陕西省商洛市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题（含解析）

商洛市2022~2023学年度第二学期教学质量抽样监测
高二年级数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是奇函数，且当时，，则（ ）
A．－2 B．－14 C．2 D．14
4．若公比为-3的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（ ）
A．15 B．－15 C．45 D．－45
5．曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
6．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如右图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．猪肉，鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%
7．若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．某中学举行歌唱比赛，甲、乙两位参赛选手各自从《难却》《兰亭序》《许愿》《最初的梦想》这四首歌曲中选两首作为参赛歌曲，已知甲选了《难却》，乙未选《许愿》，则甲，乙有相同的参赛歌曲的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为弯的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，，则正数____．
14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则的离心率为______．
15．不等式组表示的可行域的面积为_______．
16．等差数列的前项和为，若，，则_____．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知△ABC的内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为4，求的周长．
18．（12分）
甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为6：4，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
19．（12分）
在直三棱柱中，为的中点，，，．
（1）证明：⊥平面．
（2）若四棱锥的体积为12，求．
20．（12分）
已知函数
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性．
21．（12分）
已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，|PQ|=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△APQ面积的取值范围．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的普通方程与圆的直角坐标方程（化为标准方程）；
（2）判定圆与圆的位置关系，说明你的理由．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：．
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高二年级数学试卷参考答案（文科）
1．C 因为，，所以．
2．A 因为，所以的虚部为．
3．B 因为是奇函数，所以．
4．D 设该等比数列为，则，
所以．
5．B 由，得．
6．D 由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、离肉、粮食、食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A错误．
，所以B错误．
去年11月鲜菜价格要比今年11月高，所以C错误．
因为
，所以D正确．
7．A 依题意可设的标准方程为，因为的焦点到准线的距离为3，所以，所以的标准方程为．
8．C 依题意可知，甲有3种选择，乙也有3种选择，则通过枚举可知甲、乙的参赛歌曲的选择共有9种，其中两人没有相同的参赛歌曲的情况只有1种，就是甲选《难却》《许愿》，乙选《兰亭序》《最初的梦想》，故所求概率为．
9．D 由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
10．D 因为，所以，
则，解得．
由，解得，则．
11．A 由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为，高为，由，得，则，所以该圆锥的表面积为．如图，圆锥内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为，由，得，得，故能制作的零件表面积的最大值为．
12．A 因为，所以，且在上单调递减．因为，
所以．
13．1 因为，所以，解得或，所以正数．
14． 因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，则的离心率．
15．8 作出不等式组表示的可行域，如图所示，其中，，则可行域的面积为．
16．15 设，则，则，解得．
17．解：（1）因为，所以．
又，所以，则，即．
又，所以，故．
（2）因为， 所以．
的面积，即，
则，
即，
从而的周长为．
18．解：（1），
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高．
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙．
19．（1）证明：，.
又平面，.
，平面.
（2）解：平面，.
，四边形为梯形.
设，则，
由（1）知，
解得，则．
20．解：（1）因为，所以．
当时，，当时，，故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在[-2,4]上的最大值为32，最小值为-40．
（2）因为，
所以
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区问；当时，的单调递增区间为和，单调递減区间为．
21．解：（1）由题可知，，
当直线的斜率不存在时，由，得，则，
故椭圆的方程为．
（2）法一：当直线的斜率不存在时，的面积．
当直线的斜率存在时，设的方程为．
联立方程组消去整理得，
则．，
点A到直线l的距离，
则的面积．
因为，所以，
则．
综上所述，面积的取值范围为．
法二：依题意可设直线的 程为．
联立方程组消去整理得，
则．
．
点到直线的距离，
则的面积．
因为，所以，所以．
故面积的取值范围为．
22．解：（1）圆的普通方程为．
由，得，
即，
所以圆的直角坐标方程为．
（2）由（1）知圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1．
因为，
所以圆与圆外切．
23．（1）解：由，得，
解得，
所以不等式的解集为．
（2）证明：因为，
所以．
因为，
所以．