陕西省商洛市2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题（含解析）

商洛市2022~2023学年度第二学期教学质量抽样监测
高二年级数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是奇函数，且当时，，则（ ）
A．－2 B．－14 C．2 D．14
4．若公比为-3的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（ ）
A．15 B．－15 C．45 D．－45
5．曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则（ ）
A． B． C． D．
8．若随机变量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为弯的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，设，，，则（ ）
A． B．C． D．
12．过抛物线的焦点的直线与相较于，两点，则的最小值为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．27
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，，则正数____．
14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则的离心率为______．
15．不等式组表示的可行域的面积为_______．
16．等差数列的前项和为，若，，则_____．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知△ABC的内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为4，求的周长．
18．（12分）
甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为6：4，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
19．（12分）
在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．
（1）证明：平面⊥平面．
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，|PQ|=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△APQ面积的取值范围．
21．（12分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的普通方程与圆的直角坐标方程（化为标准方程）；
（2）判定圆与圆的位置关系，说明你的理由．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：．
商洛市20222~2023学年度第二学期教学质量抽样监测
高二年级数学试卷参考答案（理科）
1．C 因为，，所以．
2．A 因为，所以的虚部为．
3．B 因为是奇函数，所以．
4．D 设该等比数列为，则，
所以．
5．B 由，得．
6．D 由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
7．B 因为，所以．
8．C ．
9．D 因为，所以，
则，解得．
由，解得，则．
10．A 由题意得该圆锥的母线长为4，设圆雉的底面半径为，高为，由，得，则，所以该圆锥的表面积为．如图，圆锥内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为，由，得，得，故能制作的零件表面积的最大值为．
11．A 因为，所以，且在上单调递减．因为，
所以．
12．D 由题可知F（3,0），设直线l的方程为，，联立方程组 整理得，则，，所以，当且仅当时，等号成立．
13．1 因为，所以，解得或，所以正数．
14． 因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，则的离心率．
15．8 作出不等式组表示的可行域，如图所示，其中，，则可行域的面积为．
16．15 设，则，则，解得．
17．解：（1）因为，所以．
又，所以，则，即．
又，所以，故．
（2）因为， 所以．
的面积，即，
则，
即，
从而的周长为．
18．解：（1），
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高．
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙．
19．（1）证明：由四边形ABCD为正方形，得．
因为，所以．
因为，所以平面PAD．
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．
（2）解：取AD的中点O，连接PO，因为，所以，．
由（1）知平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD，
所以平面ABCD．
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以．
设是平面PBC的法向量，
则即
令x=3，得．
因为，
所以PD与平面PBC所成角的正弦值为．
20．解：（1）由题可知，，
当直线的斜率不存在时，由，得，则，
故椭圆的方程为．
（2）法一：当直线的斜率不存在时，的面积．
当直线的斜率存在时，设的方程为．
联立方程组消去整理得，
则．，
点A到直线l的距离，
则的面积．
因为，所以，
则．
综上所述，面积的取值范围为．
法二：依题意可设直线的 程为．
联立方程组消去整理得，
则．
．
点到直线的距离，
则的面积．
因为，所以，所以．
故面积的取值范围为．
21．解：（1）的定义域为．
当时，，则,。
当时，，可知在上单调递增，
当时，令，得，令，得．
因为，所以为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
（2）令，可得，
令，则．
当时，显然成立．
当时，若，由，可得，
有，与矛盾．
当时，令，可得，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可得．
若，则必有，可化为，
令，由，可得，
令，得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
则，可知．
22．解：（1）圆的普通方程为．
由，得，
即，
所以圆的直角坐标方程为．
（2）由（1）知圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1．
因为，
所以圆与圆外切．
23．（1）解：由，得，
解得，
所以不等式的解集为．
（2）证明：因为，
所以．
因为，
所以．