2022-2023学年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省荆州市高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，则在上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2. 有名学生全部分配到个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中地区分配了名学生的分配方法共种( )
A. B. C. D.
3. 若数列，则( )
A. B. C. D.
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为( )
A. 和 B. C. D.
5. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知递增等比数列，，，，则( )
A. B. C. D.
7. 放假伊始，名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人已知这名同学中有名男生，名女生，店主让他们人分成两组先后参加游戏，其中，角色不可同时为女生，角色至少有一名女生，则他们不同的选择方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子？”根据这个问题，有下列说法，其中正确的是( )
A. 得到橘子最多的人所得的橘子个数是
B. 得到橘子最少的人所得的橘子个数是
C. 得到橘子第二多的人所得的橘子个数是
D. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是
10. 由数字，，，组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是( )
A. 可以组成个不同的数
B. 可以组成个奇数
C. 可以组成个偶数
D. 若数字和相邻，则可以组成个不同的数
11. 已知单调递增数列满足，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，为方程的两根，则
B. 若，，则是数列中最大的负数项
C. 若，则
D.
12. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，若，，，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 是周期函数 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，其中为自然对数的底数，则曲线在处的切线方程为 ．
14. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则 ______ ．
15. 在高台跳水运动中，若时运动员相对于水面的高度单位：是，则运动员的速度 ______ ，加速度 ______ ．
16. 现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______ 种
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，，，
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18. 本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
19. 本小题分
当前，我国防控“新型冠状病毒”疫情的工作重点已经调整为“外防输入，内防反弹”为此，国家有关部门加强了对各个入境口岸中入境人员的管理在一次境外入境的航班上，已经确认有名旅客患有新冠肺炎，经机组人员紧急处理，仍有人为接触者航班到达后，由于联络出现失误，地面检查人员只知道这人中有名确诊患者和名接触者，但因为个人原因，这人都不承认自己是确诊患者，同时也拒绝相互指认，检查人员只好对他们逐一进行核酸检测，直到检出两名确诊患者为止确诊患者的核酸检测呈阳性，假设其他人由于以前无接触史所以检测时一定呈阴性．
在第一次就检出一名呈阳性患者的条件下，求检测进行次就停止的概率；
求检测进行了次才停止的概率；
若检测前发现检测试剂只剩下盒，每盒只能检测人，当检测试剂用去盒后检测工作还没有停止，此时工作人员小张预测：“检测试剂够用，并且至多能余一盒”，求小张预测准确的概率．
20. 本小题分
设各项均为正数的数列的前项和为满足．
证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
求数列的前项和．
21. 本小题分
已知函数．
求的单调区间；
证明：．
22. 本小题分
已知函数．
求单调增区间；
定义“双减函数”：和在定义域的某个子区间上都是减函数若函数是区间上的“双减函数”为自然对数的底数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据函数的平均变化率的定义，
可得函数在上的平均变化率为，
故选：．
根据函数的平均变化率的定义化简即可求解．
本题考查了函数的平均变化率的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，先选一名学生分配到地，剩下的名学生在其他三个地区任选一个，方法数为．
故选：．
先选一名学生分配到地，剩下的名学生在其他三个地区任选一个，由乘法原理可得．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数列的通项公式的应用，属于基础题．
由数列的通项公式代入求解即可．
【解答】
解：，
，
，
故，
故选：．

4.【答案】
【解析】解：根据图像，在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，故的极大值点为．
故选：．
根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
当时，或，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，的极小值点为，
若在区间上有最小值，则应，即，解为，可化为，，
综上得，，
故选：．
数形结合分析在区间上有最小值应满足的条件，解之．
本题考查导数的运用，以及数形结合的思想方法，是中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质：若，则，解题的关键是要熟记公式和基本性质，属于基础题．
由题意利用等比数列的性质可得，可得，解得，的值，根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】
解：在递增等比数列中，，联立，
因为，
所以解得：，
所以，
所以．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：分组方法：一组，角色两个男生、角色男女；
另一组，角色男女、角色女；
方法数有：．
分组方法：一组男女；另一组男女；
方法数有：，
所以他们不同的选择方式共有．
故选：．
根据三个角色的要求进行分组，然后计算出他们不同的选择方式．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，则在上恒成立，故在上单调递增，
，故，即；
，故，故，故，故；
综上所述：．
故选：．
设，确定在上单调递增，，得到，根据得到，得到，得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设该等差数列为，其前项和为，则公差，
