)．
(1)令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)取最大值2时，x－＝2kπ＋(k∈Z)，则x＝2kπ＋(k∈Z)．∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
(3)f(x)＝即2sin(x－)＝，
∴sin(x－)＝.
∴cos(2x－)＝1－2sin2(x－)
＝1－2×()2＝.
