南昌市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中为偶函数，且在上单调递减的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
7． 已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则 （ ）
A． B． C．0 D．10
8．已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则下列关于狄利克雷函数说法正确的是 （ ）
A．的值域为 B．，
C．为偶函数 D．为周期函数
10．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
11．已知幂函数(互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．当都是奇数时，幂函数是奇函数
B．当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数
C．当是奇数，是偶数时，幂函数是偶函数
D．当时，幂函数在上是减函数
12．已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．化简：______．
14．已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过第______象限.
15．定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则______
16．对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数，则_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》新的国家标准中规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）前几日，一同学在2023届高考中考出726分的好成绩，周老师听闻后激动的喝下一瓶啤酒.按照试验结果，试计算周老师喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）中午12点周老师喝完1瓶啤酒后，突然想起来已经跟儿子多多约定好,下午放学6点半准时开车去接他回家，试计算周老师在喝完这1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？他能完成跟多多之间的约定吗？（时间以整小时计）（参考数据：）
18．如图，平面ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．
(1)求证：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．
19．在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的的值．
20．学习强国是由中宣部主管，立足全体党员、面向全社会的学习平台.学习强国APP中有一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一 二 三 四名.首局中的第一名积3分，第二 三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.高老师作为一名优秀共产党员，对该答题模块十分感兴趣.假设高老师在首局获得第一 二 三 四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
(1)设高老师首局得分为，求的分布列；
(2)求高老师在“四人赛”中的总得分的期望值.
21．已知离心率为的椭圆C：过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示.
(1)求曲线C的方程；
(2)当恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(3)若点的坐标为，求直线的斜率.
22．已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.南昌市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学参考答案
一、选择题：
1—4 BDDA 5—8 BBDC
5．【详解】,
由，，即，
，当且仅当，时等号成立，故选：B
6．【详解】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；同理，即；
令，则，即为上的单调递增函数，
又，所以在有唯一零点，即；
易知，即，解得；因此可得.故选：B
7．【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即
又由，则的对称轴为，即，所以，即，又由，所以，即函数的周期为，
则.故选：D.
8．【详解】设函数在,上的值域为，函数在,上的值域为，
因为若,，,，使得成立，所以，
因为，,，所以在,上的值域为,，
因为，
当时，在,上单调递减，所以在,上的值域为,
因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，
当时，图象是将下方的图象翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，在,上单调递减，
，，所以的值域，
又，所以，解得，
②当时，即时，在上单调递减，在,上单调递增，
，或，
所以的值域,或,，又，所以或，
当时，解得或，又，所以，
当时，解得或，又，所以，所以的取值范围,,．
③当时，时，在，上单调递增，
所以，，所以在,,上的值域，
又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.
多项选择题
9．【答案】BCD
【详解】由题意函数，则其值域为，A错误；
当为有理数时，，则，当为无理数时，，则，
故，，B正确；
当为有理数时，为有理数，则，
当为无理数时，为无理数，则，故为偶函数，C正确；
对于任何一个非零有理数,若x为有理数，则也为有理数，则，
若为无理数，则也为无理数，则，
即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，D正确，故选：
10.【答案】ABD
【详解】因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．故选：ABD．
11.【答案】AB
【详解】，当都是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数，故B中的结论正确；
当是奇数，是偶数时，幂函数在时无意义；故C中的结论错误；
当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误．故选AB．
12.【答案】BC
【详解】当时，；
当时，；当时，；
作出函数的图象如下，
则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，
因为有四个不同的解且，
所以，且，且，，
又因为
所以即，所以，
所以，且，构造函数在单调递减，
所以，故选:BC.
三、填空题：
13．【答案】
14．【答案】二
15．【答案】
16．【答案】－3033
【详解】因为，所以，
设，则，令，可得，
，
所以，即，
所以，
所以.
17．【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车,所以周老师来得及接多多放学.
【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，两边取自然对数得，即，
∴，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.能够完成约定.
18．【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意知，平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，
在中，由，得，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
19．【答案】(1)；(2)40或37．
【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得，
由，，成等差数列，得，即，解得，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，，
当k为偶数时，，令，得；
当k为奇数时，，令，得，
所以或37.
20.【答案】(1)答案见解析(2)
(1)的所有可能取值为，，，，，
其分布列为
(2)设总得分为，则的取值为，，，，
则，，，
的分布列为
Y 5 4 3 2
P
所以.
21.【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3)
【详解】（2）由题意知，，，所以，，所以，
设直线CD的方程为，设，，
联立直线CD与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，，
所以
，故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.
（3）设，，，记()，得.所以.
又A，D均在椭圆上，所以，化简得，
因为，所以，同理可得，即直线AB：，
所以AB的斜率为.
22.【详解】（1），
（ⅰ）当时，，所以，，则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，令，
因为函数在区间上都是增函数，所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，∴，故.