因为，所以，
对于，得到橘子最多的人所得的橘子个数是：，故A错误；
对于，得到橘子最少的人所得的橘子个数是，故B正确；
对于、，得到橘子第三多的人所得的橘子个数是：，故D正确，C错误．
故选：．
设该等差数列为，其前项和为，由题意可知公差，由可求出，再利用等差数列的通项公式逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：确定首位有种方法，则共有个不同的数，故A正确，
B.若个位数是，则有，若个位数是，则有，共有个奇数，故B正确，
C.若个位数是，则有个，若个位数是，则有，共有个偶数，故C错误，
D.若，放在前位，有个不同的数，若放在中间个位置，则首位只能放，则个数只能是，此时有，，两个不同的数．
若，放个位和十位，则首位只能是，千位是，则四位数是，，两个不同的数，则共有个不同的数．故D正确．
故选：．
分别根据奇数，偶数和数字相邻问题进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，根据元素优先和奇数，偶数的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：单调递增数列满足，可得，
则数列为等差数列，且公差．
对于，若，为方程的两根，由可得，即有，，
即，解得，则，
则，故A错误；
对于，因为数列为等差数列，，，故，
由数列递增，则是数列中最大的负数项，故B正确；
对于，因为数列为等差数列，所以，，，成等差数列，
令，又，则，，所以，，
则，故C正确；
对于，因为数列为等差数列，所以，，成等差数列，
故，化为，故D错误．
故选：．
由数列的递推式推得数列为等差数列，且数列单增，公差，结合等差数列的性质对选项一一判断可得结论．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，所以．
因为，所以，所以的图象关于直线对称，A正确．
设，则，
所以为常数．
又，所以，即，
则的图象关于点对称，B正确．
因为，所以，则为奇函数．
则函数仍然是奇函数，其图象关于原点对称．
又因为，
所以的图象关于点对称，有，即．
由可得，即，故为周期函数，为的一个周期，
又，所以也是的一个周期，C正确．
令，可得，即，D错误．
故选：．
对于选项A，通过赋值，利用已知条件，即得结果．
对于选项B，通过构造函数，再求导，利用中的结论，即得结果．
对于选项C，首先利用可导的偶函数的导函数是奇函数的特性构造函数，再通过对称性结合中结论，即得结果．
对于选项D，通过赋值，利用中推导的结论和已知条件，即得结果．
本题主要考查导数的运算，函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：求导可得，则，又，
则曲线在处的切线方程为，
整理得．
故答案为：．
求解导函数，计算与的值，再利用直线点斜式写出切线方程即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故答案为：．
根据题意，利用等差数列前项和公式可得，代入即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得：速度，加速度．
故答案为：；．
可知，，根据基本初等函数的求导公式求导即可．
本题考查了导数的物理意义，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：种颜色涂个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
当只有对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，剩下个面用剩下种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
当只有对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，种颜色配对面有种可能，剩下个面由剩下种颜色选种分别涂，有种，共种；
当对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，种颜色配对面有种，共种；
综上所述：共种．
故答案为：．
种颜色涂个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设，考虑当只有对同色面，当只有对同色面，当对面均同色时三种情况，计算得到答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：在等差数列中，，
，
，
；
由得，则，
数列的前项和为．
【解析】根据求和公式计算，从而得出公差，于是得出通项公式；
利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，解得．
因为，又函数在上单调递增，
所以恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程，解得即可；
依题意可得恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：设为阳性，为阴性，则符合题意的排列情况为，
第一位为，后面三位全部情况为，符合排列的为个，．
无论前五位如何，只需保证后两位一阴一阳，即或，
后两位全部情况有种，一阴一阳的情况有种，．
检测至多用个试剂，检测试剂用了盒的概率为，用了盒的概率为，
则小张预测准确的概率为，
又，，
所以小张预测准确的概率为．
【解析】根据条件概率公式计算可得；
根据古典公式计算可得；
设检测试剂用了盒的概率为，用了盒的概率为，故小张预测准确的概率为，计算可得．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
20.【答案】解：证明：，
，
，
，
，
，
，
所以数列为公差为的等差数列，时，，
．
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，属于中档题．
由，，相减化简整理，利用等差数列的通项公式即可得出．
利用错位相减法即可得出．
21.【答案】解：，
由得，解得，函数单调递增；
由得，解得或，函数单调递减，
所以的单调递增区间为；
的单调递减区间为和．
要证当时，，
即证当时，，
设，
，
令，则，在上单调递增，
所以当时，，即，
所以当时，，
所以，在上单调递增，故，
故当时，．
【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，考查转化思想以及计算能力．
求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．
要证当时，，即证当时，，
构造函数，令，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．
22.【答案】解：由题意得函数 定义域为，，
由得，故单调增区间为；
由题意得，，
由题意得当，恒成立，
令，则，
即在单调递减，
，解得，
同时，则，
当，恒成立，即在恒成立，
令，则，
即在单调递增，则，
，解得，
又，则，
即实数的取值范围为．
【解析】由题意得函数 定义域为，，求出，即可得出答案；
由题意得，，根据“双减函数”的定义，构造函数，，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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